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【高考数学】一轮复习：精讲精练（题型·分层练·新高考）2025版《新结构》第01讲 函数的概念及其表示（知识+真题+5类高频考点) ( 精讲）
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这是一份【高考数学】一轮复习：精讲精练（题型·分层练·新高考）2025版《新结构》第01讲 函数的概念及其表示（知识+真题+5类高频考点) ( 精讲），文件包含第01讲函数的概念及其表示知识+真题+5类高频考点精讲原卷版docx、第01讲函数的概念及其表示知识+真题+5类高频考点精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
1、函数的概念
设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4)的定义域是.
(5)(且)，，的定义域均为.
(6)(且)的定义域为.
(7)的定义域为.
5.2函数求值域
（1）分离常数法：
将形如()的函数分离常数，变形过程为：
，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
（2）换元法：
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
2．（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的概念
典型例题
例题1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中学校考阶段练习）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数定义作出判断.
【详解】根据函数定义，在定义域内，对于任意的，只能有唯一确定的与其对应，ABC满足要求，
D选项，在定义域内对于，有两个确定的与其对应，D错误.
故选：D
例题2．（2024上·四川泸州·高一统考期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用函数的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，A不是；
对于B，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，B不是；
对于C，集合中的每个元素按对应关系，在集合中都有唯一元素与之对应，C是；
对于D，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，D不是.
故选：C
练透核心考点
1．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（ ）
A．B．0C．3D．4
【答案】D
【分析】观察函数图象得，再利用数表求解即得.
【详解】观察函数的图象，得，由数表得，
所以.
故选：D
2．（多选）（2024上·陕西安康·高一校考期末）下列各图中，是函数图象的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】根据函数的定义，对于定义域内的每一个值都有唯一的一个值与之对应，
可看出BD满足.
故选：BD
高频考点二：函数定义域
角度1：具体函数的定义域
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数的定义域为（ ）
A．且B．C．D．
【答案】C
【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.
【详解】由题得，解得，即函数的定义域为.
故选：
例题2．（2024上·北京东城·高三统考期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据分式的分母不为，对数的真数大于求解即可.
【详解】，
解得且，
函数的定义域为.
故答案为：.
角度2：抽象函数定义域
典型例题
例题1．（2024上·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数的定义域可得满足，结合根式的意义即可求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以满足，即，
又，即，
所以，解得.
所以函数的定义域为.
故选：D.
例题2．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可.
【详解】设，依题意可得，解得，所以，
所以的定义域为，值域为，且，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域是.
故选：B
角度3：已知定义域求参数
典型例题
例题1．（2024上·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答.
【详解】依题意，，不等式恒成立，
当时，恒成立，则，
当时，有，解得，则，因此
所以的取值范围是
例题2．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的值为 ．
【答案】
【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值．
【详解】由题意的解是，
所以，解得，，所以．
故答案为：．
练透核心考点
1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】根据题意可得，解得且．
故选：C
.
故选：C
2．（2024上·山西长治·高一校联考期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据根号下部分大于等于0建立不等式求解即可.
【详解】令，则或，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：
3．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意转化为在恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，即在恒成立，
结合一元二次方程的性质，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
4．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】函数定义域满足，根据解集结合根与系数的关系解得答案.
【详解】的定义域满足：，解集为，
故且，解得.
故答案为：
高频考点三：函数解析式
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知，则函数 ，= ．
【答案】 11
【分析】利用换元法可求出，进一步可得.
【详解】令，则，
所以，所以，
所以.
故答案为：；.
例题2．（2024上·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校联考期末）已知（a，b均为常数），且．
(1)求函数的解析式；
【答案】(1)
【分析】（1）由，代入函数解析式求出，得函数的解析式；
【详解】（1）由，得，即，
由，
可得解得
所以
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据换元法求函数解析式.
【详解】令，可得.
所以，
因此的解析式为.
故选：D.
例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知，求的解析式.
【答案】
【分析】令，则，代入函数解析式可得解.
【详解】由，令，则，
所以，
所以.
【点睛】本题主要考查了已知的解析式求解析式的求解，解题的关键是换元法，但是需要主要定义域的变化，属于基础题
角度3：待定系数法
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数是一次函数，且，则（ ）
A．11B．9C．7D．5
【答案】A
【分析】设，根据恒成立可得a，b，然后可解.
【详解】设，
则，
整理得，
所以，解，
所以，所以.
故选：A
例题2．（2024·江苏·高一专题练习）设二次函数满足，且，求的解析式.
【答案】
【分析】根据题意设，由求出c，由可求得，即可得答案.
【详解】设二次函数为，
因为，所以，所以，
又因为，
即，
所以，解得：，
所以函数解析式为.
