海南省海口市龙华区华侨中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份海南省海口市龙华区华侨中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如果收入200元记作+200元，那么支出50元记作（ ）
A．+150元B．﹣150元C．+50元D．﹣50元
2．（3分）若代数式x+7的值为1，则x的值为（ ）
A．6B．﹣6C．8D．﹣8
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．3a2﹣2a2＝a2
C．（a2）3＝a5D．2a2•3a＝6a2
4．（3分）2014年超强台风“威马逊”给海南省的文昌和海口以重创，估算造成直接经济损失达43700000000元人民币．这笔款额用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.473×1011B．4.4×1010
C．4.37×1010D．43.7×109
5．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
6．（3分）抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（ ）
A．y＝x2+4x+4B．y＝x2﹣4x+4C．y＝x2﹣4x+3D．y＝x2+4x+5
7．（3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
8．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC且EF∥AB，AD：DB＝2：3，那么BF：FC的值为（ ）
A．2：3B．2：5C．3：5D．5：7
9．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（ ）
A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0）
D．4a+2b+c＞0
11．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）
A．B．C．D．
12．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿矩形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）
A．15B．16C．20D．30
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（3分）因式分解：a3﹣4a＝ ．
14．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0的一个根为x1＝2，另一根x2＝ ．
15．（3分）函数y＝x2﹣6x+8（0≤x≤4）的最大值为 ．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF垂足分别是F，G，H，E，∠ABF＞∠BAF．
（1）若点F为GB的中点，则＝ ；
（2）连接BE，若，正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，则n＝ ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。
17．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组．
18．（10分）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路（阴影部分），若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，求小路的宽是多少？
19．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3．
（1）求证：∠BDC＝90°；
（2）求AC的长．
20．（10分）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y＝﹣x2+bx+c和y＝﹣x2+bx+c'；
（1）求A喷头喷出的水流的最大高度；
（2）一名游人站在点D处，OD＝4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？
21．（16分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点P，使△PAD周长最小，求P点坐标；
（3）Q为直线BD下方抛物线上一点，求△BDQ面积的最大值；
（4）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是以AD边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标．
22．（14分）在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，可以将这个图形转换到另一个位置，从而易于解题．请你阅读学习这种旋转变换方法，并运用其解答问题：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AE⊥BC于E，求证：AE＝EC；
证明：∵AB＝AD，可将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE′，如图2，请你利用图2完成第（1）题；
（2）根据第（1）题的数学活动经验，尝试用旋转变换解答下面的问题；
①如图3，在直角△ABC中，D为斜边AB上一点，AD＝2，BD＝1，四边形DECF是正方形，设△ADE和△BDF的面积分别为S1，S2，求S1+S2的值；
②如图4，已知：∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∠APB＝∠BPC＝∠APC，求PA+PB+PC的值．
2024-2025学年海南省海口市龙华区华侨中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．（3分）如果收入200元记作+200元，那么支出50元记作（ ）
A．+150元B．﹣150元C．+50元D．﹣50元
【答案】D
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果收入200元记作+200元，那么支出50元记作﹣50元．
【解答】解：因为正”和“负”相对，所以，如果收入200元记作+200元，那么支出50元记作﹣50元．
故选：D．
2．（3分）若代数式x+7的值为1，则x的值为（ ）
A．6B．﹣6C．8D．﹣8
【答案】B
【分析】根据题意列出方程解出x的值即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x+7＝1，
∴x＝﹣6，
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．3a2﹣2a2＝a2
C．（a2）3＝a5D．2a2•3a＝6a2
【答案】B
【分析】根据合并同类二次根式的方法可以判断A；根据合并同类项的方法可以判断B；根据幂的乘方可以判断C；根据单项式乘单项式的方法可以判断D．
【解答】解：2﹣＝，故选项A不符合题意；
3a2﹣2a2＝a2，故选项B正确，符合题意；
（a2）3＝a6，故选项C错误，不符合题意；
2a2•3a＝6a3，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）2014年超强台风“威马逊”给海南省的文昌和海口以重创，估算造成直接经济损失达43700000000元人民币．这笔款额用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.473×1011B．4.4×1010
C．4.37×1010D．43.7×109
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：43700000000＝4.37×1010．
故选：C．
5．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
【答案】A
【分析】观察式子可得最简公分母为2（x+1）．方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：方程两边乘2（x+1），得：2x＝x+1，
解得x＝1．将x＝1代入2（x+1）＝4≠0．
∴方程的解为x＝1．故选A．
6．（3分）抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（ ）
A．y＝x2+4x+4B．y＝x2﹣4x+4C．y＝x2﹣4x+3D．y＝x2+4x+5
【答案】A
【分析】直接利用二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可．
