北京市东城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份北京市东城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共34页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡交回．等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（每题2分，共16分）
1．下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若是关于x的方程的一个根，则m的值是（）
A．B．C．3D．15
3．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，有最小值为2B．当时，有最大值为2
C．当时，有最小值为2D．当时，有最大值为2
4．在下列事件中，随机事件是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6
B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球
C．通常情况下，自来水在结冰
D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2
5．如图，正方形的边长为，且顶点，，，都在上，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
6．北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．B．
C．D．
7．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（ ）
A．B．24C．26D．52
二、填空题（每题2分，共16分）
9．将抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为
10．若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为 ．
11．为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：
（1）估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为 （结果保留两位小数）；
（2）若在相同条件下播种该品种小麦个，则约有 个能发芽．
12．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为 ．
13．若一次函数为常数，的函数值随的增大而减小，则的值可以是 (写出一个即可)．
14．如阁，A，B，C是上的三个点，若，则的大小是 ．
15．如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，铅球出手位置的高度为，当铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值．铅球的行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系满足二次函数．若以最高点为原点，过原点的水平直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，该二次函数的解析式为．若以过出手点且与地面垂直的直线为y轴，y轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，则该二次函数的解析式为 ．
16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下：
①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G；
②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行；
③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行；
④完成各道工序所需时间如下表所示：
（1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成；
（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元．
三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，23题5分，24-26题，每题6分，27-28题，每题7分）
17．解方程：．
18．如图，在中，．
求作：，使得的三个顶点都在上．
作法：
①作边的垂直平分线，交于点O；
②以点O为圆心，长为半径作圆．
则为所求作的圆．
(1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
由作图可知，，
点B在上，
在中，，
（）（填推理依据）．
．
点C在上．
的三个顶点都在上．
19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)用描点法画出该二次函数的图象；
(3)当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围．
20．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．

(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；
(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
21．如图，是的弦，半径于点，若，，求的半径的长．
22．已知关于x的一元二次方程．
(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值．
23．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），，，且，线段关于直线对称的线段为，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．
(1)画出线段、；
(2)将线段绕点O逆时针旋转得到线段，连接．若，求的度数．
24．如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，．求的长．
25．食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留．某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．
方式一：采用清水浸泡．
记浸泡时间为t分钟，农药的去除率为，部分实验数据记录如下：
方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．
记食用碱溶液的浓度为，农药的去除率为，部分实验数据记录如下：
结合实验数据和结果，解决下列问题：
(1)通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率与浸泡时间t（分）之间的关系，方式二中农药的去除率与食用碱溶液的浓度之间的关系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
(2)利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为______分钟；
(3)利用方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度中，x的取值范围可以是_____．
26．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设该抛物线的对称轴为直线．
(1)求t的值；
(2)已知，是该抛物线上的任意两点，对于，，都有，求m的取值范围．
27．在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：；
(2)当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：
①依题意，补全图形．
②猜想的大小，并证明．
28．在平面直角坐标系中，已知点P和直线，，点P关于直线，“和距离”的定义如下：若点P到直线，的距离分别为，，则称为点P关于直线，的“和距离”，记为d．特别地，当点P在直线上时，；当点P在直线上时，．