角度4：方程组消去法
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知满足，则解析式为 ．
【答案】
【分析】用代得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式.
【详解】由 ①
用代可得， ②
由①②可得：
故答案为：
例题2．（2024·江苏·高一专题练习）已知，求函数的解析式．
【答案】
【分析】通过构造方程组的方法来求得的解析式.
【详解】①，
以替换，得②，
得：，
所以.
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
2．（2024·江苏·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法直接求解即可.
【详解】令，，则，，
所以，
所以的解析式为：
故选：B.
3．（2024·全国·高三专题练习）若函数满足方程且，则：
（1） ；（2） ．
【答案】
【分析】令可得；用替换，再解方程组可得答案.
【详解】令可得：，所以；
由①得，②，
联立①②可得：.
故答案为：①；②.
4．（2024·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，则 .
【答案】
【解析】由题意利用方程思想求得函数的解析式即可.
【详解】因为，
所以，
同除以2得，
两式相加可得，即.
故答案为：.
【点睛】求函数解析式常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
5．（2024·江苏·高一专题练习）求下列函数的解析式
(1)设函数是一次函数，且满足，求的解析式
(2)设满足，求的解析式
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）利用消元法求函数解析式.
【详解】（1）设一次函数的解析式为，
则，
所以，解得，或，
所以或.
（2）由①，
得②，
①②得，
即.
6．（2024·江苏·高一专题练习）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设出，根据题目条件得到方程组，求出，，得到函数解析式；
（2）换元法求出函数解析式，注意自变量取值范围.
【详解】（1）由题意，设函数为，
，
，
即，由恒等式性质，得，
，，
所求函数解析式为
（2）令，则，，
因为，所以，
所以.
高频考点四：分段函数
角度1：分段函数求值
典型例题
例题1．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）已知函数，，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【分析】由题意首先将代入得的值，进一步将代入即可求解.
【详解】由题意，解得，
所以.
故选：C.
例题2．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知函数，则 ．
【答案】
【分析】由，从而可求解.
【详解】由题意知当，，则，
所以.
故答案为：.
角度2：已知分段函数的值求参数
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数且，则（ ）
A．-16B．16C．26D．27
【答案】C
【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，，
所以，
故选：C
例题2．（2024上·江苏常州·高三统考期末）已知函数若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】利用分段函数求解即可.
【详解】，，．
故答案为：
角度3：分段函数求值域（最值）
典型例题
例题1．（2024上·河南南阳·高一校联考期末）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法一，根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域；
【详解】法一：因为且，
所以当时，，当时，；
当时，，
所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.
法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.
故选：D
例题2．（2024上·四川达州·高一统考期末）已知函数，则的最大值是（ ）
A．60B．58C．56D．52
【答案】C
【分析】分和两种情况讨论，结合二次函数和反比例函数的性质即可得解.
【详解】当时，，
此时，
当时，在上单调递减，
此时，
综上所述，.
故选：C.
练透核心考点
1．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知，，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先得到，再作出其图象求解.
【详解】解：由题意得：，
其图象，如图所示：
由图象知：函数y的值域为，
故选：A
2．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.
【详解】函数，则，
所以.
故选：A
3．（多选）（2024上·山东济宁·高一统考期末）已知，若，则所有可能的值是（ ）
A．－1B．C．1D．
【答案】BD
【分析】利用函数的解析式，结合指数、对数运算可求得结果.
【详解】由已知可得
或或，
解得，或.
故选：BD
4．（2024·全国·模拟预测）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得.
【详解】当时，，
当时，，
所以的值域为．
故答案为：.
高频考点五：函数的值域
角度1：二次函数求值域
典型例题
例题1．（2024上·上海·高一校考期末）函数，的最小值是 .
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为的图象开口向上，对称轴为，
又，所以的最小值是.
故答案为：.
例题2．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）已知二次函数满足．
(1)求的解析式．
(2)求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，则，利用换元法代入可求得的解析式；
（2）由（1）可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案.
【详解】（1）令，则，
，∴.
（2）因为，
所以的图象对称轴为，在上递减，在上递增，
∴，，
即的值域为.
角度2：分式型函数求值域
典型例题
例题1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域.
【详解】，
而由函数向右平移3个单位得到，
所以得值域和的值域相同，都为，
所以得值域为，
故选：B
例题2．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）函数的值域是 ．
【答案】
【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案.
【详解】由题意可知，函数，
由，，或，则或，
即函数值域为.
故答案为：
角度3：根式型函数求值域
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域.
【详解】令，，则，
所以函数，函数在上单调递增，
时，有最小值，
所以函数的值域为.
故选：C
例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函数.
