安徽省A10联盟2025届高三上学期11月段考数学试卷

这是一份安徽省A10联盟2025届高三上学期11月段考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|x+2x-3<0}，B={-1,0,1,2,3}, 则A∩B=（ ）
A．1,2B．{-1,0,1}C．{0,1,2}D．{-1,0,1,2}
2．若z⋅2+i=7+5i，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知空间向量a=m,-1,3，b=-1,n,-32，若a//b，则m+n=（ ）
A．-32B．-52C．32D．52
4．若tanα-π=12，则csα2sinα-3csα=（ ）
A．-14B．1C．-12D．-14或-12
5．“λ≤2”是“数列{n2-λn}为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．在三角形内切其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”. 意大利数学家托里拆利发现：当△ABC的三个内角均小于120​∘时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120​∘时，最大内角的顶点即为费马点. 在△ABC中，若BC=4,且sinA:sinB:sinC=22:2:1，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（ ）
A．42B．32C．4+2D．4+22
7．已知函数fx=∣x∣-3,x≤3-x3+6x-9,x>3，若方程fx2-afx+2=0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．-113,-22B．-6,-22
C．-113,+∞D．-113,-22∪-22,+∞
8．已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中BD=3,AD=6,∠ABC=2π3，若此圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．36πB．54πC．64πD．68π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知m,n,l为三条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若m//n,n//α,m⊄α，则m//αB．若m⊥n,m⊥l,n//α,l//α，则m⊥α
C．若α⊥β,m//α,n⊂β,l//n，则m⊥lD．若α//β,m⊥α,n⊥β，则m//n
10．已知平面向量m,n均为单位向量，且2m-n=3m，则（ ）
A．m⋅n=-12B．m+2n=7
C．cs=-714D．m+2n在m-n上的投影向量为-12m-a
11．已知函数fx=x-1ex-eex+e+mm∈R有2个零点x1，x2x1A．m<0B．m>0C．x12+x22>e2D．lnx2+x1<1
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知正数x,y满足2x+5y=2，则5x+2y的最小值为__.
13．已知数列{an}满足an+1=2an,014．已知曲线fx=sinωx+φφ<π2在原点处的切线方程为y=32x+12，且函数gx=faxa>0在区间n,2π上没有零点，则实数a的取值范围是______________________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知a>0，函数fx=ln1+ax1-3x是奇函数，gx=4​x-2​x+3.
（1）求实数a的值；
（2）若∀x1∈[0,16]，∃x2∈[1,3]，使得fx1≥gx2+λ，求实数λ的取值范围.
16．（15分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c，且1sinA+1sinC=3tanA+3tanC.
（1）求证：a+c=3b；
（2）若b=4，且D是边AC的中点，求BD的最小值.
17．（15分）
已知四棱锥S-ABCD中，∠BAD=∠ADC=∠SAD=2∠SDA=90​∘，平面SAD⊥平面ABCD,CD=AD=2AB=2. 点M,N分别在线段SC,SD上，且A,B,M,N四点共面，BM⊥SC.
（1）求证：AN⊥SD;
（2）求平面BCN与平面SCD所成角的余弦值.
18．（17分）
已知数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn，其中a2=2,2Sn=an+1n,{bn}为等比数列，且T3=14，T6=126.
（1）求数列{anbn}的前n项和Qn;
（2）在（1）的条件下，比较∑ni=11Qi与0.7的大小关系，并说明理由.
19．（17分）
定义：记函数fx的导函数为f​'x，若f​'x在区间I上单调递增，则称fx为区间I上的凹函数；若f​'x在区间I上单调递减，则称fx为区间I上的凸函数.
已知函数fx=xex-ax>0，gx=fxx.
（1）求证：fx为区间0,+∞上的凹函数；
（2）若gx为区间[1,2]上的凸函数，求实数a的取值范围；
（3）求证：当aalnx.
【参考答案】
A10联盟2025届高三上学期11月段考
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．D
[解析]由题意得，A={x|x+2x-3<0}={x|-22．A
[解析]由题意得，z=7+5i2+i=7+5i2-i2+i2-i=14-7i+10i+55=195+35i，故复数z在复平面内所对应的点为195,35，位于第一象限，故选A.
