山东省聊城市东昌府区东昌府区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

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九年级数学学科试题
一.单选题(共 15题，共计45)
1．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标是（ ）
A．B．
C．或D．或
2．在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（ ）
A．B．5C．D．5
3．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形,如图, 正十七边形的中心角∠AOB的度数近似于( )
A．11°B．17°C．21°D．25°
4．在中，，如果，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
5．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A．20%B．25%C．50%D．62.5%
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1）D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
7．某化肥厂第一季度生产了m吨化肥，后每季度比上一季度多生产，第三季度生产的化肥为n，则可列方程为 ( )
A．B．
C．D．
8．若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+4＝0有两个相等实数根，则a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
9．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状．大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）
A．2B．C．D．3
10．如图，正方形和正方形，点在边上，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④点到直线和直线的距离相等．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与 y 轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（ ）
A．，B．，C．，D．，
12．是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．5B．C．4D．
13．方程的两根之和为（ ）
A．B．C．3D．4
14．方程x（x-1）=2的两根为（ ）．
A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=2
15．与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是2，则的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
二.填空题(共 10题，共计30分)
16．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则－mn＋= ．
17．如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC= cm2.
18．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，点B是反比例函数y=﹣（x＜0）图象上的点，连接OA、OB、AB，若∠AOB=90°，则sin∠A=
19．若两个相似三角形的周长之比为2：3，较小三角形的面积为8cm2，则较大三角形面积是 cm2．
20．关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
21．如图，在矩形中，，，点是上（不含端点，）任意一点，把沿折叠，当点的对应点落在矩形的对角线上时， ．
22．如图，在矩形中，，把该矩形绕点顺时针旋转度得矩形，点落在的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ．
23．当a 时，关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0是一元二次方程．
24．半径为6 cm的圆内接正四边形的边长是 cm．.
25．已知一元二次方程的一个根为2，则它的另一个根为 ．
三.解答题(共5题，共计25分)
26．解方程：．
27．某工厂去年生产某种产品一件，所获取的利润率为59%，今年由于物价上涨，工厂生产这种产品的成本增加了6%，而今年与去年该产品的出厂售价一样，所以今年该工厂生产该产品一件所获取的利润率为多少.
28．在中，，已知，，求的三个三角函数值．
29．当是什么整数时，关于的一元二次方程与的解都是整数？
30．某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得，，求出点D到AB的距离．
（参考数据，，）
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了图形的位似，掌握“如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或进行计算”是解题的关键．
【详解】解：∵点，以O为位似中心，相似比为，
∴点E的对应点的坐标为：或，
即或，
故选：D．
2．B
【分析】根据正多边形和它的外接圆可知，外接圆的半径就是正多变形的半径，由直径即可得到半径.
【详解】解：∵正六边形ABCDEF的中，直径BE=10，
∴外接圆的半径为5，
故答案为B.
【点睛】本题考查正多边形和外接圆的性质.关键是把握偶数边的正多边形对角线就是外接圆的直径，也就是正多边形的直径.
3．C
【详解】正多边形一定有外接圆，且每条边所对的中心角相等,即360°÷17≈21°．
故选C．
4．B
【分析】由题意知，AB是斜边，AC是∠A的邻边，根据余弦函数的定义求解即可.
【详解】∵,
∴AC=3csα.
故选B.
【点睛】题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， ， ，.
5．C
【详解】设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，
由题意可得：2（1+x）2=4.5，
解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合题意舍去），
答即该店销售额平均每月的增长率为50%；
故选C．
6．D
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
7．B
【分析】此题考查实际问题抽象一元二次方程的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系列方程．
【详解】依题意可知：第二季度的吨数为：，第三季度是在第二季度的基础上增加的，为，
故可得方程：．
故选B．
8．C
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式=0，即可得出关于a的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出a的值．
【详解】∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+4＝0有两个相等实数根，
∴
∴a=1
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）的根的判别式= b2﹣4ac；当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
9．B
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理．作的垂直平分线，交点O就是圆心，连接，则，，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，作的垂直平分线，交点O就是圆心，连接，则，，
∵，，
∴，
即这个镜面的半径是．
故选：B．
10．D
【分析】根据正方形的性质和同角的余角相等可判断①；由正方形的性质可证得，，根据相似三角形的判定可判断②；由结合可判断③；由相似三角形的性质可证得∠，则DG在正方形ABCD的对角线上，即可判断④
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴∠
∴∠+∠GAD
∴∠，故①正确；
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴∠，，
∴∠，，
∴，
，即
∴，故②正确；
∵,
∴
∴，故③正确；
∵
∴∠
∴DG在正方形ABCD的一条对角线上，
∴点到直线和直线的距离相等．故④正确，
所以，正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
11．C
【分析】本题考查切线的判定和性质，坐标与图形，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，作轴于 E，轴于 H，连接 ，根据切线的性质即得出．根据平行线的性质可求出，由切线长定理可知．即易证，得出，．设，则．在中，利用勾股定理可求出x的值，即得出、的长，再根据等积法可求出的长，再次利用勾股定理可求出的长，即得出C点坐标，正确的作出辅助线构造全等三角形是关键．
【详解】解：如图，作 轴于 E， 轴于 H，连接，
∵，，
∴，， 轴，
∴为的切线，
∵直线与切于点C，
∴，，
在 和 中
，
∴，
∴，，
设 ，则，，
在 中，，即，
解得，
∴，，
∵
∴，
∴=，
在 中，，
∴C点坐标为，．
故选：C．
12．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的两个根满足，是解答本题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根满足，是关于的一元二次方程的一个根，设另一根为，
∴，
解得：，
故选：B．
13．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，．据此即可求解．
【详解】解：方程中，
方程的两根之和为3．
故选：C．
14．D
【分析】解此题时应该先化简、整理，然后根据方程形式用公式法进行解答．
【详解】方程移项并化简得x−x−2=0，
a=1，b=−1，c=−2
△=1+8=9>0
∴x=
解得x1=-1，x2=2.
