2025新高考物理二轮复习【核心素养测评】十五 万有引力定律（练习，含解析）

这是一份2025新高考物理二轮复习【核心素养测评】十五 万有引力定律（练习，含解析），共14页。
【基础巩固练】
1.(6分)(自然现象)(2023·武汉模拟)在地球上观察发现,行星并非总向一个方向移动,大多数时间它相对于太阳由西向东移动,但有时却要停下来,然后向西移动一段时间,随后又向东移动,这个现象叫作行星的逆行。观察发现每次逆行都发生在火星相对地球距离最小的位置附近。假设火星与地球在同一平面内朝同一方向绕太阳做匀速圆周运动,已知火星轨道半径约为1.5 AU(太阳到地球的距离为
1 AU),则连续两次观察到火星逆行现象的时间间隔大约为( )
A.1年 B.2年 C.3年 D.4年
2.(6分)上世纪70年代,苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时,井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F,已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,质量分布均匀的地球的半径为R,质量为M,引力常量为G,则F大小等于( )
A.GMm(R-d)2B.GMm(R-d)R3C.GMmR3R-dD.GMmR2
3.(6分)(2023·衡阳模拟)近日,某天文学家团队利用空间望远镜,发现了4个迄今已知最古老的星系,其中一个星系形成于宇宙大爆炸后3.2亿年,当时宇宙尚处于“婴儿”阶段。该星系内每个星球贴近其表面运行的卫星的周期用T表示,被环绕的星球的平均密度用ρ表示,若ρ与1T2的关系图像为直线,斜率为k,则引力常量可表示为( )
A.3kπB.3kπC.3πkD.k3π
4.(6分)(多选)(2024·郑州模拟)如图所示为“天问一号”着陆火星前环绕火星运行的椭圆轨道,O点为火星所在位置,P点为近火点,Q点为远火点,MN为轨道的对称轴,已知OP=x、OQ=y,则“天问一号”( )
A.由P到N的时间小于由N到Q的时间
B.由P经N到Q的时间小于由Q经M到P的时间
C.在M、P两点的速度大小相等
D.在P、Q两点的速度大小之比为y∶x
5.(6分)(2023·宜春模拟)科幻电影中提到的“洛希极限”即当一个天体自身的引力与第二个天体造成的潮汐力相等时的距离。当两个天体的距离少于洛希极限,天体就会倾向碎散,继而成为第二个天体的环。1992年苏梅克-列维9号彗星在经过木星时分裂成碎片,最终于1994年落在木星上就是如此。已知行星与卫星的洛希极限计算式为d=kR(ρ1ρ2)13,其中k为常数,R为行星半径,ρ1、ρ2分别为行星和卫星密度。若已知行星半径R,卫星半径为R27,且表面重力加速度之比为8∶1,则其“洛希极限”为( )
A.23kRB.32kRC.6kRD.16kR
【加固训练】
(2023·成都模拟)中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动。已知其轨道距地面的高度为h,运行周期为T,地球半径为R,引力常量为G,由此可得到地球的平均密度为( )
A.3πGT2 B.4πGT2C.3π(R+h)3GT2R3D.3π2(R-h)3GT2R3
6.(6分) (2022·山东等级考)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示,该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动,轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻,沿相同方向经过地球表面A点正上方,恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R,自转周期为T,地球表面重力加速度为g,则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
A.(gR2T22n2π2)13-R B.(gR2T22n2π2)13
C.(gR2T24n2π2)13-RD.(gR2T24n2π2)13
【综合应用练】
7.(6分)(自然现象) (2023·湖北选择考) 2022年12月8日,地球恰好运行到火星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线,此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动,火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2,如图所示。根据以上信息可以得出( )
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时,两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
8.(6分)(2024·西安模拟)若航天员在地球表面用弹簧秤测量一个物体的重力,弹簧秤的示数为F1;航天员将同一个弹簧秤和物体带上月球,在月球表面测量时弹簧秤的示数为F2。地球与月球均视为质量分布均匀的球体,其半径分别为R1、R2,P为距地球中心0.5R1的一点,Q为距月球中心0.5R2的一点,忽略地球和月球的自转,已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0。下列说法正确的是( )
A.地球与月球表面的重力加速度之比为F2F1
B.地球与月球的质量之比为F1R22F2R12
C.地球与月球的密度之比为F1R2F2R1
D.P点和Q点的重力加速度之比为F1R1F2R2
