2024-2025学年广东省广州市华美英语实验学校高一（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年广东省广州市华美英语实验学校高一（上）期中数学试卷，共36页。

A．{3，9}B．{1，2，3}C．{1，2，4，7}D．{1，2，4，7，9}
2．（5分）设x∈R，则“x＞2”是“x（x﹣1）＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．与y＝x+3
B．与y＝x﹣1
C．与y＝|x|
D．与
4．（5分）已知函数y＝x2﹣mx﹣3在区间[0，1]上是单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．[0，2]B．（0，2）
C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
5．（5分）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（5分）设a＝0.60.3，b＝0.30.6，c＝0.30.3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜b＜a
7．（5分）为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
若某户居民一年的燃气用量为500m3，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（ ）
A．1600元B．1680元C．1800元D．2250元
8．（5分）函数的最小值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．3D．5
二.多选题（共3小题）
（多选）9．（6分）下列命题为假命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，c≠0，则
B．若a＜b＜0，则a2＞b2＞ab
C．“x＞1”的一个必要不充分条件是“x＞2”
D．若a＞b＞0，m＜0，则
（多选）10．（6分）下列关于幂函数的说法正确的有（ ）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．f（x）为偶函数
D．不等式f（x）＞1的解集为（0，1）
（多选）11．（6分）已知a＞0，b＞0且a+b＝2，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a2+b2的最小值为2
B．的最小值为
C．ab的最大值为1
D．的最大值为2
三.填空题（共3小题）
12．（5分）函数y＝ax+1+3（a＞0且a≠1）的图像过定点 ．
13．（5分）函数的定义域为 ．
14．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝x﹣x2，则f（3）＝ ，当x∈（0，+∞） 时f（x）＝ ．
四.解答题（共小题）
15．（13分）求值：
（1）；
（2）．
16．（15分）（1）当x＞5时，求的最小值；
（2）若x＞0，y＞0，且，求：x+y的最小值．
17．（15分）（1）解一元二次不等式：x2+2x﹣15＞0；
（2）已知不等式mx2﹣mx+2＞0，当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
18．（17分）设集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．
（1）当m＝3时，求A∩B与A∪B；
（2）当B⊆A时，求实数m的取值范围．
19．（17分）已知函数为定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式f（f（x））+f（t）＜0有解，求t的取值范围．
2024-2025学年广东省广州市华美英语实验学校高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题）
1．（5分）已知集合M＝{1，3，7，9}，N＝{2，3，4，9}，则M∩N＝（ ）
A．{3，9}B．{1，2，3}C．{1，2，4，7}D．{1，2，4，7，9}
【考点】求集合的交集．
【答案】A
【分析】由交集概念即可求解．
【解答】解：N＝{2，3，4，9}，M＝{1，3，7，9}，
则M∩N＝{3，9}．
故选：A．
【点评】本题主要考查交集的定义，属于基础题．
2．（5分）设x∈R，则“x＞2”是“x（x﹣1）＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分不必要条件的判断．
【答案】A
【分析】先将不等式化简，然后判断充分性和必要性即可．
【解答】解：由不等式x（x﹣1）＞0得，x＞1或x＜0，
由x＞2能推出x＞1或x＜0，但由x＞1或x＜0不能推出x＞2，
所以“x＞2”是“x（x﹣1）＞0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分条件，必要条件的定义，属于基础题．
3．（5分）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．与y＝x+3
B．与y＝x﹣1
C．与y＝|x|
D．与
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【答案】C
【分析】利用相同函数的定义，逐项分析判断即得．
【解答】解：对于A，定义域为分别为（﹣∞，3）∪（3，+∞），R，定义域不同，不是同一函数；
对于B，前者函数化为y＝|x|﹣1与y＝x﹣1，函数关系不同，不是同一函数；
对于C，前者函数化为y＝|x|与后者为同一函数；
对于D，前者函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），后者函数定义域为R，不是同一函数．
故选：C．
【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．
4．（5分）已知函数y＝x2﹣mx﹣3在区间[0，1]上是单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．[0，2]B．（0，2）
C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；二次函数的单调性与单调区间．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式求解即可．
