2025北京市第八十中学高一上学期期中考试数学试题含解析

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2024年10月
（考试时间120分钟满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列函数中是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的大致图象是（ ）
A B.
C. D.
5. 若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（ ）
A. 增函数且有最大值B. 增函数且有最小值
C. 减函数且有最大值D. 减函数且有最小值
6. 随着我国经济不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（ ）
A. 元B. 元
C. 元D. 元
7. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
8. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
9. “”是“关于x的不等式对恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11. 函数的值域为（ ）
A B.
C. D.
12. 由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（ ）
A. 没有最大元素，有一个最小元素
B. 没有最大元素，也没有最小元素
C. 有一个最大元素，有一个最小元素
D. 有一个最大元素，没有最小元素
二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
13. 函数的定义域为______.
14. 关于的不等式的解集是______.
15. 计算：______.
16. 命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______．
17. 已知，当时，函数的最小值是______，最大值是______.
18. 如图是一份纸制作矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.若，，则当______时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是______.

19. 函数的单调递增区间是______.
20. 函数的值域是______.
21. 已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数m的取值范围为______.
22. 已知函数满足，若函数与图象的m个交点为，则的值是______.
三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
23. 记全集，集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求a的取值范围；
（3）若，求a的取值范围.
24. 已知函数
（1）当，的最大值为3，求实数m的值.
（2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围.
25. 了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
（1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；
（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？
26. 已知函数是定义在R上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式以及零点.
（2）判断并用函数单调性的定义证明在−1,0的单调性.
（3）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域R上的准确示意图.
27. 设集合为非空数集，定义，．
（1）若，写出集合、；
（2）若，，且，求证：；
（3）若，且，求集合元素个数的最大值．
每户每月用水量
水价
不超过12的部分
3元/
超过12但不超过18的部分
6元/
超过18的部分
9元/