【解答】解：∵左加右减，上加下减，
∴抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为y＝（x+2）2+1﹣1＝x2+4x+4，即y＝x2+4x+4，
故选：A．
7．（3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】A
【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数．
【解答】解：过点B作BD∥l，
∵直线l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠4＝∠1＝25°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠3＝∠ABC﹣∠4＝45°﹣25°＝20°，
∴∠2＝∠3＝20°．
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC且EF∥AB，AD：DB＝2：3，那么BF：FC的值为（ ）
A．2：3B．2：5C．3：5D．5：7
【答案】A
【分析】由EF∥AB，得BF：FC＝AE：EC，由DE∥BC，AE：EC＝AD：DB，所以BF：FC＝AD：DB＝2：3，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴BF：FC＝AE：EC，
∵DE∥BC，
∴AE：EC＝AD：DB，
∴BF：FC＝AD：DB＝2：3，
∴BF：FC的值为2：3，
故选：A．
9．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接BE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，再证明△AEB为等腰直角三角形，则BE＝2，接着根据菱形的性质得到AB＝BC＝4，AD∥BC，所以∠EBC＝∠AEB＝90°，然后利用勾股定理可计算出CE的长．
【解答】解：连接BE，如图，
由作法得MN垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝45°，
∴∠AEB＝90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝2，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2．
故选：C．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（ ）
A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0）
D．4a+2b+c＞0
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向可判断A，根据抛物线对称轴可判断B，由抛物线的轴对称性可得点B的坐标，从而判断C，由（2，4a+2b+c）所在象限可判断D．
【解答】解：A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；
B、∵抛物线对称轴是直线x＝1，开口向下，
∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；
C、由A（﹣1，0），抛物线对称轴是直线x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项C错误，不符合题意；
D、抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，
∴4a+2b+c＞0，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
11．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF＝DF；易得FC＝FA，设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2＝42+（6﹣x）2，解方程求出x．
【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，
∴AE＝DC，
而∠AFE＝∠DFC，
∵在△AEF与△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF＝DF；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴FC＝FA，
设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，
在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，即x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，
则FD＝6﹣x＝．
故选：B．
12．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿矩形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）
A．15B．16C．20D．30
【答案】A
【分析】解本题需注意一定的面积值相对应的距离可以有2个．找到对应的点，找出准确反映y与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中y随x变化的情况．
【解答】解：由图2知：
当动点P由B→C时，点P运动的路程为5，
∴BC＝5，
当x＝5和x＝11时，△ABP的面积相等，
∴CD＝6，
∴S△ABC＝CD×BC＝15，
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（3分）因式分解：a3﹣4a＝ a（a+2）（a﹣2） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
14．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0的一个根为x1＝2，另一根x2＝ 4 ．
【答案】4．
【分析】根据x1+x2＝6且x1＝2可得答案．
【解答】解：由题意知x1+x2＝6，
∵x1＝2，
∴x2＝4，
故答案为：4．
15．（3分）函数y＝x2﹣6x+8（0≤x≤4）的最大值为 8 ．
【答案】8．
【分析】把函数化为顶点式求出对称轴，根据二次函数的性质即可求出函数的最大值．
【解答】解：y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∵|0﹣3|＞|3﹣4|，1＞0，
∴在0≤x≤4，x＝0时，函数值最大，最大值为8．
故答案为：8．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF垂足分别是F，G，H，E，∠ABF＞∠BAF．
（1）若点F为GB的中点，则＝ ；
（2）连接BE，若，正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，则n＝ 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到BF＝GC，然后利用已知条件即可求解；
（2）利用（1）可以得到BF＝GC，设BF＝GC＝a，GF＝b，则BG＝a+b，EF＝b，利用已知条件化简得到a2+ab＝b2；利用勾股定理求得正方形ABCD的边长，再利用正方形的面积公式解答即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD，EFGH都为正方形，
∴AB＝BC，∠AFB＝∠CGB＝90°，∠ABC＝90°．
∴∠ABF+∠GBC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG．
在△ABF和△BCG中，
，
∴△ABF≌△BCG（AAS），
∴BF＝GC，
∵点F为GB的中点，
∴BF＝GF，
∴＝；
故答案为：；
（2）∵BF＝CG，
∴设BF＝GC＝a，GF＝b，则BG＝a+b，EF＝b，
∵，
∴＝（）2，
∴a2+ab＝b2．
∵BG2+GC2＝BC2，
∴BC2＝a2+（a+b）2＝2a2+2ab+b2＝3b2，
∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为＝＝，
∴n＝3．
故答案为：3．
三、解答题：本题共6小题，共72分。
17．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组．
【答案】（1）2；
（2）x＜﹣．
【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质、二次根式的乘法运算法则，零指数幂分别化简，进而合并得出答案；