【解答】解：因为函数y＝x2﹣mx﹣3的图象对称轴为，开口向上，
所以函数在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
又因为函数y＝x2﹣mx﹣3在区间[0，1]上是单调函数，
所以或，解得m≤0或m≥2，
所以实数m的取值范围是（﹣∞，0]∪[2，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质及分类讨论思想，属于基础题．
5．（5分）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】Venn图表集合的包含关系．
【答案】D
【分析】设同时参加了3个小组的人数为x，然后结合题意用维恩图求解即可．
【解答】解：学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，
已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，
只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，
如图，设同时参加了3个小组的人数为x，则13﹣x+11﹣x+12﹣x+2+4+4+x＝30，
解得x＝8，即同时参加了3个小组的人数为8．
故选：D．
【点评】本题主要考查维恩图的应用，考查计算能力，属于基础题．
6．（5分）设a＝0.60.3，b＝0.30.6，c＝0.30.3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜b＜a
【考点】指数函数的单调性与最值．
【答案】C
【分析】利用幂函数y＝x0.3在（0，+∞）上单调递增，比较出a，c的大小，再利用指数函数y＝0.3x在R上单调递减，比较出b，c的大小，从而得到a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵幂函数y＝x0.3在（0，+∞）上单调递增，且0.6＞0.3，
∴0.60.3＞0.30.3，即a＞c，
∵指数函数y＝0.3x在R上单调递减，且0.6＞0.3，
∴0.30.6＜0.30.3，即b＜c，
∴b＜c＜a，
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂函数和指数函数的性质，是基础题．
7．（5分）为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
若某户居民一年的燃气用量为500m3，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（ ）
A．1600元B．1680元C．1800元D．2250元
【考点】分段函数的应用；根据实际问题选择函数类型．
【答案】B
【分析】直接分段计算，然后相加即可得解．
【解答】解：由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为：
3.2×300+3.6×（500﹣300）＝960+720＝1680（元）．
故选：B．
【点评】本题考查了分段函数求值问题，是基础题．
8．（5分）函数的最小值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．3D．5
【考点】函数的最值．
【答案】B
【分析】根据函数解析式直接得出答案．
【解答】解：当x＜﹣2时，f（x）＝2x﹣1为增函数，且，此时无最小值；
当x≥﹣2时，f（x）＝x2﹣2在[﹣2，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，此时最小值为f（0）＝﹣2；
综上，函数f（x）的最小值为﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．
二.多选题（共3小题）
（多选）9．（6分）下列命题为假命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，c≠0，则
B．若a＜b＜0，则a2＞b2＞ab
C．“x＞1”的一个必要不充分条件是“x＞2”
D．若a＞b＞0，m＜0，则
【考点】全称量词命题的真假判断；充要条件的判断．
【答案】BCD
【分析】举出反例检验选项A，C，D，结合不等式性质检验选项B即可．
【解答】解：A，当c≠0时，c2＞0，
由a＞b＞0可得，，选项A正确；
若a＜b＜0，a＝﹣3，b＝﹣2时，B显然错误；
x＞2是x＞1的充分不必要条件，C错误；
若a＞b＞0，m＜0，当a＝2，b＝1，m＝﹣3时，＝＝2，D错误．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了命题真假的判断，属于基础题．
（多选）10．（6分）下列关于幂函数的说法正确的有（ ）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．f（x）为偶函数
D．不等式f（x）＞1的解集为（0，1）
【考点】幂函数的定义域；幂函数的值域；求解幂函数的奇偶性．
【答案】BD
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，以及性质，即可求解．
【解答】解：幂函数＝，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故A错误，
f（x）的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故B正确；
函数f（x）的定义域关于原点对称，
f（﹣x）＝，
所以f（x）为奇函数，故C错误；
f（x）＞1，
则，解得0＜x＜1，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查幂函数的应用，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知a＞0，b＞0且a+b＝2，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a2+b2的最小值为2
B．的最小值为
C．ab的最大值为1
D．的最大值为2
【考点】运用基本不等式求最值．
【答案】ACD