故选D
【点睛】此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于利用判别式
15．C
【分析】本题考查位似图形的性质，利用位似比得出三角形面积比，进而得出答案．
【详解】解：∵与是位似图形，且与的位似比是，
∴
∵ 的面积是2，
∴的面积是：．
故选C．
16．25
【详解】试题分析：由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4，mn=﹣3，将所求式子利用完全平方公式变形后，即﹣mn+=﹣3mn=16+9=25．
故答案为25．
考点：根与系数的关系．
17．9
【详解】
连接BF，过B作BO⊥AC于O，过点F作FM⊥AC于M.
Rt△ABC中,AB=3,BC=6, .
∵∠CAB=∠BAC, ∠AOB=∠ABC, ∴△AOB∽△ABC, , .
∵EF=BG=2BE=2GF，BC=2AB，
∴Rt△BGF和Rt△ABC中, ,∴Rt△BGF∽Rt△ABC，∴∠FBG=∠ACB,
∴AC∥BF,
∴S△AFC=AC×FM=9.
【点睛】△ACF中，AC的长度不变，所以以AC为底边求面积．因为两矩形相似，所以易证AC∥BF，从而△ACF的高可用BO表示．在△ABC中求BO的长度，即可计算△ACF的面积．
18．
【分析】从A和B分别作X轴的垂线，证明相似即可求解.
【详解】如图，从A点和B点作X轴的垂线，垂足分别为C和D.因为∠AOB=90°，易知△OBD≌△AOC，则.因为点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，点B是反比例函数y=﹣（x＜0）图象上的点，设OD为m，BD为n，OC为a，AC为b，则ab=5，mn=1，求得，则sin∠A=.
.
【点睛】证明相似是解题的关键.
19．18
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，根据比例关系进行解答即可．
【详解】解：设较大三角形面积是xcm2
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
∴
∴
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了形似三角形的性质，熟练掌握“相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”是解题的关键．
20．9
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，解得，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．
21．或
【分析】分点落在对角线BD和AC上两种情形求解．
【详解】当点落在矩形对角线BD上，如图１所示，
∵矩形中，，，
∴，，
∴.
根据折叠的性质得：，
∴∠ABD+∠DBC=90°，∠PCB+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠PCB，
∵∠BAD=∠CBP=90°，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点落在矩形对角线AC上，如图2所示，
根据折叠的性质得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：.
故答案为或.
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
22．
【分析】首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出，即可得出阴影部分面积．
【详解】解：∵在矩形中，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及旋转的性质以及扇形面积公式等知识，得出旋转角的度数是解题关键．
23．≠2
【分析】根据一元二次方程的定义可得a-2≠0，再解即可．
【详解】由题意得：a-2≠0，
解得：a≠2，
故答案为≠2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
24．6
【详解】解：如图：
圆的半径是6cm，那么内接正方形的边长为：AB=CB，
因为：AB2+CB2=AC2，
所以：AB2+CB2=122
即AB2+CB2=144
解得AB=cm.
故答案为：6．
25．-3
【详解】分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，x1+x2=-，可直接求解出另一个根.
详解：因为a=1，b=1
所以x1+x2=-1
又因为x1=2，
所依x2=-3.
故答案为-3.
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确利用根与系数的关系x1+x2=-解题是关键.
26．
【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴，
即．
27．今年该工厂生产该产品一件所获取的利润率为50%
【分析】设去年的成本为x,售价就为159%x,设年该工厂生产该产品一件所获取的利润率为y,根据工厂生产这种产品的成本增加了6%,而今年与去年该产品的出厂售价一样,可列方程求解.
【详解】解：设去年的成本为x，该年工厂生产该产品一件所获取的利润率为y，则
所以今年该工厂生产该产品一件所获取的利润率为50%.
故答案为50%.
【点睛】本题考查理解题意的能力,关键是表示出售价,从而根据利润率求出结果.
28．，，．
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用、勾股定理，熟练掌握正弦，余弦，正切的定义是解答本题的关键．
先根据勾股定理求出的长，然后根据在直角三角形中，锐角的正弦为该角的对边比斜边，余弦为该角的邻边比斜边，正切为该角的对边比邻边，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
在中，，已知，，
，
，
，
．
29．
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系、解一元二次方程、解一元一次不等式，根据根的判别式确定的范围是解答本题的关键．
根据题意，得到，且两个方程判别式，由此得到，根据是整数，得到，，分别计算两种情况下，两个方程解的情况，得到当时，关于的一元二次方程与的解都是整数，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
方程与是关于的一元二次方程，且都有解，
，，
，
，
解得：；
，
，
即，解得：，
，
是整数，
，（舍去），，
当时，
两个方程分别为：，，
其中的解为，不是整数，
，
当时，
两个方程分别为：
，
此方程的解为：，
。
此方程的解为：，，
两个方程的解都是整数，
当时，关于的一元二次方程与的解都是整数．
30．214m.
【分析】过点D作于E，过D作于F，则四边形EBFD是矩形，设，根据，列方程可得结论．
【详解】解：如图，过点D作于E，过D作于F，则四边形EBFD是矩形，
设，
在Rt△ADE中，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
在Rt△CDF中，，，
∴，
又，
即：，
解得：，
故：点D到AB的距离是214m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确根据三角函数列方程是解题的关键．