专题01 一元二次方程（5大基础题+4大提升题）2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编

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一元二次方程的定义
1．（2023秋•贵阳期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．x+xy+1＝0C．3x+2＝0D．x2+2x＝1
2．（2023秋•南明区期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x+y＝0B．x3﹣2x+1＝0C．x2﹣2x+1＝0D．＝1
3．（2023秋•云岩区校级期中）若（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m＝±2B．m＝2C．m＝﹣2D．m≠±2
4．（2023秋•红花岗区期中）已知x＝1是关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+m2＝4的根，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2或3C．2或﹣3D．﹣3
一元二次方程的一般形式
1．（2023秋•贵阳期中）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，2，1B．1，﹣2，1C．0，﹣2，﹣1D．0，﹣2，1
2．（2023秋•水城区期中）关于x的方程3x2﹣2＝4x中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣2B．3，4C．3，﹣4D．﹣4，﹣2
一元二次方程根的判别式
1．（2023秋•南明区期中）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
2．（2023秋•贵阳期中）已知关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．6B．﹣6C．9D．﹣9
3．（2023秋•红花岗区期中）下面的四组值中，能使关于x的一元二次方程为x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根是（ ）
A．b＝2，c＝1B．b＝3，c＝3C．b＝2，c＝2D．b＝3，c＝﹣1
4．（2023秋•观山湖区校级期中）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0
C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0
5．（2023秋•六盘水期中）对于实数a，b定义新运算：a⊗b＝ab2﹣b，若关于x的方程1⊗x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k＞﹣B．k
C．k且k≠0D．k且k≠0
6．（2023秋•钟山区期中）新概念运算：运算符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc，请根据上述规定判断关于x的二阶行列式：＝0 根的情况 ．
解一元二次方程
1．（2023秋•花溪区期中）将一元二次方程（x﹣6）2＝25转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣6＝5，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6＝﹣5B．x﹣6＝5C．x+6＝﹣5D．x+6＝5
2．（2023秋•绥阳县期中）方程（x+1）2＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1
C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根
3．（2023秋•六盘水期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣1）2＝9
4．（2023秋•观山湖区校级期中）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．15B．7C．﹣1D．1
5．（2023秋•盘州市期中）方程x2﹣2x＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
6．（2023秋•绥阳县期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程2x2﹣8x+3＝的过程如下．
解：2x2﹣8x＝﹣3．①
x2﹣4x＝﹣3．②
x2﹣4x+4＝﹣3+4．③
（x﹣2）2＝1．④
x﹣2＝±1．⑤
∴x1＝3，x2＝1．⑥
（1）上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现了错误；（填序号）
（2）请利用配方法正确的解方程2x2﹣8x+3＝0．
7．（2023秋•南明区期中）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣1＝0； （2）x2﹣3x+1＝0．
8．（2023秋•黔东南州期中）解方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）2x2+3x＝1．
9．（2023秋•贵阳期中）解方程：
（1）（x﹣5）2﹣36＝0； （2）x2﹣2x﹣8＝0； （3）（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）．
10．（2023秋•钟山区期中）数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题2（x+3）2＝x（x+3），小明同学的做法如下：
解：2（x+3）2＝x（x+3）
2（x+3）＝x…第一步
2x+6＝x…第二步
2x﹣x＝﹣6…第三步
x＝﹣6…第四步
（1）上面的运算过程中从第 步开始出现了错误；
（2）请写出正确的解题过程．
由实际问题抽象出一元二次方程
1．（2023秋•六盘水期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x+1）x＝6210B．3 （x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210D．3（x﹣1）x＝6210
2．（2023秋•红花岗区校级期中）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
3．（2023秋•盘州市期中）如图，学校种植园是长32米，宽20米的矩形．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为600平方米．若设小道的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝600B．（32﹣x）（20﹣2x）＝600
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝600D．（32﹣2x）（20﹣2x）＝600
4．（2023秋•南明区期中）2023年5月13日，贵州省榕江县举办了“和美乡村足球超级联赛”，该比赛迎来了全国各地的游客．据了解，5月份全县接待游客42万人次，7月份接待游客人数达到133.91万人次．设这两个月的月平均增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．42（1﹣x）2＝133.91B．42（1+x）2＝133.91
C．133.91（1﹣x）2＝42D．133.91（1+x）2＝42
5．（2023秋•贵阳期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本210件，若全组有x名同学，则根据题意列出方程是（ ）
A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210
C．2x（x+1）＝210D．x（x﹣1）＝210
利用一元二次方程的解求字母或式子