【分析】配方后使用基本不等式可判断A；利用常数代换可判断B；直接使用基本不等式可判断C；先利用基本不等式求的最大值，然后可判断D．
【解答】解：a＞0，b＞0且a+b＝2，
对A，，
当且仅当a＝b＝1时等号成立，A正确；
对B，，
当且仅当且a+b＝1，即时等号成立，B错误；
对C，，当且仅当a＝b＝1时等号成立，C正确；
对D，，当且仅当a＝b＝1时等号成立，
所以，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
三.填空题（共3小题）
12．（5分）函数y＝ax+1+3（a＞0且a≠1）的图像过定点 （﹣1，4） ．
【考点】指数函数的单调性与最值；指数函数的图象．
【答案】（﹣1，4）．
【分析】由题意，令指数等于零，求出x、y的值，可得结论．
【解答】解：对于函数y＝ax+1+3（a＞0且a≠1），令x+1＝0，求得x＝﹣1，y＝4，
可得它的图像过定点（﹣1，4）．
故答案为：（﹣1，4）．
【点评】本题主要考查指数函数的图像经过定点问题，属于基础题．
13．（5分）函数的定义域为 （﹣3，1） ．
【考点】求对数函数的定义域．
【答案】（﹣3，1）．
【分析】由题意，根据分式、偶次根式、对数的性质，求出x的范围．
【解答】解：对于函数，应有，求得﹣3＜x＜1，
可得函数的定义域为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
【点评】本题主要考查分式、偶次根式、对数的性质，属于基础题．
14．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝x﹣x2，则f（3）＝ 12 ，当x∈（0，+∞） 时f（x）＝ x+x2 ．
【考点】奇函数偶函数的性质；函数的值．
【答案】12，x+x2．
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（3）的值，结合函数的奇偶性计算可得答案．
【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝x﹣x2，
则f（﹣3）＝﹣3﹣（﹣3）2＝﹣12＝﹣f（3），
故f（3）＝12；
当x∈（0，+∞）时，﹣x∈（﹣∞，0），
此时f（﹣x）＝（﹣x）﹣（﹣x）2＝﹣x﹣x2，又f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）＝x+x2．
故答案为：12，x+x2．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
四.解答题（共小题）
15．（13分）求值：
（1）；
（2）．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式．
【答案】（1）﹣；
（2）．
【分析】（1）利用指数运算公式，即可解出；
（2）利用对数运算公式，即可解出．
【解答】解：（1）原式＝﹣+1﹣＝﹣2+1﹣4＝﹣；
（2）原式＝﹣lg22+lg（4×）+2＝+1+2＝．
【点评】本题考查指数运算公式，对数运算公式，学生的数学运算能力，属于基础题．
16．（15分）（1）当x＞5时，求的最小值；
（2）若x＞0，y＞0，且，求：x+y的最小值．
【考点】运用基本不等式求最值．
【答案】（1）2+5；
（2）18．
【分析】（1）由已知结合基本不等式即可求解；
（2）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）当x＞5时，＝x﹣5++5+5＝2+5，
当且仅当x﹣5＝，即x＝5+时取等号，
故f（x）的最小值为2+5；
（2）若x＞0，y＞0，且，
则x+y＝（x+y）（）＝10+＝18，
当且仅当y＝2x，即x＝6，y＝12时取等号，
所以x+y的最小值为18．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
17．（15分）（1）解一元二次不等式：x2+2x﹣15＞0；
（2）已知不等式mx2﹣mx+2＞0，当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】一元二次不等式恒成立问题；解一元二次不等式．
【答案】（1）{x|x＞3或x＜﹣5}；
（2）{m|0≤m＜8}．
【分析】（1）结合二次不等式的求法即可求解；
（2）由已知不等式恒成立，结合函数性质对m的范围进行分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）因为x2+2x﹣15＝（x+5）（x﹣3）＞0，
所以x＞3或x＜﹣5，
故不等式的解集为{x|x＞3或x＜﹣5}；
（2）①m＝0时，2＞0恒成立；
②m≠0时，不等式恒成立，即二次函数y＝mx2﹣mx+2的图象恒在x轴上方，
故，解得0＜m＜8，
综上知m的取值范围是{m|0≤m＜8}．
【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了由二次不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
18．（17分）设集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．
（1）当m＝3时，求A∩B与A∪B；
（2）当B⊆A时，求实数m的取值范围．
【考点】判断两个集合的包含关系；求集合的交集．
【答案】（1）A∩B＝{x|2＜x≤5}，A∪B＝{x|﹣2≤x＜7}；
（2）{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．
【分析】（1）求出集合A，当m＝3时，写出集合B，利用交集和并集的定义可得出集合A∩B、A∪B；
（2）分B＝∅、B≠∅两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数m的不等式（组），综合可得出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）A＝{x|﹣1≤x+1≤6}＝{x|﹣2≤x≤5}，
当m＝3时，B＝{x|2＜x＜7}，
所以A∩B＝{x|2＜x≤5}，A∪B＝{x|﹣2≤x＜7}；
（2）因为B⊆A，分以下两种情况讨论：
当B＝∅时，m﹣1≥2m+1，
解得m≤﹣2，
当B≠∅时，由B⊆A可得，
解得﹣1≤m≤2，
综上所述，实数m的取值范围是{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
