黑龙江省哈尔滨市平房区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（五四制）(含解析)

这是一份黑龙江省哈尔滨市平房区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（五四制）(含解析)，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，共计30分）
1．十二生肖是我国悠久的民俗文化，下列生肖汉字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算中，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列式子中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
7．若分式中的都扩大2倍，则该分式的值（ ）
A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小为原来的
8．如图，在中，，，，，则的长为（ ）．
A．B．C．D．
9．若计算的结果中不含关于字母的一次项，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．下列说法：①在三角形中，角所对的边等于最长边的一半；②与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；③等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一；④有一个内角是 的等腰三角形是等边三角形；⑤三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．将数0.000092用科学记数法表示为 ．
12．若分式 有意义，则 的取值范围是 ．
13．把多项式 分解因式的结果为 ．
14．计算：= ．
15．计算：3﹣2＝ ．
16．方程的解为 ．
17．已知 ，则 的值为 ．
18．已知点 、点 在线段 的垂直平分线上，且 ，则 的度数为 ．
19．已知 ，则代数式 的值为 ．
20．如图，在 中，点 在 上，于点 ，则 的值为 ．
三、解答题（共计60分）
21．计算：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)．
22．先化简，再求代数式的值，其中 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，
(1)画出 关于 轴对称的 （点 与点 对应，点与点 对应，点 与点 对应）；
(2)连接 在 的下方画出以 为底的等腰直角 ，并且直接写出点 的坐标．
24．将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，
例如：若 ，求 的值．
解：因为 ，所以 ，即 ．又因为 ，所以 ．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)两个正方形 如图摆放，面积和为 ，则图中阴影部分面积为 ．
25．某商店购进了一批甲、乙两种不同品牌的雪糕，其中甲种雪糕花费了200元，乙种雪糕花费了240元，已知甲种雪糕比乙种雪糕多了20个，乙种雪糕的单价是甲种雪糕单价的1.5倍．
(1)求购进的甲、乙两种雪糕的单价；
(2)若甲雪糕每个售价是3.5元，该商店保证卖出这批雪糕的利润不低于230元，那么乙种雪糕每个售价至少是多少元？
26．在 中， 于点，平分，点在上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，作，交的延长线于点，连接 ，交的延长线于点，若，求的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点，点，其中满足；
(1)求的值；
(2)点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正半轴运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围；
(3)在（2）的条件下，点在上，点在延长线上，，当时，求点的坐标．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A，B，C选项中的生肖汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
D选项中的生肖汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2．D
【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和法则是解题的关键．
【详解】A. ，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意；
故选D．
3．C
【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符合题意；
故选Ｃ．
4．C
【分析】本题考查了分式的定义，注意分母中的整式中含有字母是解题的关键．
【详解】解：分母中含有字母的只有，
故选C．
5．A
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，根据二次根式的性质、合并同类二次根式的法则对各个选项进行计算，判断即可．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】因式分解是将多项式分解成为几个因式相乘的形式，由此即可求解．
【详解】解：根据因式分解的定义可知，
选项，不符合因式分解的定义，不符合题意；
选项，是应用完全平方公式进行因式分解，符合题意；
选项，的值不确定，且右侧含有分式，不符合题意；
选项，不符合因式分解的定义，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义，方法是解题的关键．
7．A
【分析】根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
即分式中的都扩大2倍，则该分式的值不变．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
8．B
【分析】根据等腰三角形性质求出∠B，求出∠BAC，求出∠DAC=∠C，求出AD=DC=4cm，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案．
【详解】∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=30°，
∵AB⊥AD，AD=4cm，
∴BD=8cm，
∵∠ADB=60°∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴CD=AD=4cm，
∴BC=BD+CD=8+4=12cm．
故选B.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出BD和DC的长．
9．C
【分析】根据题意，先将代数式通过多项式乘以多项式的方法展开，再将关于x的二次项、一次项及常数项分别合并，然后根据不含字母x的一次项的条件列出关于x的方程即可解得．
【详解】
∵计算的结果中不含关于字母的一次项
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查的知识点是多项式乘以多项式的方法，掌握多项式乘法法则，能根据不含一次项的条件列出方程是关键，在去括号时要特别注意符号的准确性．
10．C
【分析】利用等边三角形的判定方法、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及线段的垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①在直角三角形中，角所对的边等于最长边的一半；故①错误；
②与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；故②正确；