(1)求的解析式；
(2)求的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）换元法求解析式；
（2）求复合函数的值域，先由内层二次函数配方法求值域，再由幂函数的性质可得函数值域.
【详解】（1）令，则，
所以，
故.
（2）由（1）知，
设，图象开口向上，
由，
，的值域为，
令，则的值域即函数的值域，
由函数在单调递增，则，的值域为.
故的值域为.
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得.
【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数．
所以或，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A．
例题2．（2024·上海·高一假期作业）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分类讨论，在时由可得．
【详解】时，不合题意，
因此且，∴，
故答案为：．
例题3．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围.
【详解】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，
故答案为：.
练透核心考点
1．（2024上·广东广州·高二广东实验中学校联考期末）函数的最大值是（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】设，根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解.
【详解】由，解得，故的定义域为.
设，
则，
其中，，
∵，则，
∴当，即时，
取最大值，即函数的最大值是.
故选：B.
2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B
3．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为 ．
【答案】
【分析】根据题意，将变形，分析其取值范围，结合取整函数定义，分析得到答案.
【详解】根据题意，设，
则，
当时，，所以，即，所以，此时的取值为1；
当时，，所以，即，所以，此时的取值为；
综上，的值域为，
故答案为：.
4．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域是或，则此函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用反函数,可将原函数化为,(其中或),求出的值域即得的定义域.
【详解】，其中或，
当时,是减函数,此时，
当时,是减函数,此时，
∴函数的定义域为.
故答案为：.
5．（2024·全国·高三专题练习）求函数的值域为 .
【答案】
【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域.
【详解】令，则，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为，
，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值，
所以函数值域为.
故答案为：
6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则常数 ．
【答案】7或
【详解】因为，所以，
，即，
因为函数的值域为，
所以是方程的两个根，
所以，，
解得或，所以7或.
故答案为：7或.
7．（2024·江苏·高一假期作业）求下列函数的值域.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法结合单调性求二次函数的值域；
（2）利用分式的性质，结合基本不等式的应用进行求解．
【详解】（1）,函数的定义域为,在上单调递增，在上单调递减，
,又因为,所以.
所以函数的值域为
（2）,
当且仅当取等号,函数的值域为.
第四部分：典型易错题型
备注：求函数解析式容易忽略定义域
1．（2023上·广东佛山·高一校考期中）已知函数，则函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】利用换元法求函数解析式即可.
【详解】函数，
设，则，且，
所以，，
则．
故答案为：．
2．（2023上·江苏盐城·高一校考期中）若函数，则 ．
【答案】（）
【分析】根据函数解析式利用换元法求解即可.
【详解】函数，令，则，所以
则函数化为
所以（）.
故答案为：（）.
备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“”的取值范围叫定义域
1．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据条件先求解出的定义域，然后结合分式分母不、对数的真数大于列出关于的不等式组，由此求解出的定义域.
【详解】依题意，函数的定义域为，
所以，即函数的定义域为，
所以在函数中有，解得，
所以的定义域为，
故选：A.
2．（2023上·江西赣州·高一江西省信丰中学校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解.
【详解】由题意得函数的定义域是，
令，所以，即，解得，
由，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数的定义域为，若存在实数，使得，都满足，则称函数为“三倍函数”.
(1)判断函数是否为“三倍函数”，并说明理由；
(2)若函数，为“三倍函数”，求的取值范围.
【答案】(1)不是“三倍函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）假设是“三倍函数”，得到，从而得以判断；
（2）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，分析可得，从而得解.
【详解】（1）不是“三倍函数”，理由如下：
因为，，
假设是“三倍函数”，
则存在实数，使得，都满足，
即，即，
因为的值域为，的值域为，不满足条件，
故函数不是“三倍函数”.
（2）因为，为“三倍函数”，
所以存在，，都，有，
即，
当时，的值域是，
则在的值域包含，
当时，，则，
若，即，则，，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不满足题意；
于是，即，，
要使在的值域包含，
则在的最小值至少要小于等于，
又时，在上单调递减且，
故有，解得，
此时取，的值域是，
而，，故在的值域包含，满足题意；
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，从而得解.解析法（最常用）
图象法（解题助手）
列表法
就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.
就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.
就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
1
2
3
4
3
1、函数的概念
设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4)的定义域是.
(5)(且)，，的定义域均为.
(6)(且)的定义域为.
(7)的定义域为.
5.2函数求值域
（1）分离常数法：
将形如()的函数分离常数，变形过程为：
，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
（2）换元法：
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
2．（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的概念
典型例题
例题1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中学校考阶段练习）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数定义作出判断.
【详解】根据函数定义，在定义域内，对于任意的，只能有唯一确定的与其对应，ABC满足要求，
D选项，在定义域内对于，有两个确定的与其对应，D错误.