3．D
[解析]由a//b得，m-1=-1n=3-32，解得m=2,n=12，则m+n=52. 故选D.
4．C
[解析]由题意得，tanα-π=tanα=12，则csα2sinα-3csα=12tanα-3=12×12-3=-12，故选C.
5．A
[解析]由“数列{n​2-λn}为递增数列”得，n+1​2-λn+1-n​2-λn=2n+1-λ>0，所以λ<3，故“λ≤2”是“数列{n​2-λn}为递增数列”的充分不必要条件. 故选A.
6．B
[解析]设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，因为sinA:sinB:sinC=22:2:1，所以由正弦定所得a:b:c=22:2:1,又a=4，所以b=22,c=2，由余弦定理得csA=b​2+c​2-a​22bc=8+2-162×22×2=-34<-12，所以A>120​∘，所以顶点A为费马点，故点A到各顶点的距离之和为b+c=32，故选B.
7．A
[解析]令fx=t，则方程fx2-afx+2=0有6个不同的实数根等价于t​2-at+2=0有2个不同的实数解t1,t2，且t1,t2∈-3,0，则a​2-8>09+3a+2>0-38．B
[解析]由题意得，DE⌢=23π×3=2π,AC⌢=23π×9=6π，故圆台的上、下底面半径分别为1,3，则圆台的高为42. 设球O的半径为R,O到D点所在的底面的距离为x，则x​2+1=R​242-x​2+9=R​2，解得x=522,R​2=272，所以球O的表面积为4πR​2=4π×272=54π，故选B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．AD
[解析]A中，m//m，n//α，m//α或m⊂α，而m⊄α，故m//α，故A正确；B中，若n//m，则未必有m⊥α，则B不一定正确；C中未必有m⊥n，故未必有m⊥l，故C不一定正确；若α//β，m⊥α，则m⊥p，而n⊥β，故m//n，故D正确. 故选AD.
10．BCD
[解析]因为2m-n=3m，所以4-4m+n+1=3，则m⋅n=12，故A错误；
m+2n=m2+4n2+4m⋅n=7，故B正确；m-n=m2+n2-2m⋅n=1，
m-n⋅m+2n=m2+m⋅n-2n2=1+12-2=-12，则cs=-714，
故C正确；m+2n在m-n上的投影向量为m+2n⋅m-nm-nm-nm+n=-12m-n，
故D正确. 故选BCD.
11．AD
[解析]fx=0⇔x-1ex-eex+e=-m⇔x-1ex-1-1ex-1+1=-m. 设ht=t⋅et-1et+1，则h-t=-t⋅et-1e-t+1=-t⋅1-et1+et=ht，即ht为偶函数，当t>0时，ht=t⋅1-2et+1，且h't=et-1et+1+2t⋅etet+12>0，即函数ht在0,+∞上单调递增，所以gx=x-1ex-eex+e=hx-1关于x=1对称，且在-∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，则gxmin=g1=0，所以-m>0，解得m<0，故A正确，故B错误；由x1+x2=2知，x1​2+x2​2>12x1+x2​2=2，故C错误；由x1+x2=2知，lnx2+x1=lnx2+2-x2，令φx=lnx-x+2x>1，φ'x=1x-1<0，即φx在1,+∞上单调递减，所以φx<φ1=1，所以lnx2+x1<1，故D正确. 故选AD.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．20
[解析]由题意得，5x+2y=x+5y25x+2y=10+25y2x+2xy≥10+225y2x⋅2xy=20，当且仅当25y2x=2xy，即x=12，y=15时等号成立.
13．50635或101235
[解析]由题意得，a2=2×35-1=15，a3=2×15=25，a4=2×25=45，a5=2×45-1=35，所以{an}为周期数列T=4，所以S2025=a1+506a1+a2+a3+a4=35+1012=50635.
