解析：山东省青岛市海尔学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（原卷版）

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团队：__________姓名：__________考号：__________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的规定区域内，写在试卷上无效．
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2. 圆与圆的公切线有（ ）条
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 已知向量满足，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若与相互独立，则
B. 若，则事件与相互独立
C. 若与互斥，则
D. 若发生时一定发生，则
5. 椭圆上一点在运动过程中，总满足关系式，那么该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆，直线过点，则“直线的方程为”是“直线与圆相切”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
8. 若经过点且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）
9. 椭圆的焦点为，上顶点为A，直线与椭圆的另一个交点为，若，则（ ）
A. 椭圆的焦距为2B. 的面积为
C. 椭圆的离心率为D. 的周长为8
10. 为平面外一点，是平面内一点．下列说法中正确有（ ）
A. 若，则
B. 若为重心，则
C. 若与所成的角为与平面所成的角为，则
D 若，则．
11. 已知圆，直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 对任意实数和，直线和圆有公共点
B. 对任意实数和，直线和圆相切
C. 对任意实数，必存在实数，使直线和圆相切
D. 对任意实数，必存在实数，使直线和圆相切
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是__________．
13. 若圆与圆相交于两点，且，则实数__________．
14. 数学家欧拉（Euler）1765年在所著《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若的顶点，则欧拉线方程为__________．
四､解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 海尔学校组织师生趣味排球赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，学生队获胜的概率为0.6，教工队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，学生队､教工队各胜1局．
（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（2）求教工队获得这次比赛胜利概率．
16. 已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积．
17. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点所构成的曲线为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，求点的轨迹的方程；
（3）过作两条互相垂直的直线与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值．
18. 如图，已知三棱柱侧棱与底面垂直，，分别是的中点，点在线段上，且．
（1）证明：无论取何值，总有；
（2）当取何值时，直线与平面所成角最大？并求该角取最大值时的正切值；
（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．
19. 如图，球的半径为．为球面上三点，我们把过球心的平面截球面所得的圆称为大圆，和是大圆上的劣弧，它们围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形．若二面角分别为，则球面三角形的面积为.
（1）若二面角均为，求球面三角形的面积；
（2）已知平面三角形为直角三角形，，设.则：
①求证：；
②延长与球交于点，若直线与平面所成的角分别为，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.