宁夏银川市灵武市九年级上册期末数学试卷

这是一份宁夏银川市灵武市九年级上册期末数学试卷，共37页。
C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
2．（3分）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（ ）
A．6B．9C．10D．14
3．（3分）灵武长红枣栽培历史悠久，具有独特的品质和形态特征，是中国国家地理标志产品．有“活维生素丸”、“百果之王”之美称．某研究院跟踪调查了灵武长红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计灵武长红枣移栽成活的概率约为（ ）
A．0.8B．0.85C．0.9D．0.95
4．（3分）2023年连花清瘟胶囊经过两次降价，从每盒43元下调至13.8元，设平均每次降价百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．43（1﹣x2）＝13.8B．43（1﹣x）2＝13.8
C．43（1﹣2x）＝13.8D．13.8（1+x）2＝43
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABO＝∠CBO
6．（3分）如图，点P（1，2）在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则下列说法错误的是（ ）
A．点P到y轴的距离为1
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．点P（﹣1，﹣2）也在反比例函数的图象上
D．S△OAP＝2
7．（3分）如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点H，画射线AH交DC于点M．若∠ACB＝72°，则∠DMA的大小为（ ）
A．72°B．54°C．36°D．22°
8．（3分）如图，一张底边长为20cm、底边上的高为30cm的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为4cm的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）已知＝，则＝ ．
10．（3分）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，DE∥BC，若AD＝2，BD＝3，则＝ ．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
13．（3分）在一个不透明的口袋中有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在15%左右，则口袋中的白球大约有 个．
14．（3分）一个长方体的三种视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为 cm3．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A、B两点．若y1＜y2，则x的取值范围是 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点F在边DC上，且DF＝1，点E是对角线AC上的一个动点，则DE+EF的最小值为 ．
三、解答题（共48分）
17．（11分）用适当的方法解下列方程
（1）2x2＝8； （2）x2﹣8x+1＝0； （3）2x2+3x﹣2＝0．
18．（5分）（1）解方程：x2﹣6x+5＝0；
（2）下面是小敏同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
3（x﹣3）＝（x﹣3）2
解：3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0．……第一步
（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．……第二步
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0．……第三步
解得x1＝3，x2＝0．……第四步
任务一：
填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是 ；
②第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该方程的正确解．
19．（6分）9月23日，第十九届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行．在比赛中，运动员们奋勇争先，捷报频传．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．
20．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1．
（2）写出C1的坐标，
21．（5分）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，小红和小星随机从“微信”“支付宝”“现金”三种支付方式中选一种方式进行支付（假设每种支付方式等可能且无关联）．
（1）小红随机选择一种支付方式，选到“支付宝”支付的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图法，求小红和小星恰好都选择“微信”支付的概率（依次记“微信”“支付宝”“现金”为A、B、C）．
22．（5分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
（1）此光源下形成的投影属于 .（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP．
23．（6分）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，32），B（a，80）两点（如图）．
（1）求y与S之间的函数关系式；
（2）求a的值，并解释它的实际意义；
（3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过0.8mm2，求这根面条的总长度至少有多长．
24．（6分）如图，菱形ABCD的周长为16cm，∠BAD＝120°．对角线AC，BD交于点O．求：
（1）这个菱形的对角线长；
（2）菱形的面积．
四、解答与应用（共24分）
25．（6分）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）已知P为反比例函数的图象上一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
26．（6分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形：
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求的值．
27．（6分）阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：
（1）将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 步；
（2）中间小正方形的面积为 平方步；
（3）若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 ；
（4）你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽．
28．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
宁夏银川市灵武市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）一元二次方程x2＝2x的解为（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】C
【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
2．（3分）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（ ）
A．6B．9C．10D．14
【考点】由三视图判断几何体．
【答案】B
【分析】综合左视图和俯视图，所用的小正方体分上下三层，前后三行，最后一行有三层，第一层有三个小正方体，第二层和第三层在同一行，所以最后一行至少有5个正方体；中间一行有二层，第一层有两个小正方体，第二层只有一个小正方体，所以中间一行最少有三个小正方体；前面一行只有一层，且只有一个小正方体．即可得出答案．
【解答】解：搭成该立体图形的小正方体的最少个数为5+3+1＝9（个），
故选：B．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，推出每一行小正方体的个数是解题的关键．
3．（3分）灵武长红枣栽培历史悠久，具有独特的品质和形态特征，是中国国家地理标志产品．有“活维生素丸”、“百果之王”之美称．某研究院跟踪调查了灵武长红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计灵武长红枣移栽成活的概率约为（ ）
A．0.8B．0.85C．0.9D．0.95
【考点】利用频率估计概率．
【答案】C
【分析】．由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的占比稳定在0.9左右，成活的概率估计值为0.9．
【解答】解：这种树苗成活的占比稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9．
