云南省长水教育集团2024-2025学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

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本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，若，则（ ）
A.1B.C.0D.
2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
3.已知，，，则（ ）
A.B.C.D.
4.若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
5.若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A.B.C.D.
6.已知向量，满足：，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
7.过点分别作两条直线与圆分别相切于、两点，则（ ）
A.B.C.D.
8.在正方体中，平面经过点，，平面经过点，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则（ ）
A.的虚部为
B.
C.在复平面内的对应点位于直线上
D.为方程的一个根
10.如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点，则（ ）
A.B.
C.D.平面平面
11.若圆：上恰有三个点到直线：的距离为2，则的取值可以为（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的分位数是______.
13.过曲线上一点作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，，若直线过原点，则其斜率为______.
14.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线关于原点对称，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知直线：与直线：.
（1）当为何值时，与平行，并求与的距离；
（2）当为何值时，与垂直.
16.（本小题满分15分）
在中，，，分别是内角，，的对边，且.
（1）若，求；
（2）若，求面积的最大值.
17.（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上的一点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值；
（3）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
18.（本小题满分17分）
已知圆的半径为3，圆心在直线：位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切.
（1）直接写出的反射光线所在直线的方程；
（2）求圆的方程；
（3）点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程.
19.（本小题满分17分）
在以为原点的平面直角坐标系中：过点的直线与圆：交于，两点，圆：.
（1）若，求的斜率；
（2）若过点存在无穷多对互相垂直的直线和分别与和相交于，和，两点，和的斜率存在，且，求的值.
长水教育集团2024~2025学年第一学期质量检测（11月）
高二年级数学答案
一、选择题
1.A【解析】，则，解得.当，满足题意；当，不满足集合元素互异性；故.故选A.
2.A【解析】由题设，则直线的斜率，结合直线倾斜角的范围，易知直线的倾斜角为.故选A.
3.D【解析】由指对幂函数单调性易得，，，故.故选D.
4.C【解析】因方程表示圆，所以，解得.故选C.
5.B【解析】设圆锥的底面半径为，由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为，母线长为，又轴截面面积为，故，，则该圆锥的表面积为.故选B.
6.A【解析】由，，得，即，
由已知得，所以向量在向量上的投影向量.故选A.
7.C【解析】因为，可得圆心，半径，因为，则，可得
，，故
.故选C.
8.D【解析】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，平面与平面的夹角为，因为平面，平面，所以，且，，，平面，
所以平面，同理平面，所以为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，，，，
，，则.故选D.
二、选择题
9.BCD【解析】对于A，，故，其虚部为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直线上，故C正确；对于D，易得，故D正确.故选BCD.
10.ABD【解析】对于A，因
，故A正确；
对于B，不妨设，，，则构成空间的一个基底.
则依题意：，，，，，由A可得，，
则，
则，故B正确；对于C，因，故
，故C错误；
对于D，如图取的中点，连接，则，
因为，为的中点，所以.
又，故有.
因为，，平面，所以平面，
又平面，故平面平面，即D正确.故选ABD.
11.BC【解析】将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4，设直线的方程为，即，由于圆的半径为4，则要使上恰有三个点到直线的距离为2，只需圆心到该直线的距离为2，即，
解得，则选项BC正确.故选BC.
三、填空题
12.84【解析】8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，因为，所以分位数为第5个数，即84分.故答案为84.
13.【解析】设，则，，由题意可得，解得或，经过检验不符合，故舍去，故其斜率为，故答案为.
14.【解析】将的图象向左平移个单位长度，得到函数
的图象，若与曲线关于原点对称，可得，即，可得，由于不恒等于0，所以，故，故答案为.
四、解答题
15.解：（1）由直线与平行，则，解得或，
当时，两直线重合，故.
所以此时直线：，：
所以与的距离为
（2）由直线与垂直，则
解得或.
16.解：（1）因为，所以由正弦定理得，
又，所以，
从而.
（2）由余弦定理可知，则
又，故
即，故，即
从而，
当时取等号，
即的面积的最大值为3.
17.解：（1）由三棱柱性质可得平面平面，
又平面，故平面.
（2）因为平面，，平面，
所以，，且，
故，，两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，
则，
由，故，
故直线与直线所成角的余弦值为.
（3）设，，则，，
设平面的一个法向量为，
有，令，则，，
即
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，即，因为，
所以点到平面的距离为.
18.解：（1）设的反射光线所在直线上任意点为，则该点关于轴对称点在直线上，所以的反射光线所在直线的方程为.
（2）设点，而圆与直线相切，且圆半径为3，
则，
即，
整理得或，
又点在第一象限，即，因此，点，
所以圆的方程为.
（3）由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点，
由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，得点在点的右侧，设，，则，连接，，，
，，，
又，
整理得，解得，即点
直线的斜率为，由光的反射性质知，，则直线的斜率为，
直线的方程为，即.
18.解：（1）设，，直线：，
联立，
得，所以得，
，解得.
（2）由题意可得直线、的方程分别为：，，
即：，
将圆化为标准方程为：.
因为，故有：，
化简得：或，
因为过点存在无穷多对互相垂直的直线和，
所以关于的方程有无穷多解，从而有或，
解得或，故或2.