江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二上学期强基班期中考试数学试卷

这是一份江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二上学期强基班期中考试数学试卷，文件包含高二强基数学试卷docx、高二强基数学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
1．D
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示运算求解.
【详解】由可得，
即，
解之可得.
故选：D
2．C
【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】若，则，
解得或，
当时，和的方程都是，两直线重合，不符合题意.
经验证可知，符合.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
3．A
【分析】由题意可得，根据空间向量的坐标表示建立方程，解之即可求解.
【详解】由直线平面，可得，
所以，得.
故选：A.
4．D
【分析】利用抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离即可求解.
【详解】
如图，抛物线的焦点为,
根据抛物线的定义可知，点到的距离等于,
所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和，
由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，
所以即为所求，故选: D.
5．C
【分析】建立空间直角坐标系，用向量方法求角，先求向量与的夹角，再转化为线线角即可.
【详解】如图，由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
不妨设，则，
则，
则，
又由两直线所成角的范围为，
则直线与所成的角为.
故选：C.
6．B
【分析】首先表示、的坐标，利用斜率公式得到，再两边同时除以，即可得到关于的方程，解得即可.
【详解】已知为椭圆的右焦点，则，
又为的左顶点，则，
为上的点，且垂直于轴，
联立，解得，又直线的斜率为，则，
所以，
即，
即，
即，
解得或，又，则，
即椭圆的离心率为．故选：B.
7．B
【分析】根据给定条件，可得，利用勾股定理，结合椭圆、双曲线的定义建立方程组，由半焦距表示出即可求出渐近线方程.
【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点，
则，而，因此，，
则，令与的半焦距为，
由，得，于是，解得，则，
，所以的渐近线方程为.
故选：B
8．C
【分析】设动点坐标得出两直线斜率公式，结合椭圆方程得到两直线斜率乘积为定值，由条件求出两直线斜率之间的等量关系，结合两个方程求出的值，通过求出的值，通过由正弦定理得到先与角之间的关系求得线段的比值.
【详解】由题意知A-2,0，，设Px0,y0，
直线，的斜率分别为，，则，
又∵，即，∴，即，
由正弦定理得，
又，则，
联立解得，即，
所以，即.故选：C
9．BD
【分析】利用空间向量的线性运算可判定A、B选项；利用投影向量的定义可判定C、D选项.
【详解】因为
，故A不正确，B正确．
如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC，
故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为，
由题意易得故，C不正确． ，D正确．
故选：BD
10．ABD
【分析】根据题意，当时，联立直线与抛物线方程结合韦达定理代入计算，即可判断ACD，由条件可得直线的方程为，与抛物线方程联立，即可判断B.
【详解】若，则抛物线的焦点坐标为F0,1，
且直线的方程为，即，
联立直线与抛物线方程消去可得，
且直线l与该抛物线相交于Mx1,y1，Nx2,y2两点，，
则，，故A正确；
且，，
则，原点到直线的距离，
则，故C错误；
且，故D正确；
设直线的方程为，代入抛物线中可得，
则，则，故B正确；
故选：ABD
11．ACD
【分析】通过对称性确定曲线图形，再结合图形逐项判断即可.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，
当，时，曲线
可化为：，表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆，
其图象为：
对于A：坐标原点到的距离为，所以上的点的到点的距离的最大值为，正确；
对于B：由图象可知上的点的横坐标的取值范围是，故B错误；
对于C:第一象限围成的面积为，
故曲线围成的图形的面积为.C正确；
对于D:
连接第二象限和第四象限的圆心得到直线：，显然与垂直，
画出与两条直线，
由-1,1到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于，
由到的距离为，可知曲线上恰有三个点到直线的距离等于，
所以结合图象可知：若上有四个点到直线的距离等于，则，故D正确.
故选：ACD
12．
【分析】根据有公共渐近线，设出双曲线方程，代入，求出，求出双曲线方程.
【详解】设所求双曲线方程为，
将点代入双曲线方程得，故方程为．
故答案为：
13．
【分析】根据直线l过，求出c和a的值；连接，根据垂直平分线段得，从而可得的周长为．
【详解】由题意知A为的左顶点，设的半焦距为，则，
所以线段的中点为，直线的斜率为，
所以的斜率为，所以直线的方程为，
又过，所以，解得，
所以.
连接，因为垂直平分线段，所以，
所以的周长为.
故答案为：.
14．
【分析】分析可得动圆的圆心，半径，在以圆心，半径的圆上，圆在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积；由倍角公式及几何关系可得，分析的范围结合换元法即可求．
【详解】动圆的圆心，半径，
令，则由得在以圆心，半径的圆上．
圆在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积，
即；
到直线的距离，
由，则，即，
，
令，则，则，
由对勾函数在上单调递增，故，
有.
所以的取值范围为.
故答案为：；.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标；
（2）设圆的一般方程为，将三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解.
【详解】（1）由，解得，所以，
∵，且，
∴，∴，又，
∴直线的方程是，，
由，解得，
所以， 所以，；
（2）设的外接圆的方程是，
将，，三点坐标分别代入，得
，，
的外接圆的方程是.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得线面角的正弦值.
【详解】（1），且为棱的中点，
，
四边形为正方形，
，
又平面，平面，
，
，，平面，
平面，
平面，
，
又，，平面，
平面；
（2）
四边形为正方形，
，
以点为坐标原点，，，，方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，C1,1,0，D0,1,0，P0,0,1，
又为中点，
，
则，，，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，
令，即n=1,-1,1，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据短轴和离心率定义得到方程组，求出，得到椭圆方程；
（2）方法一：设的方程，代入，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出或，检验后得到符合要求，并求出所过定点；
方法二：设直线的方程为，椭圆方程变形得到，联立得到，若是上的点，则斜率为，得到，故，求出，求出定点坐标.
【详解】（1），解得，
椭圆的方程为.
（2）方法一：设直线的方程为，代入得
，
设，
得，