（2）分别解不等式，进而得出不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝1+5﹣3﹣1．
＝2；
（2）解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x＜﹣，
∴不等式组的解集是x＜﹣．
18．（10分）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路（阴影部分），若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，求小路的宽是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是5m．
故答案为：5．
19．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3．
（1）求证：∠BDC＝90°；
（2）求AC的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据勾股定理求出AC即可．
【解答】（1）证明：∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，
∴42+32＝52，
∴∠BDC＝90°；
（2）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝180°﹣90°＝90°，
依题意有AC2＝（AB﹣3）2+CD2，即AC2＝（AC﹣3）2+42，
解得AC＝．
故AC的长为．
20．（10分）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y＝﹣x2+bx+c和y＝﹣x2+bx+c'；
（1）求A喷头喷出的水流的最大高度；
（2）一名游人站在点D处，OD＝4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据A喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出y的最大值即可；
（2）根据B喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令x＝4，通过计算y的值即可判断．
【解答】解：根据题意，令x＝0，易得c＝1，c'＝2；
令x＝3，y＝﹣x2+bx+c＝﹣3+3b+1＝0，可求得b＝；
因此，A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y＝﹣x2+x+1和y＝﹣x2+x+2；
（1）函数y＝﹣x2+x+1的对称轴为x＝1，此时y＝，
因此，A喷头喷出的水流的最大高度为m；
（2）函数y＝﹣x2+x+2，令x＝4，y＝﹣×42+×4+2＝﹣，
因此，B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．
21．（16分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点P，使△PAD周长最小，求P点坐标；
（3）Q为直线BD下方抛物线上一点，求△BDQ面积的最大值；
（4）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是以AD边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）点P（﹣1，﹣2）；
（3）；
（4）M（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣6）．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接AC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，即可求解；
（3）由△BDQ面积＝HQ×（xB﹣xD）＝×（﹣x2﹣x+2）＝﹣（x+）2+≤，即可求解；
（4）当AD＝AM时，则10＝m2+4，则m＝±，即可求解；当AD＝MD时，同理可解．
【解答】解：（1）由点C、D的坐标知，C、D关于抛物线对称轴对称，
则抛物线的对称轴为直线x＝（﹣2+0）＝﹣1，则点B（1，0），
则抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接AC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，
理由：△PAD周长＝AD+PA+PD＝AD+PA+PC＝AD+AC为最小，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣2，即点P（﹣1，﹣2）；
（3）过点Q作QH∥y轴交BD于点H，
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝x﹣1，
设点H（x，x﹣1），则点Q（x，x2+2x﹣3），
则HQ＝﹣x2﹣x+2，
则△BDQ面积＝HQ×（xB﹣xD）＝×（﹣x2﹣x+2）＝﹣（x+）2+≤，
即△BDQ面积的最大值为；
（4）设点M（﹣1，m），
由点A、M、D的坐标得，AD2＝10，AM2＝m2+4，MD2＝1+（m+3）2，
当AD＝AM时，则10＝m2+4，则m＝±，
即点M（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
当AD＝MD时，
同理可得：m2+4＝1+（m+3）2，
解得：m＝﹣6，
即点M（﹣1，﹣6），
综上，M（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣6）．
22．（14分）在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，可以将这个图形转换到另一个位置，从而易于解题．请你阅读学习这种旋转变换方法，并运用其解答问题：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AE⊥BC于E，求证：AE＝EC；
证明：∵AB＝AD，可将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE′，如图2，请你利用图2完成第（1）题；
（2）根据第（1）题的数学活动经验，尝试用旋转变换解答下面的问题；
①如图3，在直角△ABC中，D为斜边AB上一点，AD＝2，BD＝1，四边形DECF是正方形，设△ADE和△BDF的面积分别为S1，S2，求S1+S2的值；
②如图4，已知：∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∠APB＝∠BPC＝∠APC，求PA+PB+PC的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如图2，易得△ABE≌△ADE'，证明∠ADE'+∠ADC＝180°，即C，D，E'在同一条直线上，根据有三个角相等的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形得：四边形AECE'为正方形，则AE＝EC；
（2）①如图3，将△BDF绕点D逆时针旋转90°，得△DEF'全等后面积相等，得S1+S2＝S△ADF'，根据面积公式可得S△ADF'＝1，从而得结论；
②以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60度，得到△ANM，连接BN，PM，易得△ABP≌△ANM，△APM，△ABN均为等边三角形，则C，P，M，N在一条直线上，根据勾股定理求得CN的长，则CP+PB+PA＝CN．
【解答】（1）证明：如图2，易得△ABE≌△ADE'，
∴∠E'＝∠AEB＝90°，∠ADE'＝∠B，∠E'AD＝∠BAE，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADE'+∠ADC＝180°，即C，D，E'在同一条直线上，
∵∠AEC＝∠C＝∠E'＝90°，AE'＝AE，
∴四边形AECE'为正方形，
∴AE＝EC；
（2）解：①如图3，将△BDF绕点D逆时针旋转90°，得△DEF'，
易得△DEF'≌△DFB，
∴S1+S2＝S△ADF'，
∵DF'＝BD＝1，S△ADF'＝AD•DF'＝×2×1＝1，
∴S1+S2＝1；
②如图4，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60度，得到△ANM，连接BN，PM，易得△ABP≌△ANM，
∴△APM，△ABN均为等边三角形，
∵∠BAC＝60°，AC＝1，
∴PA＝PM，AN＝AB＝BN＝2，BC＝，
∵∠ABN＝60°，
∴∠CBN＝90°，
∵∠APB＝∠BPC＝∠APC，
∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°，
∠APM＝∠AMP＝60°，
∴C，P，M，N在一条直线上，
∵PA＝PM，PB＝MN，CP+PB+PA＝CN，
在直角△BCN中，CN＝＝，
∴PA+PB+PC的值为．