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键要明确：由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率．部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
4．（3分）2023年连花清瘟胶囊经过两次降价，从每盒43元下调至13.8元，设平均每次降价百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．43（1﹣x2）＝13.8B．43（1﹣x）2＝13.8
C．43（1﹣2x）＝13.8D．13.8（1+x）2＝43
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】B
【分析】根据药品经过两次降价，每瓶零售价由43元降为13.8元，可以列出方程43（1﹣x）2＝13.8，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
43（1﹣x）2＝13.8．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABO＝∠CBO
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．
【答案】B
【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当∠ABO＝∠CBO时，
由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，
∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．
6．（3分）如图，点P（1，2）在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则下列说法错误的是（ ）
A．点P到y轴的距离为1
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．点P（﹣1，﹣2）也在反比例函数的图象上
D．S△OAP＝2
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【答案】D
【分析】根据P（1，2），即可判断A选项，根据反比例函数的图象即可判断B选项，求得k＝2，进而判断C选项，根据k的几何意义，即可判断D选项，即可求解．
【解答】解：∵点P（1，2）在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为，
A．点P到y轴的距离为1，故该选项正确，不符合题意；
B．根据函数图象，可知，当x＜0时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
C．当x＝﹣1时，，则点P（﹣1，﹣2）也在反比例函数的图象上，故该选项正确，不符合题意；
D． ，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了点到坐标轴的距离，反比例函数的k的几何意义，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7．（3分）如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点H，画射线AH交DC于点M．若∠ACB＝72°，则∠DMA的大小为（ ）
A．72°B．54°C．36°D．22°
【考点】作图—基本作图；矩形的性质．
【答案】B
【分析】先利用矩形的性质得到AB∥CD，则利用平行线的性质可计算出∠CAD＝72°，再由作法得AH平分∠CAD，所以∠MAD＝∠CAD＝36°，然后根据三角形的内角和定理得到∠DMA的度数．
【解答】解：在长方形ABCD中，∵AB∥CD，∠ACB＝72°，
∴∠CAD＝∠ACB＝72°，
由作法得：AH平分∠CAD，
∴∠DAM＝CAD＝36°，
∵∠D＝90°，
∴∠DMA＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质．
8．（3分）如图，一张底边长为20cm、底边上的高为30cm的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为4cm的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【答案】C
【分析】设剪得正方形纸条是第x张，根据相似三角形的性质，得到，从而求出x的值，即可得到答案．
【解答】解：字母标注如图，
由题意可知，BC＝20cm，AD＝30cm，EF＝4cm，
设剪得正方形纸条是第x张，
∴AG＝（30﹣4x）cm，
∵△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x＝6，
即剪得正方形纸条是第6张，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质．掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）已知＝，则＝ ．
【考点】比例的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】把要求的式子化成﹣1，再代值计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝；
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
10．（3分）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 k＜﹣2 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【答案】k＜﹣2．
【分析】对于反比例函数，当k＞0时，图象经过一、三象限；当k＜0时，图象经过二、四象限；据此即可求解．
【解答】解：由题意得：k+2＜0，
∴k＜﹣2
故答案为：k＜﹣2．
【点评】本题考查反比例函数的性质，反比例函数的图象；用到的知识点为：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，DE∥BC，若AD＝2，BD＝3，则＝ 2：5 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【答案】2：5．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝2，BD＝3，
∴，
故答案为：2：5．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣1 ．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22+4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22+4k＞0，
解得k＞﹣1．
故答案为：k＞﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
13．（3分）在一个不透明的口袋中有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在15%左右，则口袋中的白球大约有 17 个．
【考点】利用频率估计概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】由摸到红球的频率稳定在15%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出白球个数即可．
【解答】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在15%左右，
∴＝15%，
解得：x＝17，
故白球的个数为17个．
故答案为：17．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
14．（3分）一个长方体的三种视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为 144 cm3．
【考点】由三视图判断几何体．
【答案】144．
【分析】根据对角线为6cm，俯视图是一个正方形，则底面面积为6×6÷2＝18（cm2），再根据长方体体积计算公式即可解答．
【解答】解：∵俯视图为正方形，根据主视图可得：正方形对角线为6cm，长方体的高为8cm，
∴长方体的体积为：6×6÷2×8＝144（cm3）．
故答案为：144．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，解答本题的关键要熟练掌握三视图的基本知识以及长方体体积计算公式．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A、B两点．若y1＜y2，则x的取值范围是 x＜0或1＜x＜3 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察函数图象，当x＜0或1＜x＜3时，反比例函数图象都在一次函数图象下方．
【解答】解：当x＜0或1＜x＜3时，y1＜y2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了观察函数图象的能力．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点F在边DC上，且DF＝1，点E是对角线AC上的一个动点，则DE+EF的最小值为 5 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．
【答案】5．
【分析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时BF+EF最小，利用勾股定理求出DE即可．