1．（2023秋•红花岗区期中）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+5＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
2．（2023秋•绥阳县期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝ ．
3．（2023秋•贵阳期中）已知n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，代数式n（n﹣1）+2的值是 ．
4．（2023秋•黔东南州期中）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则﹣a2﹣2a的值是 ．
5．（2023秋•黔东南州期中）如果关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中a﹣b+c＝0，那么方程必有一个根是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2
6．（2023秋•钟山区期中）已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（ ）
A．x1＝0，x2＝1B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
根与系数的关系及其求值
1．（2023秋•红花岗区期中）已知x1、x2为方程x2+3x﹣4＝0的两根，则x1•x2的值是 ．
2．（2023秋•黔东南州期中）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a、b的值分别是（ ）
A．a＝﹣3，b＝1B．a＝3，b＝1
C．，b＝﹣1D．，b＝1
3．（2023秋•黔东南州期中）已知m、n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则的值为 ．
4．（2023秋•绥阳县期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝1，求m的值．
5．（2023秋•钟山区期中）已知：关于x的方程x2+kx﹣1＝0，
（1）求证：无论k为何值时，方程始终有两个不相等的实数根；
（2）若k＝2，且方程的两个根分别是α与β，求的值．
6．（2023秋•红花岗区期中）【概念理解】如果关于x的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1．则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）【初步运用】解方程x2﹣5x+6＝0，并判断此方程是否是邻根方程；
（2）【能力提升】关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0 （m是常数）是邻根方程，求m的值．
一元二次方程的实际应用
1．（2023秋•红花岗区期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
2．（2023秋•思南县校级期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
3．（2023秋•绥阳县期中）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
（1）降价后，每件玩具的利润为 元，平均每天的销售量为 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？
4．（2023秋•贵阳期中）2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商家销售吉祥物进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件根据市场调查，销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件．
（1）若每件商品降价x元，则商店每天的平均销量是 件（用含x的代数式表示）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店平均每天至少要销售该商品200件，平均每天的利润达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
5．（2023秋•南明区期中）第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行，某商场在销售亚运会吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利40元时，则每天可售出20套．为了喜迎亚运会，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果销售单价每降价1元，该商店平均每天将多销售2套．
（1）当每套徽章盈利38元时，每天可多销售多少套？
（2）商场为了尽快减少库存，每套吉祥物徽章降价多少元时，该商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1200元？
6．（2023秋•南明区期中）如图所示，某农业大学科技园建立了一个矩形饲养室ABCD，饲养室的一面靠墙，墙长为15m，另外三边用长为32m的栅栏围成．若要使饲养室的面积达到120m2．请问，AB的长应是多少m？
7．（2023秋•碧江区 校级期中）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出20件，但最低单价应高于购进的价格，并且已知第二月后T恤还有剩余；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
（1）填表
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利12000元，那么第二个月的单价应是多少元？
8．（2023秋•观山湖区校级期中）现有可建筑60m围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的矩形仓库，墙长为a m．
（1）设AD边的长为x m，则AB边的长为 ，矩形仓库的面积为 ；（用含x的代数式表示）
（2）若a＝50，能否围成总面积为225m的仓库？若能，求AB的长；
（3）能否围成总面积为400m2的仓库？请说明理由．
配方法的实际应用
1．（2023秋•花溪区期中）定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．则代数式﹣ax2+bx+2019的最大值是（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
2．（2023春•石阡县期中）多项式a2﹣2ab+2b2﹣6b+27的最小值为 ．
3．（2023秋•贵阳期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值；
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x•6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1；
因为不论x取何值，（x﹣6）总是非负数，即（x﹣6）2≥0；
所以（x﹣6）2+1≥1；
所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：
x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+ ＝（x﹣ ）2+2；
（2）将x2+16x﹣5变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+16x﹣5最小值；
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2，试比较S1与S2的大小，并说明理由．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
﹣ax2+bx
…
﹣4
﹣2
0
0
﹣2
﹣4
…
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80

40
销售量（件）
200