14．(0,512]∪[56,1112]
[解析]由题意得，f0=sinφ=12，因为φ<π2，所以fx=sinωx+π6，
所以f'x=ωcsωx+π6，所以f'0=ωcsπ6=32ω=32，解得ω=1，故fx=sinx+π6,gx=sinax+π6. 令gx=sinax+π6=0，解得ax+π6=kπk∈Z，
解得x=kπa-π6k∈Z，因为gx在区间π,2π上没有零点，所以kπa-π6a≤πk+1πa-π6a≥2π（k∈Z），
解得k-16≤a≤k2+512k∈Z，因为a>0，所以k2+512>0，解得k>-56，由k-16≤k2+512，
得k≤76，所以-56四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1） 因为函数fx=ln1+ax1-3x是奇函数，所以f-x+fx=0，
即ln1-ax1+3x+ln1+ax1-3x=0，即1-ax21-3x2=1，解得a=±3，…………2分
因为a>0，所以a=3.…………3分
当a=3时，fx=ln1+3x1-3x，此时fx的定义域为-13,13，
关于原点对称，满足题意.…………4分
综上，a=3.…………5分
（2） 由题意得，fxmin≥gxmin+λ，…………6分
由（1）知，fx=ln1+3x1-3x=ln-1+21-3x，
易得fx在[0,16]上单调递增，故fxmin=f0=0.…………9分
gx=4x-2x+3=2x2-8⋅2x=2x-42-16，
当x∈[1,3]时，2x∈[2,8]，所以gxmin=g2=-16，…………11分
所以fxmin≥gxmin+λ⇔0≥λ-16，…………12分
解得λ≤16，即实数λ的取值范围为(-∞,16].…………13分
16．（1） 设△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
∵1sinA+1sinC=3tanA+3tanC，∴1sinA+1sinC=3csAsinA+3csCsinC，…………2分
整理得sinA+sinC=3sinAcsC+csAsinC=3sinB，…………5分
由正弦定理得a+c=3b.…………6分
（2） ∵b=4，且D是边AC的中点，∴AD=CD=2，
由余弦定理得，BD​2+2​2-c​22⋅BD⋅2=-BD​2+2​2-a​22⋅BD⋅2，则2BD​2=a​2+c​2-8.…………10分
∵b=4，∴a+c=3b=12，
由a​2+c​2≥2ac，得a​2+c​2≥a+c​22=72（当且仅当a=c=6时等号成立），…………13分
∴2BD​2=a​2+c​2-8≥64，∴BD≥42，故BD的最小值为42.…………15分
17．（1） 因为平面SAD⊥平面ABCD，SA⊥AD，SA⊂平面SAD，平面SAD∩平面ABCD=AD，
所以SA⊥平面ABCD.…………1分
因为AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以SA⊥AB，SA⊥AD.…………2分
在Rt△SAB中，SB=AB​2+AS​2=5，
由AB=1，AD=CD=2，可得BC=5，所以SB=BC，
因为BM⊥SC，所以M为SC的中点.…………3分
因为∠BAD=∠ADC=90​∘，故AB//CD，
因为AB⊄平面SCD，所以AB//平面SCD.…………4分
因为平面ABMN∩平面SCD=MN，AB⊂平面ABMN，所以AB//MN.…………5分
所以CD//MN，所以N为SD的中点.…………6分
又AS=AD，所以AN⊥SD.…………7分
（2） 分别以直线AB，AD，AS为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A0,0,0，B1,0,0，C2,2,0，N0,1,1，
所以BC=1,2,0，BN=-1,1,1，AN=0,1,1.…………8分
设平面BCN的法向量为n=x,y,z，则n⋅BC→=0n⋅BN→=0，即x+2y=0,-x+y+z=0.
令y=-1，则x=2，z=3，于是n=2,-1,3.…………10分
因为AB⊥平面SAD，且AB//CD，所以CD⊥平面SAD，所以AN⊥CD.
由（1）可知AN⊥SD，而SD∩CD=D，所以AN⊥平面SCD，
所以AN是平面SCD的一个法向量.…………13分
则cs=n⋅ANnAN=22×14=77.