【解答】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF＝DF，
∴BF+EF＝DE，此时BF+EF最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在AB上且BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE＝＝＝5，
【点评】此题考查正方形的性质熟练运用勾股定理计算是解题的关键．
三、解答题（共48分）
17．（11分）用适当的方法解下列方程
（1）2x2＝8；
（2）x2﹣8x+1＝0；
（3）2x2+3x﹣2＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．
【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣2；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用直接开平方法即可求解；
（2）利用配方法即可求解；
（3）利用因式分解法即可求解．
【解答】解：（1）2x2＝8，
x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）x2﹣8x+1＝0，
x2﹣8x＝﹣1，
x2﹣8x+16＝﹣1+16＝15，
∴（x﹣4）2＝15，
∴；
（3）2x2+3x﹣2＝0，
（2x﹣1）（x+2）＝0，
∴．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，配方法和直接开方法是解题的关键．
18．（5分）（1）解方程：x2﹣6x+5＝0；
（2）下面是小敏同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
3（x﹣3）＝（x﹣3）2
解：3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0．……第一步
（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．……第二步
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0．……第三步
解得x1＝3，x2＝0．……第四步
任务一：
填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是 移项 ；
②第 二 步开始出现错误，错误的原因是 符号错误 ；
任务二：请直接写出该方程的正确解．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】（1）x1＝1，x2＝5．
（2）任务一：①移项；②二，符号错误；
任务二：x1＝3，x2＝6．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x+5＝0，
∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝1，x2＝5．
任务一：
填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称移项；
②第二步开始出现错误，错误的原因是符号错误；
故答案为：①移项；②二，符号错误；
任务二：∵3（x﹣3）＝（x﹣3）2，
∴3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
则（x﹣3）（3﹣x+3）＝0，
∴x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
19．（6分）9月23日，第十九届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行．在比赛中，运动员们奋勇争先，捷报频传．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．
【考点】作图﹣三视图．
【答案】见解答．
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，据此作答．
【解答】解：如图所示：
【点评】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
20．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1．
（2）写出C1的坐标，
【考点】作图﹣位似变换．
【答案】（1）见解答．
（2）C1（8，6）．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）由图可得，C1（8，6）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
21．（5分）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，小红和小星随机从“微信”“支付宝”“现金”三种支付方式中选一种方式进行支付（假设每种支付方式等可能且无关联）．
（1）小红随机选择一种支付方式，选到“支付宝”支付的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图法，求小红和小星恰好都选择“微信”支付的概率（依次记“微信”“支付宝”“现金”为A、B、C）．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小红和小星恰好都选择“微信”支付的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，小红随机选择一种支付方式，选到“支付宝”支付的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小红和小星恰好都选择“微信”支付的结果有：（A，A），共1种，
∴小红和小星恰好都选择“微信”支付的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（5分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
（1）此光源下形成的投影属于 中心投影 .（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP．
【考点】中心投影；平行投影．
【答案】（1）中心投影；（2）5米．
【分析】（1）由中心投影的定义确定答案即可；
（2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：（1）∵此光源属于点光源，
∴此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影；
（2）∵AB⊥CP，PO⊥PC，
∴OP∥AB，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即：，
解得：OP＝5（m），
∴路灯的高度为5米．
【点评】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
23．（6分）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，32），B（a，80）两点（如图）．
（1）求y与S之间的函数关系式；
（2）求a的值，并解释它的实际意义；
（3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过0.8mm2，求这根面条的总长度至少有多长．
【考点】反比例函数的应用．
【答案】（1）y与x之间的函数表达式为：y＝（S＞0）；
（2）当面条的横截面积为1.6mm2时，面条长度为80m；
（3）面条的总长度至少为160m．
【分析】（1）直接利用待定系数法得出反比例函数解析式即可；
（2）利用（1）中所求进而得出a的值，得出其实际意义；
（3）利用S＝0.8求出y的值即可得出答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为：y＝（S＞0），
将（4，32）代入可得：k＝128，
∴y与S之间的函数表达式为：y＝（S＞0）；
（2）将（a，80）代入y＝可得a＝1.6，
实际意义：当面条的横截面积为1.6mm2时，面条长度为80m；
（3）∵厨师做出的面条横截面面积不超过0.8mm2，
∴y≥＝160，
故面条的总长度至少为160m．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出理解y与S代表的意义是解题关键．
24．（6分）如图，菱形ABCD的周长为16cm，∠BAD＝120°．对角线AC，BD交于点O．求：
（1）这个菱形的对角线长；
（2）菱形的面积．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
【答案】（1）4cm，；
（2）．
【分析】（1）利用已知条件易求AC的长，再由勾股定理可求出BO的长，进而可求对角线BD的长；
（2）利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积．
【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AB＝BC
∵∠BAD＝120°，AB＝4cm，
∴∠BAC＝60°，
∴AC＝AB＝4cm，
∴AO＝2cm，
∵∠AOB＝90°，
∴，
∴
∴菱形的对角线长4cm，．
（2）菱形的面积为．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质并利用公式准确求出菱形的面积是解题的关键．
四、解答与应用（共24分）
