江苏南通市崇川初级中学2024-2025学年七上数学网络提高班质数、合数专项训练【含答案】

这是一份江苏南通市崇川初级中学2024-2025学年七上数学网络提高班质数、合数专项训练【含答案】，共13页。试卷主要包含了若n是大于2的正整数，求证等内容，欢迎下载使用。
1．有3个数，一个是最小的奇质数，一个是小于50的最大质数，一个是大于60的最小质数，则这3个数的和是（ ）
A．101B．110C．111D．113
二．填空题（共2小题）
2．已知2005是两个质数的和，那么这两个质数的积等于 ．
3．一个质数的平方与一个奇数的和等于105，那么这两个数的积等于 ．
三．解答题（共12小题）
4．（1）将1，2，3，4，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数N，求证：N一定是合数．
（2）若n是大于2的正整数，求证：2n﹣1与2n+1至多有一个是质数．
（3）求360的所有正约数的倒数和．
5．100以内的任意两个不同的质数都能组成一个真分数，其中最大的一个是多少？最小的一个是多少？
6．（1）将1，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数N．求证：N一定是合数；
（2）若n是大于2的正整数，求证：2n﹣1与2n+1中至多有一个是质数．
7．（1）若n是大于2的正整数，求证：2n﹣1与2n+1中至多有一个是质数．
（2）求360的所有正约数的倒数和．
8．有三个质数，它们的乘积恰好等于它们之和的17倍，那么这三个质数中最大的一个是多少？
9．A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是有序排列的10个质数，它们的和是60．若其中任意5个相邻的数彼此不同，并且其和相等，那么，A与B的和有多少个不同的值？
10．若n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数．
11．若p与p+2都是质数（p＞3），求p除以3所得的余数．
12．n是不小于40的偶数，试证明：n总可以表示成两个奇合数的和．
13．证明：有无穷多个n，使多项式n2+n+41
（1）表示合数；
（2）为43的倍数．
14．求证：有无穷多个n，能使多项式n2+3n+7；
（1）表示合数；
（2）是11的倍数．
15．已知210+512为两个质数p及q的积，其中p＞q，求p﹣q的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．【解答】解：∵最小的奇质数是3，
小于50的最大质数是47，
大于60的最小质数是61，
∴这3个数的和是3+47+61＝111．
故选：C．
二．填空题（共2小题）
2．【解答】解：∵2005是两个质数的和，
而2003+2＝2005，
∴这两个质数是2，2003．
∴这两个质数的积等于2×2003＝4006．
故答案为：4006．
3．【解答】解：设该质数为x，奇数为y，列出等式得x2+y＝105，
易得，当x＝2时，y＝105﹣22＝101，
符合题意，则这两个数的积等于2×101＝202．
故答案为：202．
三．解答题（共12小题）
4．【解答】解：（1）从1到999来看这999个数，不管怎么排列，都可以把百位十位和各位的数，
按照九个九个的分组，个位上1到9，分到一组，十位上1到9分到一组，百位上1到9分一组，
都是刚好分成九个一组的，每组加起来都是45，
再有4+5＝9，这999个数的各位数字的和能被9整除．
同理，从1000到1999，我们不看千位上的1，百位以后和上面分析的一样，每个数的每一位加起来最终能被9整除．
但是这里千位上多了1000个1，再看2000到2004这5个数，这5个数有5个2，
然后从0到4有5个数，我们可以不看0．
于是2+2+2+2+2+1+2+3+4＝20，
加上1000到1999千位上的一千个1，就是1020，这个数可以也被3整除．