19．（17分）已知函数为定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式f（f（x））+f（t）＜0有解，求t的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的奇偶性．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由已知得f（﹣x）＝﹣f（x），代入即可求解a；
（2）先设x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；
（3）由f（f（x））+f（t）＜0有解即f（f（x））＜﹣f（t）有解，由f（x）的奇偶性可知进一步等价于f（f（x））＜f（﹣t）有解，由f（x）的单调性可知进一步等价于f（x）＜﹣t有解，即关于x的不等式有解．转化为求解函数的最值，结合单调性可求．
【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
所以，所以且1+2x＞0，
所以a﹣2x＝1﹣a•2x，所以a（1+2x）＝（1+2x），所以a＝1；
（2）f（x）在R上单调递增，证明如下：
由条件知，任取x1＜x2，
所以＝，
又因为x1＜x2，y＝2x在R上单调递增，所以且，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上单调递增；
（3）f（f（x））+f（t）＜0有解即f（f（x））＜﹣f（t）有解，
由f（x）的奇偶性可知进一步等价于f（f（x））＜f（﹣t）有解，
由f（x）的单调性可知进一步等价于f（x）＜﹣t有解，即关于x的不等式有解.，
因为2x+1∈（1，+∞），所以，，
所以的取值范围是（﹣1，1），所以﹣t＞﹣1，所以t＜1，
即t的取值范围是（﹣∞，1）．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，还考查了函数单调性的判断及利用奇偶性及单调性求解不等式问题，体现了转化思想的应用，属于中档题．
考点卡片
1．判断两个集合的包含关系
【知识点的认识】
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】
通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系．
已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，则（ ）
A．A＞B
B．B∈A
C．A⊆B
D．B⊆A
解：由题意可得，B⊆A．
故选：D．
2．Venn图表集合的包含关系
【知识点的认识】
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．
Venn图表示如下：
【解题方法点拨】
明确集合：了解每个集合的元素和定义．绘制圆圈：使用圆圈表示集合，每个集合一个圆圈．包含关系：一个集合完全包含于另一个集合，用一个圆圈完全包含另一个圆圈表示．
【命题方向】
下列表示集合M＝{x|x2﹣4＝0}和关系的Venn图中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：集合M＝{x|x2﹣4＝0}＝{﹣2，2}，＝{1，﹣1，2，﹣2}，
则M⊆N．
故选：D．
3．求集合的交集
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】
掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（ ）
解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．
故选：D．
4．充分不必要条件的判断
【知识点的认识】
充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．
【解题方法点拨】
要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件．
【命题方向】
充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等．
已知命题p：x2﹣4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x≤1
B．1＜x＜2
C．x≥3
D．2＜x＜3
解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，
则1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要条件．
故选：BD．
5．充要条件的判断
【知识点的认识】
充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的．
【解题方法点拨】
要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性．
【命题方向】
充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等．例如，矩形的对角线相等且互相平分是矩形的充要条件．
“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的一个充要条件是（ ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m≥2
D．m≥0
解：“方程 x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的充要条件为“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．
故选：A．
6．全称量词命题的真假判断
【知识点的认识】
全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀
应熟练掌握全称命题的判定方法
全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．
﹣
【解题方法点拨】判断全称量词命题的真假时，可以从反例入手，寻找一个使得命题不成立的例子．例如，要判断“所有奇数都是质数”是否为真，只需找到一个奇数不是质数（如9）即可证明该命题为假．
