江苏省扬州市邗江区实验学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

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1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ▲ ）
A．10x2＝9B．2（x﹣1）＝3xC．D．x2﹣y2＝6
2．下列说法中，正确的是（ ▲ ）
A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆
C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．同弧所对的圆周角相等
3．已知⊙O的半径为10，直线l上有一点P满足PO＝10，则直线l与⊙O的位置关系是（▲ ）
A．相切B．相离
C．相离或相切D．相切或相交
4．要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（ ▲ ）
A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
5．如图，△OAB与⊙O交于点B和C，其中B为切点，D为劣弧上一点，若∠A＝20°，则∠CDB的度数为（ ▲ ）
A．110°B．130°C．135°D．145°
6．若实数x，y，a满足x+y+a＝2，2x+y﹣a＝4，则代数式2xy﹣1的值可以是（ ▲ ）
A．3B．4C．0D．5
第5题图 第8题图
7.我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0，即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图．可以得到大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程 x2﹣3x﹣10＝0解法的构图是（ ▲ ）
A．B．C．D．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD＝90°，，E为AC上一点，且ED⊥CD，则BE的最小值为（ ▲ ）
A．2﹣2B．2﹣2C．D．4﹣4
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
9．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝ ▲ ．
10．某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红
包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到1640个红包，设群内共有x个人，根据题意可列方程 ▲ ．
函数y＝x2﹣4kx+1的图象在直线x＝1的右侧随x的增大而增大，则k的取值范围是 ▲ ．
一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径
为 ▲ ,
小聪用一张半径为10cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做
成的圆锥形小丑帽子的底面周长为12πcm，那么这张扇形纸板的面积是 ▲ cm2．
14.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝ ▲ °．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为 ▲ ．
第13题图 第14题图 第15题图 第17题图
16.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示，则方程 ax2+bx+2.52＝0的根是 ▲ ．
如图，AB是半圆⊙O的直径且．P为半圆上一点（不与点A、B重合），D为AB延长线上一点，∠PAB、∠PBD的角平分线相交于点C．在点P移动的过程中，线段AC扫过的面积为 ▲ ．
18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣14x+25＝0 （2）3x2﹣6x＝4（x﹣2）．
20．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为（4，3）．
（1）请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标 ▲ ．
（2）⊙D的半径为 ▲ ．
（3）求的长（结果保留π）．
21．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
22.( 本题8分)如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围 ▲ ．；
（3）将该函数图象沿x轴翻折，所得图象的函数表达式为 ▲ ．
23．（本题10分）某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调10x元（x为正整数），设一天订住的房间数为y．
（1）直接写出y与x的函数关系式： ▲ ，自变量x的取值范围是 ▲ ．
（2）若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？
（3）房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？
24（本题10分）阅读下列材料：
已知实数m、n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝y，
则原方程可化为（y+1）（y﹣1）＝80，即y2＝81；
解得y＝±9．
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
（2）解方程x2﹣3|x|+2＝0．
（3）若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数为 ▲ ．
25（本题10分）如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．
（1）求证：BM与⊙O相切；
（2）当∠A＝60°时，在⊙O的圆上取点F，使∠ABF＝15°，补全图形，并求点F到直线AB的距离．


26（本题10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a（a≥0），到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”．例如，点（2，3）为双曲线的“3级方点”，点为直线的“级方点”．
（1）下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是 ▲ （只填序号）；
①y＝x；
②；
③．
（2）已知y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，
①当a＝2时，该函数图象的“2级方点”的坐标是 ▲ ；
②当该函数图象的“a级方点”恰有三个时，求a的值．
27．（本题12分）阅读理解：
（1）【学习心得】
学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．
解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，（请你在图1上画圆）则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ ▲ °．
②类型二，“定角+定弦”：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝12，BC＝8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段PC长的最小值．
解：∵∠ABC＝90°，
∴∠APB+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠APB+∠PAB＝90°，
∴∠APB＝ ▲ ，（定角）
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，请完成后面的过程．
（2）【问题解决】
如图3，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 ▲ ；
（3）【问题拓展】
如图4，在正方形ABCD中，AD＝10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF．连接AE和DF，交于点P．
①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．
28．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于点D．点M是y轴上的一动点，连接PM，DM．当线段PD长度取得最大值时，求△PDM周长的最小值；
（3）将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中△PDM周长取得最小值时的点M，且与x轴交于E（﹣4，0），F两点（E在F的左侧），连接EM．点N为平移后的抛物线上的一动点，当∠MEF+∠NEF＝45°时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
x
…
0
6
…
y
…
0.52
﹣2
0.52
…