也就是说，1到2004，所有数字随便排在一起，每个位子上的数加起来的总和可以被3整除，
即含有3这个因数，故N一定是合数；
（2）2n﹣1、2n、2n+1被3除，余数肯定分别是0、1、2（顺序可不同）．
而2n只有质因数2，被3除不可能余0．
则2n﹣1、2n+1中，至少有一个被3除余0，它不是质数．
故2n﹣1与2n+1中至多有一个是质数．
（3）设正整数a的所有正约数之和为b，d1、d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列，
于是d1、＝1，d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列，于是d1＝1，dn＝a，
由于S＝+++…+中各分数分母的最小公倍数为dn＝a，
故S＝+++…+＝＝，
而a＝360＝23×32×5，
故b＝（1+2+22×23）×（1+3+32）×（1+5）＝1170，
所以360的所有正约数的倒数和为：＝3．
5．【解答】解：∵在100以内最小的质数是2，最大的质数是97，
∴在100以内的不同的质数组成的真分数中，最小的应该是，最大的真分数是．
6．【解答】（1）从1到999来看这999个数，不管怎么排列，都可以把百位十位和各位的数，按照九个九个的分组，个位上1到9，分到一组，十位上1到9分到一组，百位上1到9分一组，都是刚好分成九个一组的，每组加起来都是45，再有4+5＝9，这999个数的各位数字的和能被9整除．
同理，从1000到1999，我们不看千位上的1，百位以后和上面分析的一样，每个数的每一位加起来最终能被9整除．但是这里千位上多了1000个1，再看2000到2004这5个数，这5个数有5个2，然后从0到4有5个数，我们可以不看0．于是2+2+2+2+2+1+2+3+4＝20，加上1000到1999千位上的一千个1，就是1020，这个数可以也被3整除．
也就是说，1到2004，所有数字随便排在一起，每个位子上的数加起来的总和可以被3整除，即含有3这个因数，故N一定是合数；
（2）因为2n﹣1，n，2n+1，三个必有一个被3整除，余1，余2，2n要么余1要么余2．
故2n﹣1，2n+1必有一个被3整除．，
故2n﹣1与2n+1中至多有一个是质数．
7．【解答】（1）证明：2n﹣1、2n、2n+1被3除，余数肯定分别是0、1、2（顺序可不同）．
而2n只有质因数2，被3除不可能余0．
则2n﹣1、2n+1中，至少有一个被3除余0，它不是质数．
故2n﹣1与2n+1中至多有一个是质数．
（2）解：设正整数a的所有正约数之和为b，d1、d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列，
于是d1、＝1，d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列，于是d1＝1，dn＝a，
由于S＝中各分数分母的最小公倍数为dn＝a，
故S＝+…+＝＝，
而a＝360＝23×32×5，
故b＝（1+2+22×23）×（1+3+32）×（1+5）＝1170，
所以360的所有正约数的倒数和为：．
8．【解答】解：设这三个质数为a、b、c，
可得等式：abc＝17（a+b+c），
又因为17也是质数，所以a，b，c中必有一个数是17，
设a＝17，
即17bc＝17（17+b+c）
bc＝17+b+c，
①当b、c中含有质数2时，不妨令b＝2
2c＝17+2+c，解得c＝19，符合题意．
②当b、c中不含有质数2，即b，c都是奇数时，不妨令：
b＝2M+1，c＝2N+1，有：
（2M+1）（2N+1）＝17+2M+1+2N+1
即4MN＝18，MN＝4.5
显然不符合题意．
综上，这三个质数中最大的一个是19．
9．【解答】解：由题可知，A+B+C+B+E＝B+C+D+E+F，
故A＝F，
同理可得B＝G，C＝H，D＝I，E＝J，
则A+B+C+B+E＝×60＝30，
∵2+3+5+7+11＝28＜30，2+3+5+7+13＝30，
∴A+B的值一定是2，3，5，7，13中某两个数的和．
