广东省河源市紫金县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份广东省河源市紫金县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共31页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，如图，反比例函数y＝，若是方程的两个根，则，如图，在中，，，等内容，欢迎下载使用。
九年级数学
本试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名和学校填写在答题卡上．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图所示放置的正三棱柱的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
3．关于相似三角形的性质，下列说法正确的是（ ）
A．相似三角形的对应角相等B．相似三角形的对应边相等
C．相似三角形周长的比等于相似比的平方D．相似三角形面积的比等于相似比
4．某旅游景点8月份共接待游客10万人次，10月份共接待游客14.4万人次．设这两个月的月平均增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，反比例函数y＝（k≠0，k是常数）的图象经过A点，则该函数图象上被蝴蝶遮住的点的坐标可能是（ ）
A．（－2，3）B．（2，－2）C．（－1，6）D．（2，－3）
6．若是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．平分B．C．D．
8．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不能相似的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，把正方形放在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点C，A分别在x，y轴的正半轴上且，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交边，于点E，F，且于点O，，交于点．给出下列结论：①；②；③四边形的面积总是正方形面积的；④；⑤当时，点的坐标为．其
中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．木箱里装有仅颜色不同的12个红球和若干个绿球，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在附近，则估计木箱中绿球有 个．
12．如果关于的一元二次方程的一个根是，那么 ．
13．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则 cm．
14．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，这个几何体的体积为 ．（结果保留）．
15．如图，在菱形中，，，E，F分别是过，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接，则的最小值为 ．
16．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作，交轴于点；若，，，都是等腰直角三角形，其中点A，，，，都在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ．
三、解答题：本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出点的坐标．
18．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
19．如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，于点．若，求的长．
20．若关于x的方程是一元二次方程．
(1)求的值；
(2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
21．乡村振兴战略是在党的十九大报告中提出的战略，小庆家为发展乡土特产“杏花鸡”，计划在农场中用篱笆围一个养鸡场．如图，利用一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形养鸡场，设的长为，的长为．
(1)求关于的函数关系式（包括自变量的取值范围）；
(2)如果篱笆的总长为，求出的长．
22．某校在暑假期间组织学生积极参与“劳动最光荣”活动，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭；B．洗碗；C．打扫；D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题：
抽取的学生参加各项目人数的条形统计图 抽取的学生参加各项目人数的扇形统计图

(1)本次接受抽样调查的总人数是_________人；
(2)请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
(3)小雯在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定从《论语》《孟子》《大学》《中庸》这四本书中随机奖励她两本．在随机抽取的两本书中，求恰好是《论语》和《大学》的概率．
23．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，且，，求四边形的面积．
24．综合与实践：利用相似三角形测量距离