【命题方向】全称量词命题的真假判断常见于代数和几何性质的判定．例如，判断一个数列的全称性质是否成立，或判断几何图形的某个性质是否对所有相关对象成立．这类题型要求学生能够灵活应用定义和性质进行验证．
判断下列全称量词命题的真假：
（1）所有素数都是奇数；
（2）∀x∈R，|x|+1≥1；
（3）对任意一个无理数 x，x2也是无理数．
解：（1）2是素数，但2不是奇数，∴所有素数都是奇数是假命题；
（2）∀x∈R，总有|x|≥0，∴|x|+1≥1，
∴∀x∈R，|x|+1≥1是真命题；
（3）是无理数，但（）2＝2是有理数，
∴全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．
7．运用基本不等式求最值
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．
【解题方法点拨】
在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式 x+ 的最小值，可以利用均值不等式 从而得出最小值为 2，并且在 x＝1 时取到最小值．需要注意的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证．
【命题方向】
均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．
已知正数a，b满足a+b＝1，则的最大值是_____．
解：因为正数a，b满足a+b＝1，
所以a+1+b+1＝3，
则＝，
当且仅当a＝b＝时取等号．
故答案为：．
8．二次函数的单调性与单调区间
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
二次函数在顶点左右的区间上具有不同的单调性．对于 f（x）＝ax2+bx+c，顶点为 处，左侧单调递减，右侧单调递增（当 a＞0 时）．
【命题方向】
涉及二次函数单调区间的判断与证明题，结合实际应用问题解答．
判断函数y＝x2﹣2x，x∈[﹣2，2]的单调性，并求出它的单调区间．
解：二次函数y＝x2﹣2x，开口向上，对称轴x＝1，
所以x∈[﹣2，1]时，函数单调递减；
x∈（1，2]时，函数单调递增．
即函数的单调递增区间为（1，2]，单调递减区间为[﹣2，1）．
9．解一元二次不等式
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
【命题方向】
一元二次不等式ax2+bx+c＞0
﹣将不等式转化为 ax2+bx+c＝0 形式，求出根．
﹣根据根的位置，将数轴分为多个区间．
﹣在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．
﹣综合各区间的解，写出最终解集．
不等式x2﹣2x＞0的解集是（ ）
解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，
{x|x＜0或x＞2}
10．一元二次不等式恒成立问题
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
﹣将不等式转化为 ax2+bx+c≥0 或 ax2+bx+c≤0 形式．
﹣分析抛物线的开口方向和顶点位置．
﹣结合不等式恒成立的条件，确定参数范围．
【命题方向】
恒成立问题的题目多涉及参数范围的求解，重点考查不等式在整个定义域内成立的条件．
当1≤x≤3时，不等式x2﹣mx+4＞0恒成立，则实数m的取值范围为_____．
解：当1≤x≤3时，，
因此，当1≤x≤3时，不等式x2﹣mx+4＞0恒成立，即恒成立，
而当1≤x≤3时，，当且仅当，即x＝2时取等号，于是得m＜4，
所以实数m的取值范围为m＜4．
故答案为：{m|m＜4}．
11．判断两个函数是否为同一函数
【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．
【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．
【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少．
12．由函数的单调性求解函数或参数
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
13．函数的最值
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
14．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
15．奇函数偶函数的性质
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】
题目包括判断奇偶函数，分析其对称性及应用，结合实际问题解决奇偶函数相关的问题．
设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（3）＝_____．
解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，
则f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣[2×（﹣3）2﹣（﹣3）]＝﹣21．
故答案为：﹣21．
16．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1
【命题方向】
奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
17．函数的值
【知识点的认识】
函数的值是指在某一自变量取值下，函数对应的输出值．
【解题方法点拨】
﹣确定函数的解析式，代入自变量值，计算函数的值．
﹣验证计算结果的正确性，结合实际问题分析函数的值．
﹣利用函数的值分析其性质和应用．
【命题方向】题目包括计算函数的值，结合实际问题求解函数的值及其应用．
已知函数f（x）＝．求f（f（f（﹣）））的值；
解：，
，
，
故f（f（f（﹣）））＝．
18．幂函数的定义域
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，，﹣1时的图像与性质．
幂函数的定义域是指自变量x取值的范围，对于幂函数y＝xa，定义域与指数a的取值有关．
【解题方法点拨】
﹣当a为正整数时，定义域为全体实数，即x∈（﹣∞，+∞）．
﹣当a为负整数时，定义域为x≠0的全体实数，即x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