则，
，
即，解得或.
当时，此时，直线过定点，
而与不重合，不合题意.
当时，此时，
此时直线过定点，满足要求.
方法二：由题意，直线不经过点，
设直线的方程为①.
由方程得.
②.
由①②得，
.
若是上的点，则斜率为，
，
的斜率，即，解得.
的方程为，即，故过定点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立椭圆方程，从而得到韦达定理式，再计算斜率之积的表达式，将韦达定理式代入得到或，分别验证即可.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求的值；
（2）设直线的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求的值；
（3）设直线、的方程，与椭圆联立方程组表示出，由，化简并结合基本不等式求取值范围.
【详解】（1）椭圆的上顶点坐标为0,1，
则抛物线的焦点为F0,1，故.
（2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点Mx1,y1、Nx2,y2，
联立可得，恒成立，则，
.
（3）设直线、的斜率分别为、，其中，，
联立可得，解得，
点在第三象限，则，
点在第四象限，同理可得，
且

，
当且仅当时，等号成立.
的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直；
（2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可；
（3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可.
【详解】（1）因为，
所以，即平面，
平面，平面，
所以
（2）因为二面角是直二面角，
所以平面平面，平面平面，平面，平面，

以分别为轴建立空间直角坐标系，
设平面法向量为，
设平面法向量为
，
令，得，所以，
设二面角为，
.
，
（3）分别以CA反方向和CB方向分别为轴，过F做的垂线为z轴，
设，，显然，
，
，得出，则，则，
根据翻折后勾股定理得，
化简得，因为构成直角三角形，则，且，解得，
设平面的法向量为，
设直线PE与平面ABC所成角为，
，
则，
令，，令，则，且，
，
根据对勾函数在0,1上单调递减，且恒大于0，
则函数在0,1单调递增，则，即，
则，即正弦值的取值范围.
【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
D
C
B
B
C
BD
ABD
题号
11









答案
ACD