2022年高中物理微积分竞赛辅导讲义

这是一份2022年高中物理微积分竞赛辅导讲义，共12页。
【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。
分析：
①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U1=8U2 ；
②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a；三立方体的形状；
根据点电荷的电势公式U= eq \f(K Q,r) 及量纲知识，可猜想边长为a的立方体角点电势为
U= eq \f(CKQ,a) =Ckρa2 ；其中C为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa3
③ 大立方体的角点电势：U0= Ckρa2 ；小立方体的角点电势：U2= Ckρ（ eq \f(a,2) ）2= eq \f(CKρa2 ,4)
大立方体的中心点电势：U1=8U2=2 Ckρa2 ；即U0= eq \f(1,2) U1
【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。
二：导数
t
v
㈠ 物理量的变化率
我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a= eq \f(△v,△t) .
下面我们从代数上考察物理量的变化率：
【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,试求其t时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）
分析：我们知道，公式v= eq \f(△s,△t) 一般是求△t时间内的平均速度，当△t取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。
s(t)=3t+2t2 s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2
△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2-3t-2t2=3△t+4t△t+2△t2
v= eq \f(△s,△t) = eq \f(3△t+4t△t+2△t2,△t) =3+4t+2△t
当△t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度。
【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t3,求感应电动势随时间t的函数关系。
【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z的步骤：
①写出t时刻y0=f(t)的函数表达式；
②写出t+△t时刻y1=f(t+△t)的函数表达式；
③求出△y=y1- y0=f(t+△t)- f(t)；
④求出z= eq \f(△y,△t) = eq \f(f(t+△t)- f(t),△t) ；
⑤注意△t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。
㈡ 无穷小
当△t取很小时，可以用V= eq \f(△s,△t) 求瞬时速度，也可用i= eq \f(△Q,△t) 求瞬时电流,用ε= eq \f(N△φ,△t) 求瞬时感应电动势。下面，我们来理解△t：
△t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t大，即：ε>△t 。或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作：
第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t= eq \f(t,2) ；
第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t= eq \f(t,3) ；
第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t= eq \f(t,4) ；
…………
第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t= eq \f(t,N+1) ；
…………
一直这样进行下去，我们知道，△t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t→0。或者，用数学形式表示为 △t=0。其中“”表示极限，意思是△t的极限值为0。常规计算：
①（△t+C）=C ②C·△t=0 ③f(△t)=f(0)
④ f(t+△t)=f(t) ⑤ eq \f(sin(△t),△t) = 1
『附录』常用等价无穷小关系（）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
㈢ 导数
前面我们用了极限“”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成:
z= eq \f(△y,△t) ,并简记为z= eq \f(dy,d t) ,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v= eq \f(dx,d t) 、a= eq \f(dv,d t) 、i= eq \f(dq,d t) 、ε=N eq \f(dФ,d t) 等，甚至不限于对时间求导，如F= eq \f(dWF,d x) 、Ex= eq \f(dU,dx) 、ρ= eq \f(dm,dl) 等。
这个dt（也可以是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中的时间微元△t，当然每次这样用来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。
如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公式：
⑴ 导数的四则运算