③等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高线三线合一；故③错误；
④有一个内角是 的等腰三角形是等边三角形；故④正确；
⑤三个外角都相等的三角形是等边三角形，故⑤正确．
故选：C．
【点睛】考查了等边三角形的判定方法、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．9.2×10-5
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】0.000092=9.2×10-5
故答案为：9.2×10-5
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不等于0．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．
【详解】，
故答案为：．
14．
【详解】解：原式=．
故答案为．
15．
【分析】根据负指数幂的定义直接计算即可．
【详解】解：3﹣2＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是负指数幂的计算，任何不等于零的数的﹣n(n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，在这个幂的意义中，强调底数不等于零，否则无意义．
16．
【分析】本题考查解分式方程．去分母，再解一元一次方程，检验即可得到答案．
【详解】解：去分母得，，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：；
17．
【分析】本题考查了幂的乘方的逆应用，同底数幂的除法逆应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】∵，且，
∴，
故答案为：．
18．或
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，分类计算，分点C，D在的同侧和异侧计算即可．
【详解】∵点 、点 在线段 的垂直平分线上，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，，
当点C，D在的同侧时，
；
当点C，D在的异侧时，
故答案为：或．

19．8
【分析】本题主要考查了分式的减法运算；
根据异分母分式的减法法则变形求出，然后对所求式子变形，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
20．10
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质；作于点跟及已知条件得出，进一步推出，得到，从而根据，求出的长度，即可求解．
【详解】解：如图所示，作于点，
设，∵， 则，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴
故答案为：．
21．(1)
(2)
(3)18
(4)
【分析】本题考查了整式的乘除，整式的加减，积的乘方，二次根式的乘法，二次根式的加减，熟练掌握运算的基本法则是解题的关键．
（1）运用单项式乘以多项式，完全平方公式展开，合并同类项计算即可；
（2）运用单项式乘以单项式，积的乘方计算即可；
（3）运用平方差公式计算即可；
（4）化简成最简二次根式，合并二次根式计算即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
22． ，
【分析】本题主要考查分式的混合运算及化简求值，解题关键在于熟练掌握运算规则，对式子进行因式分解，先对原式进行计算化简，再求值．
【详解】解：
，
当时，
．
23．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查了轴对称作图，构造等腰直角三角形，确定坐标．
(1)先确定A，B，C的坐标，再确定其关于y轴对称的对称点，依次连接构造图形即可．
(2)根据，判断轴，且，根据等腰直角三角形的性质，斜边上的中线等于3，根据点P一定在y轴上，设点故，解得计算即可．
【详解】（1）∵，，．
∴，，．
画图如下：
则即为所求．
（2）画图如下：
则即为所求．
∵，，
∴轴，且，
∵为底的等腰直角 ，
∴斜边上的中线等于3，且点P一定在y轴上，
设点，
故，
解得，
故．
24．(1)15
(2)85
(3)20
【分析】本题考查了完全平方公式的计算，变形计算，正方形的性质．
（1）根据公式变形计算即可．
（2）根据公式变形计算即可．
（3）设，则，求得后，计算阴影的面积即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
解得，
故答案为：15．
（2）∵，，
∴，，
∴，
解得．
（3）设，
则，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为
，
故答案为：20．
25．(1)甲的单价为2元，乙的单价为3元
(2)乙种雪糕的售价至少是4元
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，熟练掌握解分式方程，不等式是解题的关键．
（1）设甲种雪糕的单价为x元，则乙种雪糕的单价是元，则根据甲种雪糕比乙种雪糕多了20个列方程，再解方程即可；
（2）设乙售价至少为 元，根据商店保证卖出这批雪糕的利润不低于230元，列不等式，解不等式即可．
【详解】（1）设甲种雪糕的单价为x元，则乙种雪糕的单价是元，根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
答：甲种雪糕的单价是2元，乙种雪糕的单价是3元．
（2）设乙种雪糕的售价至少为 元，根据题意，得
解得
答：乙种雪糕的售价至少是4元．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】(1)根据平分，得，结合得到，得到，结合得到，证明即可．
(2)延长交于点Q，证明，再证明即可．
(3)连接，，接着再构建辅助线，证明，即可作答．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：延长交于点Q，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
如图，取的中点P，连接，过点P作于点Q，
∵，∵,
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形的特征量，三角形全等的判定和性质，等边对等角，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量是解题的关键．
27．(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据得到，计算即可．
(2)当时，当时，两种情况计算即可．
(3)根据得到，确定点，作，过点A作轴于点A，交于点E，证明，利用勾股定理，一次函数的解析式，解一元二次方程计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
解得．
（2）∵点，点，
∴，
∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正半轴运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，
∴，
当时即，
此时，
；
当时即，
此时，
；
故．
（3）∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，，
∴，
∴，
作，交x轴于点G，
则，
∵，
∴，
过点A作轴于点A，交于点E，
∵，
∴，
∴；
过点A作于点F，
∵，
∴，
∴，
解得，
设，则，，
，
∵，
∴
整理，得，
整理，得，
解得（舍去），
故
∴，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为，
令，得，
故点．
【点睛】本题考查了实数的非负性，二次根式的性质极其应用，三角形全等的判定和性质，勾股定理，一次函数解析式确定，解方程，熟练掌握勾股定理，待定系数法，解方程式解题的关键．