9.(6分)(科技前沿)(2023·保定模拟)“古有司南,今有北斗”,如图甲所示的北斗卫星导航系统入选“2022全球十大工程成就”。组成北斗系统的卫星运行轨道半径r越高,线速度v越小,卫星运行状态视为匀速圆周运动,其v2-r图像如图乙所示,图中R为地球半径,r0为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径,图中物理量单位均为国际单位,引力常量为G,忽略地球自转,则( )
A.地球的质量为bGR
B.地球的密度为3b24πR2
C.GEO卫星的加速度为bRr02
D.地球表面的重力加速度为bR
【加固训练】
(多选)(2023·清远模拟)如图所示,天问一号探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行,周期为T。已知火星的半径为R,火星的第一宇宙速度为v1,引力常量为G,则( )
A.火星的质量为v12GR
B.火星的密度为3v124πGR2
C.火星表面的重力加速度为(v1R)2
D.停泊轨道的半长轴为3v12T2R4π2
10. (6分)(2024·黄冈模拟)理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体,O为球心,以O为原点建立坐标轴Ox,如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示,则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是( )
【情境创新练】
11.(6分)太空电梯(图甲)的原理并不复杂,与生活中的普通电梯十分相似,只需在地球同步轨道上建造一个空间站,并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连。在引力和向心加速度的相互作用下,绳索会绷紧,航天员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空,这样不需要依靠火箭、飞船这类复杂的航天工具。如乙图所示,假设有一长度为r的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站a,a相对于地球静止,卫星b与同步空间站a的运行方向相同,此时二者距离最近,经过时间t之后,a、b第一次相距最远。已知地球半径R,自转周期T,下列说法正确的是( )
A.太空电梯各点均处于完全失重状态
B.卫星b的周期为2Tt2t-T
C.太空电梯停在距地球表面高度为2R的站点时,该站点处的重力加速度g=4π2T2(r29R2-3R)
D.太空电梯上各点线速度与该点离地球球心的距离成反比
解析版
1.(6分)(自然现象)(2023·武汉模拟)在地球上观察发现,行星并非总向一个方向移动,大多数时间它相对于太阳由西向东移动,但有时却要停下来,然后向西移动一段时间,随后又向东移动,这个现象叫作行星的逆行。观察发现每次逆行都发生在火星相对地球距离最小的位置附近。假设火星与地球在同一平面内朝同一方向绕太阳做匀速圆周运动,已知火星轨道半径约为1.5 AU(太阳到地球的距离为
1 AU),则连续两次观察到火星逆行现象的时间间隔大约为( )
A.1年 B.2年 C.3年 D.4年
【解析】选B。根据开普勒第三定律r火3T火2=r地3T地2,解得T火=278年,设连续两次观察到火星逆行现象的时间间隔大约为t,则根据行星追赶一周可知(2πT地-2πT火)t=2π,解得t≈2年,故选B。
2.(6分)上世纪70年代,苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时,井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F,已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,质量分布均匀的地球的半径为R,质量为M,引力常量为G,则F大小等于( )
A.GMm(R-d)2B.GMm(R-d)R3C.GMmR3R-dD.GMmR2
【解题指南】将地球分为半径为(R-d)的球和厚度为d的球壳两部分,球壳对小球的引力为零,根据质量的关系解得井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力。
【解析】选B。将地球分为半径为(R-d)的球和厚度为d的球壳两部分,球壳对小球的引力为零,则F等于半径为(R-d)的球对小球的引力,即F=Gm1m(R-d)2;设半径为(R-d)球的质量为m1,由密度公式得M=ρV=ρ43πR3,所以m1M=(R-d)3R3,解得,F的大小为F=GMm(R-d)R3,B正确,A、C、D错误。
3.(6分)(2023·衡阳模拟)近日,某天文学家团队利用空间望远镜,发现了4个迄今已知最古老的星系,其中一个星系形成于宇宙大爆炸后3.2亿年,当时宇宙尚处于“婴儿”阶段。该星系内每个星球贴近其表面运行的卫星的周期用T表示,被环绕的星球的平均密度用ρ表示,若ρ与1T2的关系图像为直线,斜率为k,则引力常量可表示为( )
A.3kπB.3kπC.3πkD.k3π
【解析】选C。设被环绕的星球的半径为R,则该星球的体积V=43πR3,设该星球的质量为M,卫星的质量为m,由GMmR2=m4π2T2R,ρ=MV,可得ρ=3πGT2;所以k=3πG,解得G=3πk,故选C。
4.(6分)(多选)(2024·郑州模拟)如图所示为“天问一号”着陆火星前环绕火星运行的椭圆轨道,O点为火星所在位置,P点为近火点,Q点为远火点,MN为轨道的对称轴,已知OP=x、OQ=y,则“天问一号”( )
A.由P到N的时间小于由N到Q的时间
B.由P经N到Q的时间小于由Q经M到P的时间
