专题09 利用导函数研究函数的隐零点问题 (典型题型归类训练) -2025年高考数学二轮复习解答题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题09 利用导函数研究函数的隐零点问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：
①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有
①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.
二、典型题型
1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数．
(1)讨论在区间上单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
2．（2024·四川泸州·三模）已知函数（），
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若恒成立，求函数的零点的取值范围．
3．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，，．
(1)求函数的导数；
(2)若对任意的，，使得成立，求a的取值范围；
(3)设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，讨论曲线与曲线的交点个数．
三、专项训练
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且在点处的切线的斜率为．设函数的最大值为．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)若不等式，求实数的最大值．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
4．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求实数的取值范围.
5．（23-24高三下·北京·开学考试）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)设，，求证：当时，有且仅有两个不同的零点.
6．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，讨论函数零点的个数.