(1)在点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是_____；
(2)若P是直线上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为_____；
(3)已知点，的半径为1．若P是上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了中心对称图形的识别．熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．
根据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A不是中心对称图形，故不符合要求；
B是中心对称图形，故符合要求；
C不是中心对称图形，故不符合要求；
D不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
直接把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入方程，
得
解得．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值，明确二次函数的性质是解答本题的关键．
【详解】解：∵，
∴该函数图像开口向上，对称轴为，
当时，取得最小值2，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，解题的关键是掌握相关概念判断．
【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6，是必然事件，故此选项不符合题意；
B、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故此选项不符合题意；
C、通常情况下，自来水在结冰，是不可能事件，故此选项不符合题意；
D、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2，是随机事件，故此选项符合题意，
故选：D．
5．C
【分析】此题考查了正多边形和圆，连接，是正方形，则，，
利用圆周角定理可得是的直径，再用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的应用．
【详解】如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴是的直径，
在中，由勾股定理得：，
∴的半径为，
故选：．
6．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
利用第三周接待游客人数第一周接待游客人数这两个月的月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形，
其中扇形的半径为，圆心角最大角度为，
∴扇形的最大面积为：，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；
根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可．
【详解】 是的内切圆且半径为2，，，
，
，
则的面积为26，
故选：C
9．
【分析】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式.直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，计算即可．
【详解】根据题意，得所得抛物线解析式为，
故答案为：．
10．10
【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方．
【详解】解：由题意得 ：，
即：
即．
故．
故答案为：10．
11．
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量是解题的关键．
（1）根据当足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于概率，作答即可；
（2）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为，
故答案为：；
（2）解：由题意知，在相同条件下播种该品种小麦个，则约有个能发芽，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查坐标系上点的坐标的规律，熟练掌握关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【详解】解：∵点与点B关于原点对称，
∴点B的坐标是，
故答案为：．
13．(答案不唯一)
【分析】根据一次函数的系数特点，若随的增大而减小，则都可满足．
【详解】解：根据一次函数一次项系数k的意义，若随的增大而减小，则只需，
∴
∴取(答案不唯一)．
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了一次函数的性质：一次函数)，当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小．
14．
【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得到的角度，然后根据三角形内角和为和等腰三角形的性质可得到结果，熟悉掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次函数的解析式，解题的关键是掌握a的确定方法和抛物线顶点式的求法．
【详解】解：图2二次函数的解析式为，铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值，
图3二次函数的解析式为，即，
故答案为：．
16． 86 38
【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出算式准确计算．
（1）在完成C的同时完成A、B，然后完成D，E的同时完成F，最后完成G，列式计算即可；
（2）根据题意可以缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，然后列出算式进行计算即可．
【详解】解：（1）在完成C的同时完成A、B，最少需要28天，完成D，E的同时完成F最少需要天，完成G需要25天，
∴在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少需要：
（天）；
故答案为：86；
（2）（天），
∴至少需要将整个任务缩短6天，
∵B，E，F，G不可缩短，
∴工序最多可以缩短天，
∵天，
∴只缩短工序2天，A工序可以不缩短，然后工序每缩短1天，C工序就要缩短1天，
∴当缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，正好可以将工期缩短到80天，此时增加的投入最少，且最少为：
（万元），
故答案为：38．
17．方程的两个根分别为，
【分析】本题考查了解一元二次方程的能力，先移项，然后利用提公因式法将方程的左边因式分解可解得方程，结合方程的特点选择合适、简便的解方程方法是解题的关键．
【详解】解：移项，得，
因式分解，得，
于是得，或，
解得：，，
所以方程的两个根分别为，.
18．(1)见详解
(2)，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．
【详解】（1）补全图形如图所示：
（2）证明：连接．
由作图可知，，
点B在上，
在中，，
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
．
点C在上．
的三个顶点都在上．
19．(1)二次函数的解析式为
(2)见解析
(3)k的取值范围
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，二次函数与不等式(组)，数形结合是解题的关键；
（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）利用描点法画出所给函数的图象即可；
（3）由于当直线经过点时，利用一次函数和二次函数的性质，当时，函数的值大于二次函数的值
【详解】（1）点在二次函数的图象上，
，解得．
二次函数的解析式为．
（2）列表：
描点，连线：
（3）当直线经过点时解得，此时函数与二次函数的交点为和，
观察图象，当时，函数的值大于二次函数的值，