C.在M、P两点的速度大小相等
D.在P、Q两点的速度大小之比为y∶x
【解析】选A、D。由开普勒第二定律可知,“天问一号”离火星越近的位置速度越大,越远的位置速度越小,因此由P到N的时间小于由N到Q的时间,A正确;由对称性可知,由P经N到Q的时间等于由Q经M到P的时间,B错误;P点为近火点,M点到火星的距离大于P点到火星的距离,“天问一号”离火星越近的位置速度越大,因此在M、P两点的速度大小不相等,C错误;由开普勒第二定律可得12vPxΔt=12vQyΔt
整理解得vP∶vQ=y∶x,D正确。
5.(6分)(2023·宜春模拟)科幻电影中提到的“洛希极限”即当一个天体自身的引力与第二个天体造成的潮汐力相等时的距离。当两个天体的距离少于洛希极限,天体就会倾向碎散,继而成为第二个天体的环。1992年苏梅克-列维9号彗星在经过木星时分裂成碎片,最终于1994年落在木星上就是如此。已知行星与卫星的洛希极限计算式为d=kR(ρ1ρ2)13,其中k为常数,R为行星半径,ρ1、ρ2分别为行星和卫星密度。若已知行星半径R,卫星半径为R27,且表面重力加速度之比为8∶1,则其“洛希极限”为( )
A.23kRB.32kRC.6kRD.16kR
【解析】选A。利用星球表面处物体的重力等于万有引力GMmR2=mg得,M=gR2G,星球的密度为ρ=MV=3g4GRπ,则ρ1ρ2=827,则其“洛希极限”为d=kR(ρ1ρ2)13=23kR,故选A。
【加固训练】
(2023·成都模拟)中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动。已知其轨道距地面的高度为h,运行周期为T,地球半径为R,引力常量为G,由此可得到地球的平均密度为( )
A.3πGT2 B.4πGT2C.3π(R+h)3GT2R3D.3π2(R-h)3GT2R3
【解析】选C。中国空间站天和核心舱绕地球运行时,由万有引力提供向心力GMm(R+ℎ)2=m(2πT)2(R+h),可求得地球的质量M=4π2(R+ℎ)3GT2,地球可近似看作球体,根据密度的定义式得ρ=MV=4π2(R+ℎ)3GT24πR33=3π(R+ℎ)3GT2R3,故选C。
6.(6分) (2022·山东等级考)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示,该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动,轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻,沿相同方向经过地球表面A点正上方,恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R,自转周期为T,地球表面重力加速度为g,则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
A.(gR2T22n2π2)13-R B.(gR2T22n2π2)13
C.(gR2T24n2π2)13-RD.(gR2T24n2π2)13
【解析】选C。地球表面的重力加速度为g,根据牛顿第二定律得GMmR2=mg,解得GM=gR2,根据题意可知,卫星的运行周期为T'=Tn,根据牛顿第二定律,万有引力提供卫星运动的向心力,则有GMm(R+ℎ)2=m4π2T'2(R+h),联立解得h=3gR2T24n2π2-R,故选C。
【综合应用练】
7.(6分)(自然现象) (2023·湖北选择考) 2022年12月8日,地球恰好运行到火星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线,此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动,火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2,如图所示。根据以上信息可以得出( )
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时,两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
【解题指南】解答本题应注意以下两点:
(1)根据开普勒第三定律求解火星与地球绕太阳运动的周期之比;
(2)从上一次行星冲日到下一次行星冲日,地球比火星多转一圈的时间。
【解析】选B。火星和地球均绕太阳运动,由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2,根据开普勒第三定律有r火3r地3=T火2T地2,可得T火T地=r火3r地3=3322,故A错误;火星和地球绕太阳做匀速圆周运动,速度大小均不变,当火星与地球相距最远时,由于两者的速度方向相反,故此时两者相对速度最大,故B正确;在星球表面根据万有引力定律有GMmr2=mg,由于不知道火星和地球的质量比,故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度大小之比,故C错误;火星和地球绕太阳做匀速圆周运动,有ω火=2πT火,ω地=2πT地,要发生下一次“火星冲日”则有(2πT地-2πT火)t=2π,得t=T火T地T火-T地>T地,可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后,故D错误。
8.(6分)(2024·西安模拟)若航天员在地球表面用弹簧秤测量一个物体的重力,弹簧秤的示数为F1;航天员将同一个弹簧秤和物体带上月球,在月球表面测量时弹簧秤的示数为F2。地球与月球均视为质量分布均匀的球体,其半径分别为R1、R2,P为距地球中心0.5R1的一点,Q为距月球中心0.5R2的一点,忽略地球和月球的自转,已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0。下列说法正确的是( )