① eq \f(d(u±v),d t) = eq \f(du,d t) ± eq \f(dv,d t) ③ eq \f(d( eq \f(u,v) ),d t) = eq \f( eq \f(du,d t) ·v - u· eq \f(dv,d t) eq \f(u,v) ,v2)
② eq \f(d(u·v),d t) = eq \f(du,d t) ·v + u· eq \f(dv,d t) eq \f(u,v)
⑵ 常见函数的导数
① eq \f(dC,dt) =0(C为常数)； ④ eq \f(dcst,dt) =-sint；
② eq \f(dtn,dt) =ntn-1 (n为实数)； ⑤ eq \f(det,dt) =et；
③ eq \f(dsint,dt) =cst；
⑶ 复合函数的导数
在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。
eq \f(du(v(t)),d t) = eq \f(du(v(t)),d v(t)) · eq \f(dv(t),d t)
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数——称为链式法则。
【练】1、某弹簧振子在X轴上做直线运动，其位移x与时间t的关系为x=Asinωt，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为A（A称为振幅），周期为 eq \f(2π,ω) （ω称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运动。请完成以下几问：
①求出t时刻的速度v
②写出合力F与位移x的关系
③验证简谐运动中质点的机械能守恒。
P
Q
θ
【练】2、某矩形线框面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，线框绕PQ轴以角速度ω匀速转动，从水平位置开始计时，在t时刻：①写出磁通量Ф的表达式②求出线框产生的感应电动势ε
(计算完后自行与《阳光课堂》P40【点拨】部分对照)
三：微分和积分
㈠ 简单问题
Q0→Q1
q
【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况。某电容为C的电容器，其已充电的电量为Q0，若让该电容与另一个阻值为R的的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）。试讨论，放电时流过电阻R的电流随时间t 的变化关系如何？
分析：①根据电荷守恒定律，当通过电阻R的电量为q时，电容器的电量从Q0变成Q1，满足Q0=Q1+q ，即q=Q0-Q1 ；
②流过电阻R的电流i与通过电阻R的电量q 满足关系式：i= eq \f(dq,d t)
③根据电容电量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi ，那么q= Q0- CRi ；
④联立上式，有i= eq \f(dq,d t) = eq \f(d(Q0- CRi),d t) = - CR eq \f(di,d t)
⑤进行公式变形，令x= - eq \f(t,CR) ,则有i= - CR eq \f(di,d t) = eq \f(di,dx)
同学们思考一下，i应该是什么函数，才能满足i= eq \f(di,dx) ？，或者说什么函数的导数等于函数本身？
我们观察到，只有y=Cex形式的函数才满足i= eq \f(di,dx) 关系，C为待定常数。
故可以知道，i = Cex = Ce-t/CR
当t=0 时，U0= eq \f(Q0,C) ， i0= eq \f(U0,R) = eq \f(Q0,CR) ；而把t=0 代人，得i = Ce-t/CR=C；故C= eq \f(Q0,CR)
所以，流过电阻R的电流随时间t 的变化关系为：i = eq \f(Q0,CR) e-t/CR
【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q随时间t 的变化关系如何？
㈡微分
1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就检测不到有电流了。
2、对于i= - CR eq \f(di,d t) 或i= eq \f(di,dx) ，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函数满足该微分方程的函数关系，当然，我们要注意比如上题中的t=0 之类的初始条件。
3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。下面我们用微元法的方式来处理这个问题。
在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q。虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间△t内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有△q= i△t 。对电容有Q=CU=CiR，△Q=ＣＲ△i；由电量守恒，△Q= －△q ，故－i△t＝ＣＲ△i，然后把“△”形式改写成微积分语言的“d”形式，就有－idt＝ＣＲdi （dt和di称之为微分）,数学变形为i= - CR eq \f(di,dt) ，即以上解法中的微分方程。
微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t的函数F(t)，它的极其微小的变化，我们记它为微分dF，它与时间微分dt满足关系式：dF= eq \f(dF,dt) dt，其中 eq \f(dF,dt) 为F对t的导数。
下面是常见的微分公式与微分运算法则：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧ ⑨
㈢积分
在上例问题中，在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q= i△t，△q称为电量微元。如果我们把0到t时间内的△q加起来，用求和符号“∑”表示，则有：q=∑i△t。由于t=N△t,当△t取无穷小时，那么i△t就有N→∞个，也就是，我们要把无穷个i△t进行相加操作，为了方便，我们用微积分符号表示q=∑i△t=，称为对i在时间上求积分。我们来看一下这么做有什么意义：