故这样的和有10个不同的值为：5，7，8，9，10，12，15，16，18，20．
10．【解答】解：∵n除以3所得的余数只可能为0、1、2三种．
①若余数为0，即n＝3k（k是一个非负整数，下同），则n+3＝3k+3＝3（k+1），所以3|n+3，又3≠n+3，故n+3不是质数，与题设矛盾．
②若余数为2，且n＝3k+2，则n+7＝3k+2+7＝3（k+3），故3|n+7，n+7不是质数；与题设矛盾．
所以n除以3所得的余数只能为1．
11．【解答】解：不妨将p分成3类，p＝3k，p＝3k+1，p＝3k+2，然后讨论．
当p＝3k时，
∵p＞3，p是质数，
∴不符合题意；
当p＝3k+1时，
p+2＝3k+3＝3（k+1），与p+2为质数矛盾；
当p＝3k+2时，
p+2＝3k+4，即p除以3的余数为2．
12．【解答】证明：因为n是不小于40的偶数，
所以n的个位数字必为0、2、4、6、8，现在以n的个位数字分类：
（1）若n的个位数字为0，则n＝15+5k（k≥5为奇数）；
（2）若n的个位数字为2，则n＝27+5k（k≥3为奇数）；
（3）若n的个位数字为4，则n＝9+5k（k≥7为奇数）；
（4）若n的个位数字为6，则n＝21+5k（k≥5为奇数）；
（5）若n的个位数字为8，则n＝33+5k（k≥3为奇数）；
综上所述，不小于40的任一偶数，都可以表示成两个奇合数的和．
13．【解答】证明：（1）要使n（n+1）+41是合数．
则只要n（n+1）是41的倍数就可以．
要使n（n+1）是41的倍数，则n＝41k或n＝41k﹣1，
当n＝41k（k为自然数）时，原式＝41k2+41k+41＝41（k2+k+1），
同理，当n＝41k﹣1时，原式＝41k2+41k+41＝41（k2+k+1），
满足此条件的自然数k有无数个，所以对应的n也有无穷多个；
（2）使多项式n2+n+41为43的倍数，
设n2+n+41＝43k，（k是正整数）
n2+n﹣2＝43（k﹣1），
（n+2）（n﹣1）＝43（k﹣1），
要使n（n+1）+41是43的倍数，
则只要（n+2）（n﹣1）是43的倍数就可以．
则n＝43k﹣2或n＝43k+1（k＝0、1、2、3…），
当n＝43k﹣2时，原式＝（43k）2+3×43k+43＝43（k2+3k+1），
同理可得，当n＝43k+1时，原式＝（43k）2+3×43k+43＝43（k2+3k+1），
满足此条件的k有无穷多个，
故表示为43的倍数的n也有无穷多个．
14．【解答】证明：（1）要使n（n+3）+7是合数．
则只要n（n+3）是7的倍数就可以．
要使n（n+3）是7的倍数，则n＝7k或n＝7k﹣3，
当n＝7k（k为自然数）时，原式＝49k2+21k+7＝7（7k2+3k+1），
同理，当n＝7k﹣3时，原式＝49k2﹣21k+7＝7（7k2﹣3k+1），
满足此条件的自然数k有无数个，所以对应的n也有无穷多个；
（2）使多项式n2+3n+7为11的倍数，
设n2+3n+7＝11k（k是正整数），
n2+3n﹣4＝11（k﹣1），
（n+4）（n﹣1）＝11（k﹣1），
要使n2+3n+7是11的倍数，
则只要（n+4）（n﹣1）是11的倍数就可以．
则n＝11k﹣4或n＝11k+1（k＝0、1、2、3…），
当n＝11k﹣4时，原式＝11k（11k﹣5）+11＝11（11k2﹣5k+1），
同理可得，当n＝11k+1时，原式＝11k（11k+5）+11＝11（11k2+5k+1），
满足此条件的k有无穷多个，
故表示为11的倍数的n也有无穷多个．
15．【解答】解：210+512
＝（25）2+（56）2+2×25×56﹣2×25×56
＝（25+56）2﹣（2×5）6
＝（25+56）2﹣（103）2
＝（25+56+103）（25+56﹣103）
∵210+512为两个质数p及q的积，其中p＞q，
∴p＝25+56+103，q＝25+56﹣103，
p﹣q＝（25+56+103）﹣（25+56﹣103）＝2×103＝2000，
即：p﹣q的值为2000．