A.地球与月球表面的重力加速度之比为F2F1
B.地球与月球的质量之比为F1R22F2R12
C.地球与月球的密度之比为F1R2F2R1
D.P点和Q点的重力加速度之比为F1R1F2R2
【解析】选C。地球表面的重力加速度为g1=F1m
月球表面的重力加速度为g2=F2m,则地球与月球表面的重力加速度之比为g1g2=F1F2
故A错误;由万有引力等于重力得GMmR2=mg
所以地球与月球的质量之比为M1M2=g1R12g2R22=F1R12F2R22
故B错误;由ρ=MV,V=43πR3
可得地球与月球的密度之比为ρ1ρ2=F1R2F2R1
故C正确;P点的重力加速度等于地球表面重力加速度的一半,Q点的重力加速度等于月球表面重力加速度的一半,所以P点和Q点的重力加速度之比为gPgQ=F1F2
故D错误。
9.(6分)(科技前沿)(2023·保定模拟)“古有司南,今有北斗”,如图甲所示的北斗卫星导航系统入选“2022全球十大工程成就”。组成北斗系统的卫星运行轨道半径r越高,线速度v越小,卫星运行状态视为匀速圆周运动,其v2-r图像如图乙所示,图中R为地球半径,r0为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径,图中物理量单位均为国际单位,引力常量为G,忽略地球自转,则( )
A.地球的质量为bGR
B.地球的密度为3b24πR2
C.GEO卫星的加速度为bRr02
D.地球表面的重力加速度为bR
【解析】选C。根据GMmR2=mb2R,得地球的质量M=bRG,A错误;地球的密度ρ=MV=3b4GπR2,B错误;根据GMmr02=ma,GM=bR,联立解得GEO卫星的加速度a=bRr02,C正确;根据GMmR2=mg,解得g=bR,D错误。
【加固训练】
(多选)(2023·清远模拟)如图所示,天问一号探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行,周期为T。已知火星的半径为R,火星的第一宇宙速度为v1,引力常量为G,则( )
A.火星的质量为v12GR
B.火星的密度为3v124πGR2
C.火星表面的重力加速度为(v1R)2
D.停泊轨道的半长轴为3v12T2R4π2
【解析】选B、D。设火星的质量为M,天问一号的质量为m,当天问一号绕火星表面运行时,有GMmR2=mv12R,可得M=v12RG,A错误;又因为ρ=MV,V=4πR33,联立解得火星的密度ρ=3v124πGR2,B正确;根据牛顿第二定律得mg=mv12R,解得火星表面的重力加速度g=v12R,C错误;设停泊轨道的半长轴为a,由开普勒第三定律有(aR)3=(TT')2,又因为T'=2πRv1,解得a=3v12T2R4π2,D正确。
10. (6分)(2024·黄冈模拟)理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体,O为球心,以O为原点建立坐标轴Ox,如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示,则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是( )
【解析】选A。因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零,则在距离球心x处(x≤R)物体所受的引力为F=GM1mx2=G43πx3ρmx2=43Gπρmx∝x
当x>R时
F=GMmx2=G·43πR3ρ·mx2=4GπρmR33x2∝1x2
故选A。
【情境创新练】
11.(6分)太空电梯(图甲)的原理并不复杂,与生活中的普通电梯十分相似,只需在地球同步轨道上建造一个空间站,并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连。在引力和向心加速度的相互作用下,绳索会绷紧,航天员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空,这样不需要依靠火箭、飞船这类复杂的航天工具。如乙图所示,假设有一长度为r的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站a,a相对于地球静止,卫星b与同步空间站a的运行方向相同,此时二者距离最近,经过时间t之后,a、b第一次相距最远。已知地球半径R,自转周期T,下列说法正确的是( )
A.太空电梯各点均处于完全失重状态
B.卫星b的周期为2Tt2t-T
C.太空电梯停在距地球表面高度为2R的站点时,该站点处的重力加速度g=4π2T2(r29R2-3R)
D.太空电梯上各点线速度与该点离地球球心的距离成反比
【解析】选B。太空电梯各点随地球一起做匀速圆周运动,只有位置到达同步卫星的高度的点才处于完全失重状态,故A错误;同步卫星的周期为Ta=T,当a、b第一次相距最远时满足2πtTa-2πtTb=π,解得Tb=2Tt2t-T,故B正确;太空电梯长度即为同步卫星离地面的高度,根据万有引力提供向心力GMm(R+r)2=m4π2T2(R+r),太空电梯停在距地球表面高度为2R的站点时,设太空电梯上货物质量为m,在距地面高2R的站点受到的万有引力为F,则F=GMm(3R)2,货物绕地球做匀速圆周运动,设太空电梯对货物的支持力为FN,则F-FN=mω2·3R在电梯内有FN=mg,ω=2πT,解得g=4π2T2[(r+R)39R2-3R],故C错误;太空电梯相对地球静止,各点角速度相等,各点线速度v=ωR',与该点离地球球心距离成正比,故D错误。