①从几何上看，对于i-t 图像，q=∑i△t=
就是图像中的面积。对于恒定电流，很简单，△q= i△t，即小块矩形面积；对于变化的电流，用△q= i△t来计算，发现有一小块近似三角形面积的误差，不过当我们取当△t取无穷小时，用极限处理后，该误差会无穷逼近零，可以忽略不计，那么计算的面积就无限精确接近实际面积了。
②前面我们求导用了i= eq \f(dq,dt) ，积分用了q=。可以看出，从某种程度上说，积分实际是求导的逆运算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-e-t/CR), i = eq \f(Q0,CR) e-t/CR满足求导和积分的运算关系i= eq \f(dq,d t) 、q=。
对于一般函数F，如果有f= eq \f(dF,dt) ，那么就有=F+C。请思考，为什么积分中会出现常数C？
下面是常见的积分公式，请同学们对照求导公式理解：
① ②
③ f ④
⑤
现在我们用微积分书写方式来来解答上题。
怎么来求呢？我们知道 eq \f(det,d t) =et，
令F(t)= et，有t=lnF；
则有 eq \f(dF,d t) =F，即 eq \f(dF,F) =dt=d(lnF) ；
那么= = lnQ+C。
=？请同学们自己推导。
由Q0=Q+q ；
Q=Q0-q ；
则dQ= - dq = - idt= - eq \f(U,R) dt= - eq \f(Q,CR) dt ；
即 eq \f(dQ, Q) = - eq \f(1,CR) dt ；
对等号两边积分： = ；
有lnQ = - eq \f(t,CR) C`，或者Q=Ce-t/CR ；
当t=0时，Q(0)=C=Q0 ；
所以电容器电量为Q= Q0e-t/CR 。
㈣ 定积分
【例】某质点在X轴上做直线运动，其速度v满足函数关系v=3t2,求从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移。
分析：在dt时间内，质点可以认为做匀速直线运动，即ds=vdt,那么对等号两边积分，有，则有：s= t3 +C ；
现在有问题了：当t=0时，S(0)等于多少我们不知道！而且已知条件中的时间“从t=1s到t=3s”也没有用上！
下面我们从物理上考察C这个常数的意义。
t=0时，s(0)=C。当我们令C=0时，相当于质点在零时刻从坐标原点开始运动；当我们令C=1时，相当于质点在零时刻从坐标位置X=1m处开始运动；……。
t
v
我们发现，C这常数的取值相当于选取观察质点运动的静止参考系位置，然而所求的从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移应该与所选取的静止参考系无关，也就是对任意静止参考系，质点发生的位移应该是一致的，如图所示。
那么我们就随便选取某一参考系，使质点在零时刻从坐标位置X=Cm处开始运动，则位移与时间的函数关系式为：s(t)= t3 +C。题目中所求的1到3秒的位移为：s1=s(3)-s(1)=（33+C）-（13+C）=8m 。
题目中所要求的位移（速度积分）与积分式=F+C中的C无关，当要求t=t1到t=t2时间内位移时，s(t1→t2)=s(t2) - s(t2)。这个相当于我们用s=∑v△t来求v-t图像中的从t=t1到t=t2范围内的面积。我们用一种简单符号表示这种关系：=F(b) – F(a)。这种积分叫定积分。
【练】1、已知导线中的电流按I = t3-0.5t+6的规律随时间 t 变化，式中电流和时间的单位分别为A和s。计算在t =1s到t =3s的时间内通过导线截面的电荷量。
【练】2、某质量为m的均匀细杆，长为L，绕其一端点做角速度为ω的匀速转动，试求其动能。
【练】3、某弹簧劲度系数为K，原长为L，若将弹簧从2L长拉伸至3L长处，问应克服弹簧弹力做多少功？
【练】4、对于某电路，通过电阻R=2Ω的电流i=2t+1(A)，问从t=0时刻开始经过4s后，电阻产生的焦耳热是多少？
四：课后习题
1、质量为2kg的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x轴上的坐标为x=3+5cs2t，y轴上的坐标为y=-4+5sin2t，t为时间物理量，问：
⑴物体的速度是多少？
⑵物体所受的合外力是多少?
⑶该物体做什么样的运动？
⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？
2、一质点在某水平力F的作用下做直线运动，该力做功W与位移x的关系为W=3x-2x2,试问当位移x为多少时F变为零。
3、已知在距离点电荷Q为r处Ａ点的场强大小为E= eq \f(KQ,r2) ,
请验证Ａ点处的电势公式为：U = eq \f(KQ,r) 。
4、某复合材料制成的一细杆OP长为L，其质量分布不均匀。在杆上距离O端点为x处取点A，令M为细杆上OA段的质量。已知M为x的函数，函数关系为M=kx2，现定义线密度ρ= eq \f(dM,dx) ,问当x= eq \f(L,2) 处B点的线密度为何？
5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J，当振动物体离开平衡位置 eq \f(1,2) 振幅处，其势能EP= ，动能Ek= 。
6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U对电容为C的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。
7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R的电阻，导轨宽度为L，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B。有一导体棒ab垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。在t=0时刻，给导体棒一水平向左的初速度V0，若其他电阻不计，则
⑴求导体棒的速度v随时间t的函数表达式；
⑵求导体棒从开始运动到停下为止，其滑行的总位移S；
⑶求导体棒在运动过程中产生的感应电流I随时间t的函数关系；
⑷求全过程中流过导体棒的总电荷Q。