故平面BCN与平面SCD所成角的余弦值为77.…………15分
18．（1） 当n=1时，2S1=a1+1，则a1=1；…………1分
当n=2时，a2=2；
当n≥3时，2Sn=an+1n,2Sn-1=an-1+1n-1，…………2分
相减整理得，ann-1-an-1n-2=-1n-1n-2=1n-1-1n-2，…，a32-a22=12-11，…………4分
累加可得，ann-1-a2n-1=1n-1-1，即ann-1=nn-1，故an=n.
综上所述，an=n. …………5分
易知等比数列{bn}的公比不为1，则T6T3=1-q61-q3=1+q3=9，解得q=2，…………7分
故T3=b1+b2+b3=7b1=14，解得b1=2，则bn=2​n. …………8分
由题意得，anbn=n⋅2n，
故Qn=2+2×22+3×23+⋯+n×2n，
2Qn=22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，
故-Qn=2+22+23+24+⋯+2n-n×2n+1，故Qn=n-12n+1+2.…………10分
（2） 因为1Q1=12,1Q2=110，所以1Q1<0.7,1Q1+1Q2=35<0.7，…………11分
当n≥2时，因为Qn+1=n⋅2n+2+2=n-1⋅2n+2+2n+2+2>n-1⋅2n+2+4=2Qn，
所以1Qn+1<12Qn，…………13分
当n≥3时，1Q1+1Q2+⋯+1Qn<1Q1+1Q2+12Q2+122Q2+⋯+12n-2Q2
12+110[1-12n-1]1-12=12+15[1-12n-1]<12+15=0.7.…………16分
综上所述，∀n∈N*,∑ni=11Qi<0.7.…………17分
19．（1） 由题意得，f'x=x+1ex，记f​'x的导函数为f''x（下同），
则f''x=x+2ex>0，所以f​'x在区间0,+∞上单调递增，
所以fx为区间0,+∞上的凹函数. …………3分
（2） 由题意得，gx=ex-axx>0，则g'x=ex+ax2,g''x=ex-2ax3，
令g''x≤0，则ex-2ax3≤0，故x3ex≤2a.…………4分
令mx=x3ex，则m'x=3x2ex+x3ex=x2x+3ex>0，…………5分
故mx在[1,2]上单调递增，故mxmax=m2=8e2，…………6分
则8e2≤2a，故a≥4e2，故实数a的取值范围为[4e2,+∞). …………7分
（3） 由题意得，ex-ax>alnx-a.
当a=0时，ex>0，符合题意.…………8分
当a<0时，因为x>0，则ex-ax>0，则即证ex-ax>alnx-a，即证ex>a1x+lnx-1，
设nx=1x+lnx-1，则n'x=x-1x2，
所以nx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故nx≥n1=0，
故当a<0时，ex>0≥1x+lnx-1a，即ex-ax>alnx-a成立.…………10分
当0又f0=-a<0，fa=aea-1>0，所以∃x0∈0,a，使得fx0=x0ex0-a=0，
所以a=x0ex0，因为0ⅰ）当x∈0,x0时，xex-a<0，ex-ax<0，即证ax-ex-alnx+a>0，
设Fx=ax-ex-alnx+a，则F'x=-ax2-ex-ax<0，
所以Fx在0,x0上单调递减，
所以Fx>Fx0=-alnx0+a=a1-lnx0>0.…………13分
ⅱ）当x∈[x0,+∞)时，xex-a≥0，即ex-ax≥0，即证ex-ax-alnx+a>0，
设Gx=ex-ax-alnx+a，则G'x=ex+ax2-ax=x2ex+a-axx，
令px=x2ex+a-ax，x∈[x0,+∞)，
则p'x=x2+2xex-a，p''x=x2+4x+2ex>0，
故p'x在[x0,+∞)上单调递增，则p'x≥p'x0=x02+2x0ex0-a=ax0+a>0，
故px在[x0,+∞)上单调递增，则px≥px0=x02ex0+a-ax0=a>0，
则G'x=pxx2>0，则Gx在[x0,+∞)上单调递增，
故当x∈[x0,+∞)时，Gx≥Gx0=-alnx0+a=a1-lnx0>0.…………16分
综上，当aalnx.…………17分
[解析]以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分.