江西省南昌市南昌县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份江西省南昌市南昌县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知关于的一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ）
A．2B．3C．4D．7
3．方程的根的情况是（ ）
A．有两个都是负的实数根B．有两个都是正的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
4．将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．该二次函数图像的对称轴是直线
B．
C．一元二次方程的两个解是，
D．
6．将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．点关于坐标原点对称的点坐标为______．
8．若二次函数的图象开口向下且经过原点，则的值是______．
9．一元二次方程的两根分别为和，则的值为______．
10．已知抛物线经过点和，则______（填“”“”或“”）．
11．某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了525个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程______．
12．如图，在平行四边形中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，．当为等腰三角形时，旋转角的度数为______．
三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13．用适当的方法解下列方程．
（1）；（2）
14．已知二次函数（如图）．
（1）用配方法将化成的形式；
（2）设抛物线与轴的一个交点为（非原点），顶点为，则点坐标为______，点坐标为______；
（3）若直线经过两点，请直接写出当时，自变量的取值的范围是______．
15．已知平行四边形是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于平行四边形对称中心的对称点．
（1）如图1，点在平行四边形的边上；
（2）如图2，点在平行四边形外．
16．如图，一农场主准备用木栅栏建一个面积为180平方米的养鸡场，一边靠墙，其它部分用的是木栅栏，并且留有两道宽1米的门．其中，门用其它材料制作，木栅栏总长46米，墙长20米．
（1）设养鸡场宽米，用含的代数式表示养鸡场的长．
（2）求出的值．
17．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长．
四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
18．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式：
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．
19．如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20．如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？
五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）
21．若直线与轴交于点A，与轴交于点，二次函数的图象经过点A，点，且与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点为直线下方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标；
22．给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为______（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为的菱形．
（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形．
②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度．
六、解答题（共1小题，每小题12分，共12分）
23．如图，抛物线与轴交于两点，其中，，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线经过点、，连接．
（1）分别求抛物线和直线的解析式；
（2）在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使得的面积是面积的2倍，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使线段绕点顺时针旋转得到线段，且点恰好落在该抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
南昌县2024-2025学年度第一学期期中考试九年级数学试题
答案及评分意见
说明：1．除本参考答案外，其它正确解法可根据评分标准相应给分。
2．涉及计算或证明的题，允许合理省略非关键步骤。
3．以下解答中右端所注的分数，表示考生正确做到这步应得的累计分。
一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．A 2． B 3． D 4． D 5．C 6． B
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．； 8．－1； 9．26； 10．；11．；
12．或或 ．（写对1个给1分，写错酌情扣分）
三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13．解：（1）∵x2﹣4x﹣3=0，∴（x﹣2）2=7，
∴x1=2﹣，x2=2+；
（2）∵（x+3）2=﹣2（x+3），∴（x+3）（x+5）=0，
∴x1=﹣3，x2=﹣5．
14．（1）解：==，
故为所求；
（2）解：令，，或，
点A非原点，；
由（1）问，可知顶点；
故答案为：，；
（3）解：设抛物线的对称轴与x轴交于点C，则，
如图，由图像可知，当时，直线在抛物线的图像的上方，
自变量的取值的范围是：；
故答案为：．
15．（1）解：如图1，点即为所求；
（2）解：如图2，点即为所求．
16．（1）养鸡场的长为（米）；
（2）根据题意得：，整理得出：，
解得：，，
墙长20米，
，即，
．
17．解：（1）a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3
，
∵
∴
即
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵两条直角边的长 b和c恰好是这个方程的两个根
∴
∴，
解得．
当时，
周长
解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
18．解：（1）由题意得，销售量=250-10（x-25）=-10x+500，
则w=（x-20）（-10x+500）
=-10x2+700x-10000；
（2）w=-10x2+700x-10000=-10（x-35）2+2250．
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，wmax=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）20＜x≤30，对称轴左侧w随x的增大而增大，
故当x=30时，w有最大值，此时wmax=2000．
19（1）解：∵将线段绕点旋转到的位置，
∴，
∵，
∴，
即，
在和△ABC中，
，
∴（SAS），
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是△AGF的外角，
∴，
∴的度数为．
20．（1）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线最高点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
由图可知，抛物线经过，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）把代入得：，
∴，即点B到x轴的距离为1，
∵树高为4，
∴树顶端的高度为，
把代入，
∵，
∴小球M能飞过这棵树．
解答题（共2小题，每小题9分，共18分）
21．（1）解：当x=0时，，
∴点A的坐标为，
当时，，解得，
∴点B的坐标为，
设抛物线的解析式为，代入得：
， 解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：过点P作轴交AB于点Q，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
∴，
当时，最大，最大为，这时点P的坐标为．
22．（1）解：②③
（2）①连接，如图：
由旋转的性质可得：，，，
∴为等边三角形，即
由四边形的内角和性质可得：
∴
∴
∴
∴，即
∴四边形是勾股四边形
②延长交延长线于点，如图：
由题意可得：，
∵，
∴
∵，
∴ ∴
∵
∴ ∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴∴，
∴
六、解答题（共1小题，每小题12分，共12分）
23．（1）把、代入，
解得、
∴抛物线的解析式为
则C点为（0，3），又，代入，
得，， ∴直线AC的解析式为，
（2）如图，连接BC，∵点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，此时，点P与点B重合，
即：，过B点作交抛物线于点P，
则直线BP的解析式为①，
∵抛物线的解析式为②，
联立①②解得，或，
∴P（4，﹣5），
∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；
（3）由（1）可知，抛物线解析式为
把代入直线AC解析式
得AC与抛物线对称轴的交点，如下图所示：
， 即
则是等腰直角三角形，符合题意，
M点即为所求Q点的一种情况， Q（1，2）
当Q点在x轴下方时，设Q为，，
因为线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段
过A1作直线DQ的垂线于E点，则 △ADQ ≌△QEA （SAS）
∴，
∴
∵点A1恰好落在抛物线上，
代入，解得m=－3或 (舍去)
∴Q（1，－3）
综上，Q点坐标为（1,2）或（1，－3），