﹣当a为分数时，若分母为偶数，则定义域为x≥0；若分母为奇数，则定义域为x∈（﹣∞，+∞）．
【命题方向】
常见题型包括直接求解幂函数的定义域，结合具体题目条件分析定义域．
19．幂函数的值域
【知识点的认识】
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
20．求解幂函数的奇偶性
【知识点的认识】
幂函数的奇偶性反映了函数的对称性，幂函数的奇偶性与指数a有关．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝； （5）y＝x﹣1
﹣
【解题方法点拨】
﹣若f（﹣x）＝f（x），则幂函数为偶函数，幂指数n为偶数．
﹣若f（﹣x）＝﹣f（x），则幂函数为奇函数，幂指数n为奇数．
﹣分析函数的解析式，确定其奇偶性．
【命题方向】
题目通常涉及求解幂函数的奇偶性，结合解析式和图象分析．
已知幂函数是偶函数，则m＝_____．
解：因为为幂函数，
所以，
解得或m＝﹣2．
当m＝﹣2时，f（x）＝x﹣2是偶函数；
当时，既不是奇函数也不是偶函数．
综上知，m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
21．有理数指数幂及根式
【知识点的认识】
根式与分数指数幂
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
有理数指数幂
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．
【解题方法点拨】
例1：下列计算正确的是（ ）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a•{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\rt{4}{{a}^{3}}$，
∴B不正确；
∵$\rt{4}{（﹣3）^{4}}＝\rt{4}{{3}^{4}}＝3$，
∴C正确；
∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（ ）
A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$ B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
22．指数函数的图象
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称．
【解题方法点拨】
利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
23．指数函数的单调性与最值
【知识点的认识】
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
24．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②lgaaN＝N（a＞0且a≠1）．
lga（MN）＝lgaM+lgaN； lga＝lgaM﹣lgaN；
lgaMn＝nlgaM； lga＝lgaM．
25．求对数函数的定义域
【知识点的认识】
对数函数的定义域是使对数有意义的自变量取值范围，对于y＝lgax，定义域为x＞0．
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的形式，确定自变量x的取值范围．
﹣确保对数运算中底数a满足a＞0且a≠1．
﹣验证定义域的准确性．
【命题方向】
常见题型包括直接求解对数函数的定义域、结合具体题目条件分析定义域．
函数y＝lg（x﹣1）的定义域为_____．
解：∵x﹣1＞0，
∴x＞1，
（1，+∞）
26．分段函数的应用
【知识点的认识】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【解题方法点拨】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【命题方向】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
27．根据实际问题选择函数类型
【知识点的认识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlg ax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
【命题方向】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+lg7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+lg7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+lg71000＝4﹣lg7＜5，且l+lg7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
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每户每年燃气用量
燃气价格
不超过300m3
3.2元/m3
超过300m3但不超过600m3的部分
3.6元/m3
超过600m3的部分
4.5元/m3
每户每年燃气用量
燃气价格
不超过300m3
3.2元/m3
超过300m3但不超过600m3的部分
3.6元/m3
超过600m3的部分
4.5元/m3
命题
全称命题∀x∈M，p（x）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x﹣1
定义域
R
R
R
[0，+∞）
{x|x≠0}
值域
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，+∞）时，增
x∈（﹣∞，0]时，减
增
增
x∈（0，+∞）时，减
x∈（﹣∞，0）时，减
公共点
（1，1）（0，0）
（1，1）（0，0）
（1，1）（0，0）
（1，1）（0，0）
（1，1）
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象


定义域
R
值域
（0，+∞）
性质
过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数