所以当时，对于x的每一个值，都有，k的取值范围．
20．(1)所有可能出现的结果共6种：，，，，，
(2)小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率是
【分析】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是写出所有可能出现的结果．
（1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，写出所有可能的结果即可；
（2）根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：所有可能出现的结果共6种：，，，，，．
（2）解：记抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M，M包含的结果有3种，即，，，且6种可能的结果出现的可能性相等，
∴．
21．的半径的长为．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得，设，根据勾股定理得到方程，解方程即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
半径于点，，
，，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得
的半径的长为．
22．(1)；
(2)．
【分析】（）根据根的情况确定参数的范围，由即可求解；
（）利用根与系数的关系得出，解方程即可；
此题考查了根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键时，，熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围是；
（2）设，是关于的一元二次方程的两个实数根，
则，
解得：．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了利用旋转和对称变换作图，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质画图即可；
（2）首先证明出是直角三角形，然后根据对称的性质得到，，进而求解即可．
【详解】（1）如图所示，线段、即为所求；
（2）如图所示，
在中，，，
∴
∴是直角三角形
∴
∵，线段关于直线对称的线段为，
∴
∴，即
∴．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．根据直径所对的圆周角是直角得，再根据角平分线得，进而得，又由，从而根据平行线的性质得，于是，得，根据切线的判定即可证明结论成立；
（2）如图，过点作于点，先证明．再根据勾股定理得，根据直角三角形的性质得，进而利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明，如图，连接．
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
为的半径，
直线是的切线．
（2）解：如图，过点作于点，
，
，
，
．
在中，，
根据勾股定理，得，
，
，
在中，根据勾股定理，得
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的判定以及平行线的性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键．
25．(1)图象见解析
(2)10
(3)答案不唯一，如
【分析】本题考查一次函数的应用，用描点法作函数的图象是解题的关键；
（1）分别将方式一和方式二表格中的数据在对应平面直角坐标系中描点，并将它们连接起来即可；
（2）根据方式一的函数图象，最大时对应的t的值即为答案；
（3）确定的最大值，当不小于这个值时对应的x的取值范围即为答案；
【详解】（1）方式一和方式二函数图象如图所示：
（2）由方式一的函数图象可知，当时，农药的去除率最高，
故答案为：10
（3）清水浸泡的最大去除率为
..由方式二的函数图象可知，当时食用碱溶液浸泡的去除率不小于
故答案为:
26．(1)1
(2)
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，
（2）根据题意判断出当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；从而分为①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，六种情况解答即可；
【详解】（1）解：点在抛物线上，
∴对称轴为．
（2）∵，
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
①当时，
∵．
∴．
∴，符合题意；
②当时，．
当时，
∵．
∴．
∴．
当时，设关于抛物线对称轴的对称点为，
则．
∴．
∵，
∴．
∵，
当时，符合题意；
③当时，，
令，则，不符合题意；
④当时，，
令，则，
，不符合题意；
⑤当时，．
令，则．
，不符合题意；
⑥当时，，
∴，不符合题意；
综上所述，m的取值范围是
27．(1)见解析
(2)选择图2：①补全图形见解析，②猜想．证明见解析
【分析】（1）根据题意得，由旋转的性质得是等边三角形，即可证明；
（2）①根据旋转和题目要求补全图；②猜想．过点作于点，连接，则有、和，根据题意有，由（1）可知是等边三角形，即可证得，即可证明猜想．
【详解】（1）证明，，，
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形．
，
，
则；
（2）选择图2：
①补全图形如图所示：
②猜想．
如图，过点作于点，连接，
则，
，，
，，
，
为线段中点，
，
．
由（1）可知是等边三角形，
，，
，
在利中，
，
．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转的性质，并利用等边三角形性质证明全等．
28．(1)，
(2)3
(3)点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围为
【分析】（1）分别求出各点到x轴和y轴的距离，得到“和距离”，从而作出判断即可；
（2）设点P的坐标为，则点P关于x轴和y轴的“和距离”为，分类讨论根据m的取值范围，求得的值的范围，从而得到其最小值，即可解答；
（3）设点，利用等面积法表示出点P到直线的距离，从而表示出d，发现d的范围取决于的范围，令，则直线与有公共点，即点到的距离，利用前面得到的点到直线的距离公式计算t的范围，从而得到d的范围．
【详解】（1）解：点到x轴的距离为0，到y轴的距离为3，则“和距离”为；
点到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则“和距离”为；
点到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，则“和距离”为；
点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是，．
故答案为：，．
（2）解：点P是直线上的动点，
设点P的坐标为，
点到x轴的距离为，到y轴的距离为，关于x轴和y轴的“和距离”为，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
当时，该不等式组无解．
，
即点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为3，
故答案为：3．
（3）解：如图，设点，作轴于点N，交直线于点R，直线于点M，轴交直线于点S，
，=，点，点，
，
，
，
，
令，则直线，依题意，直线与有公共点，
设直线点到的距离为，则，
根据上面点到直线的距离公式得到，则，
，
，即．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系，绝对值不等式的分类讨论等，解题关键是利用点到直线的距离公式数形结合进行分析．
种子个数n
5
发芽种子个数m
4
发芽种子频率
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/天
11
15
28
17
16
31
25
t（分）
5
8
10
12
15
20
30
50
57
52
37
33
2
5
7
10
12
15
43
52
57
76
57
25
x
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