25．（6分）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）已知P为反比例函数的图象上一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）b＝3；
（2）（2，2）或（﹣2，﹣2）．
【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出b的值；
（2）由（1）可知直线AB的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B，C的坐标，进而可得出OB，OC的值，结合S△OBP＝2S△OAC，可得出关于点P纵坐标的方程，解之可得出点P的纵坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数的图象上，
∴4＝，
解得：m＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
又∵点A（1，4）在一次函数y＝x+b的图象上，
∴4＝1+b，
解得：b＝3，
∴b的值为3；
（2）由（1）可知：直线AB的解析式为y＝x+3．
当y＝0时，x+3＝0，
解得：x＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，0），
∴OB＝3；
当x＝0时，y＝1×0+3＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3．
∵S△OBP＝2S△OAC，
∴•OC•|yP|＝2וOC•xA，
即×3|yP|＝2××3×1，
解得：yP＝±2，
当y＝2时，＝2，
解得：x＝2，
∴点P的坐标为（2，2）；
当y＝﹣2时，＝﹣2，
解得：x＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）．
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；（2）根据两三角形面积间的关系，找出关于点P的纵坐标的方程．
26．（6分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形：
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质．
【答案】（1）见解答；（2）．
【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴＝＝，
∴EC＝2AE＝，
∴＝＝＝．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
27．（6分）阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：
（1）将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 60 步；
（2）中间小正方形的面积为 144 平方步；
（3）若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 （60﹣2x）2平方步 ；
（4）你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽．
【考点】一元二次方程的应用；数学常识．
【答案】（1）60；
（2）144；
（3）（60﹣2x）2；
（4）（60﹣2x）2＝144；矩形田地的宽为24步．
【分析】（1）根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解；
（2）先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解；
（3）设矩形田地的宽为x步，则长为（60﹣x）步，从而可得小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可求解；
（4）由②③求得小正方形的面积相等即可得出方程．
【解答】解：（1）∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步，
∴大正方形的边长为 60步；
故答案为：60；
（2）中间小正方形的面积为602﹣864＝144平方步；
故答案为：144；
（3）设矩形田地的宽为x步，则长为（60﹣x）步，
∴小正方形的边长为60﹣x﹣x＝（60﹣2x）步，
∴小正方形的面积为（60﹣2x）2平方步；
故答案为：（60﹣2x）2平方步；
（4）由②③可得关于x的方程：（60﹣2x）2＝144．
∴x1＝24，x2＝36（舍去），
∴x＝24．
答：矩形田地的宽为24步．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
28．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
【解答】解：根据勾股定理得：BA＝；
（1）分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴，解得，t＝1，
②当△BPQ∽△BCA时，，
∴，解得，t＝；
∴t＝1或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
3．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
4．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
5．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
6．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
7．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
8．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
9．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
10．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
11．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
12．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
13．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
14．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
15．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
16．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
17．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
18．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
19．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
20．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
21．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
22．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
23．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
24．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
25．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
26．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
27．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
28．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
29．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
30．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
31．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
32．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
33．中心投影
（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
（2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．
34．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
35．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
36．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
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