(1)【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）．
(2)【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________．
(3)【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度．
25．综合应用
如图，反比例函数的图象过点和两点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点是反比例函数的图象上在点左侧的一个动点，连接，，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点．
①若，求点的坐标和直线的解析式；
②在①的条件下，在y轴上是否存在一点，使以C，E，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查三视图的判断，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形，是解题的关键．
【详解】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是
故选：A．
2．C
【分析】本题考查分式化简求值．将变形为，再把已知整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
3．A
【分析】根据相似三角形的性质，即可判断．
【详解】A、相似三角形的对应角相等，故此选项正确；
B、相似三角形的对应边成比例，故此选项错误；
C、相似三角形周长的比等于相似比，故此选项错误；
D、相似三角形面积的比等于相似比的平方，故此选项错误．
故选：A
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
4．B
【详解】解：由题意得
10月份共接待游客万人次，
，
故选：B．
5．D
【详解】解：∵点A（﹣3，2）在反比例函数（k≠0，k是常数）的图象上，∴k=（﹣3）×2=﹣6．
A．（﹣2，3）在第二象限，不合题意，故本选项错误；
B．∵2×（﹣2）=﹣4≠﹣6，∴此点不合题意，故本选项错误；
C．（﹣1，6）在第二象限，不合题意，故本选项错误；
D．∵2×（﹣3）=﹣6，∴该点正确，故本选项正确．
故选D．
6．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
7．C
【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可．
【详解】解：由矩形的对角线相交于点，
根据矩形的对角线相等，
可得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质．
8．B
【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴明明和亮亮两人恰好选择同一场馆的概率,
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
9．C
【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
C、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意；
D、，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意．
阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
10．D
【分析】证明，可判断①的正误；由，，，可得，，可判断③的正误；由，，证明，可判断②的正误；由勾股定理得，，即，可判断④的正误；由勾股定理得，，解得，，如图，作于，证明，则，可求得，，，则，可判断⑤的正误．
【详解】解：∵正方形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，①正确，故符合要求；
∴，，，
∴，
∴，③正确，故符合要求；
∵，，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，，，
∴，即，④正确，故符合要求；
由勾股定理得，，
解得，，
如图，作于，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，，
∴，⑤正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，坐标与图形，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11．8
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
根据摸到红球的频率可得摸到球的概率，根据概率公式即可求出绿球的数量
【详解】解设木箱中绿球有x个，根据题意得
解之得：
经检验是原方程的根，并符合题意
则估计木箱中绿球有8个．
故答案为：8
12．2022
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，正确理解一元二次方程的解的定义是解答本题的关键，把代入方程，得到的值，在代入即得答案．
【详解】关于的一元二次方程的一个根是，
，
即，
，
故答案为：2022．
13．3
【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案．
【详解】根据刻度尺可知．
在中，点D是的中点，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了根据三视图求几何体的体积，根据三视图可以得到它是一个空心的圆柱体，圆柱体底面外圆的直径为4，内圆直径为2，高为6，用外圆柱的体积减去内圆柱的体积即可求解．
【详解】解：由几何体的三视图可知，这个几何体是一个空心的圆柱，圆柱体底面外圆的直径为4，内圆直径为2，高为6，
∴几何体的体积为．
故答案为：
15．
【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值，当时，根据垂线段最短，即可解决问题．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∵G，H分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
当时，最小，得到最小值，
则，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
16．##
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，掌握一次函数、反比例函数图像上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
根据题意找到点的横坐标的规律，然后再求出的横坐标即可．
【详解】解：如图，过点A，，，，分别作轴，轴，轴，轴…，垂足分别为…..．
∵直线的关系式为，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可得……都是等腰直角三角形，
设，
则点，点A在反比例函数的图象上，
∴，解得：（负值舍去），
∴点A的横坐标为1，
设,
则点，点A1在反比例函数的图像上，
∴，解得：，
∴点的横坐标为
设，
则点，点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴点的横坐标为
以此类推：点横坐标为：．
故答案为：．
17．作图见详解，点的坐标为
【分析】本题考查了画已知三角形关于原点位似的三角形，一般的，在坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形，位似比为k，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或，据此在第一象限描出点，即可画出．
【详解】解：即为所求做的三角形，的坐标为．
18．(1)，
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等）是解题关键．
（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，．
（2）解：，
，
或，
．
19．
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先求出，再证出，然后根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：四边形是正方形，，
，．
，
．
．
于点，
．
，，
．
．
，即，
．
．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式；
（1）由一元二次方程的定义得且，即可求解；
（2）由根的判别式得，即可求解；
理解一元二次方程的定义“含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次程．”和根的判别式：“方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程有无的实数根；”是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得
且，
解得；
故的值．
（2）解：由（1）得
原一元二次方程为，
该方程有两个不相等的实数根，
，
解得：；
故的取值范围．
21．(1)
(2)的长为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，一元二次方程的应用．熟练掌握反比例函数解析式，一元二次方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，，则，由，，可求，然后作答即可；
（2）当篱笆的总长为时，则，依题意得，，解得，，，然后计算求出满足要求的值即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴．
∵，，
∴，
解得，，
关于的函数关系式为．
（2）解：当篱笆的总长为时，
∴，
依题意得，，整理得，
解得，，．
当时，（不符合题意，舍去）；
当时，（符合题意）．
∴的长为．
22．(1)120
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键．
（1）由B的人数除以其百分比即可；
（2）先求解A的百分比与C的人数，再补全图形即可；
（3）分别用A，B，C，D表示《论语》《孟子》《大学》《中庸》4本书名，再利用列表法求解概率即可．
【详解】（1）解：，
∴本次接受抽样调查的总人数是120人；
（2）∵，（人），
补全两个统计图如下：
抽取的学生参加各项目人数的条形统计图 抽取的学生参加各项目人数的扇形统计图

（3）分别用A，B，C，D表示《论语》《孟子》《大学》《中庸》4本书名，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两本书恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，分别是和．
．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据，证明平行四边形是矩形即可；
（2）先根据勾股定理求出，根据，得出四边形为菱形．证明，设，则，根据勾股定理得出，求出，再求出平行四边形的面积即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
在中，由勾股定理得：
，
，
四边形为菱形．
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形、菱形和平行四边形的判定方法，数形结合．
24．(1)
(2)
(3)路灯的高度为
【分析】本题考查了反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键
（1）设关于的函数关系式为，将时，代入，解得，，进而可得关于的函数关系式；
（2）由题意知，，证明，则，即，解得，，证明，则，即，计算求解即可；
（3）由题意知，，，设，．证明，则，即，解得，，，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：设关于的函数关系式为，
将时，代入得，，
解得，，
∴关于的函数关系式为，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：；
（3）解：由题意知，，，
设，．
∵，，
∴．
∴，
∴，即，解得，，
∴，
∴，即，解得，
∴路灯的高度为．
25．(1)
(2)①点的坐标为，；②存在，点的坐标为或
【分析】（1）将点和两点代入，即可求解；
（2）设直线的解析式为，将点代入可求解析式，①设点的坐标为，过点作轴，与交于点，可得，由三角形的面积得，求得点的坐标为，由两条平行直线相等可设直线的解析式为，从而可求解析式；②在直线中，可求得点，，设点的坐标为，（ⅰ）当时，，由相似的性质得，即可求解；（ⅱ）当时，，由相似的性质得，即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数的图象过点和两点，
，
解得，
反比例函数的解析式为．
（2）解：由（1）知，点的坐标为，设直线的解析式为，
则，
．
直线的解析式为．
①设点的坐标为，如图1，过点作轴，与交于点．
则点的坐标为，
，
，
，
解得（舍去），，
点的坐标为．
直线，
设直线的解析式为．
把点代入直线中，
得，
解得，
直线的解析式为．
②在直线中，
令，得，
令，得，
解得，
点的坐标为，点的坐标为．
设点的坐标为，
由题意可知，，
（ⅰ）如图2，当时，．
，，，
，
即，
，
点的坐标为．
（ⅱ）如图3，当时，．
，
即，
，
．
点的坐标为；
综上所述，在轴上存在一点的坐标为或，使以C，E，P为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形相似的判定及性质，掌握解法及性质，能根据对应点的不同进行分类讨论是解题的关键．
A
B
C
D
A
B
C
D