故选：D
例题2．（2024上·四川泸州·高一统考期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用函数的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，A不是；
对于B，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，B不是；
对于C，集合中的每个元素按对应关系，在集合中都有唯一元素与之对应，C是；
对于D，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，D不是.
故选：C
练透核心考点
1．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（ ）
A．B．0C．3D．4
【答案】D
【分析】观察函数图象得，再利用数表求解即得.
【详解】观察函数的图象，得，由数表得，
所以.
故选：D
2．（多选）（2024上·陕西安康·高一校考期末）下列各图中，是函数图象的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】根据函数的定义，对于定义域内的每一个值都有唯一的一个值与之对应，
可看出BD满足.
故选：BD
高频考点二：函数定义域
角度1：具体函数的定义域
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数的定义域为（ ）
A．且B．C．D．
【答案】C
【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.
【详解】由题得，解得，即函数的定义域为.
故选：
例题2．（2024上·北京东城·高三统考期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据分式的分母不为，对数的真数大于求解即可.
【详解】，
解得且，
函数的定义域为.
故答案为：.
角度2：抽象函数定义域
典型例题
例题1．（2024上·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数的定义域可得满足，结合根式的意义即可求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以满足，即，
又，即，
所以，解得.
所以函数的定义域为.
故选：D.
例题2．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可.
【详解】设，依题意可得，解得，所以，
所以的定义域为，值域为，且，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域是.
故选：B
角度3：已知定义域求参数
典型例题
例题1．（2024上·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答.
【详解】依题意，，不等式恒成立，
当时，恒成立，则，
当时，有，解得，则，因此
所以的取值范围是
例题2．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的值为 ．
【答案】
【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值．
【详解】由题意的解是，
所以，解得，，所以．
故答案为：．
练透核心考点
1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】根据题意可得，解得且．
故选：C
.
故选：C
2．（2024上·山西长治·高一校联考期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据根号下部分大于等于0建立不等式求解即可.
【详解】令，则或，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：
3．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意转化为在恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，即在恒成立，
结合一元二次方程的性质，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
4．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】函数定义域满足，根据解集结合根与系数的关系解得答案.
【详解】的定义域满足：，解集为，
故且，解得.
故答案为：
高频考点三：函数解析式
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知，则函数 ，= ．
【答案】 11
【分析】利用换元法可求出，进一步可得.
【详解】令，则，
所以，所以，
所以.
故答案为：；.
例题2．（2024上·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校联考期末）已知（a，b均为常数），且．
(1)求函数的解析式；
【答案】(1)
【分析】（1）由，代入函数解析式求出，得函数的解析式；
【详解】（1）由，得，即，
由，
可得解得
所以
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据换元法求函数解析式.
【详解】令，可得.
所以，
因此的解析式为.
故选：D.
例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知，求的解析式.
【答案】
【分析】令，则，代入函数解析式可得解.
【详解】由，令，则，
所以，
所以.
【点睛】本题主要考查了已知的解析式求解析式的求解，解题的关键是换元法，但是需要主要定义域的变化，属于基础题
角度3：待定系数法
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数是一次函数，且，则（ ）
A．11B．9C．7D．5
【答案】A
【分析】设，根据恒成立可得a，b，然后可解.
【详解】设，
则，
整理得，
所以，解，
所以，所以.
故选：A
例题2．（2024·江苏·高一专题练习）设二次函数满足，且，求的解析式.
【答案】
【分析】根据题意设，由求出c，由可求得，即可得答案.
【详解】设二次函数为，
因为，所以，所以，
又因为，
即，
所以，解得：，
所以函数解析式为.
角度4：方程组消去法
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知满足，则解析式为 ．
【答案】
【分析】用代得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式.
【详解】由 ①
用代可得， ②
由①②可得：
故答案为：
例题2．（2024·江苏·高一专题练习）已知，求函数的解析式．
【答案】
【分析】通过构造方程组的方法来求得的解析式.
【详解】①，
以替换，得②，
得：，
所以.
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
2．（2024·江苏·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法直接求解即可.
【详解】令，，则，，
所以，
所以的解析式为：
故选：B.
3．（2024·全国·高三专题练习）若函数满足方程且，则：
（1） ；（2） ．
【答案】
【分析】令可得；用替换，再解方程组可得答案.
【详解】令可得：，所以；
由①得，②，
联立①②可得：.
故答案为：①；②.
4．（2024·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，则 .
【答案】
【解析】由题意利用方程思想求得函数的解析式即可.
【详解】因为，
所以，
同除以2得，
两式相加可得，即.
故答案为：.
【点睛】求函数解析式常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
5．（2024·江苏·高一专题练习）求下列函数的解析式
(1)设函数是一次函数，且满足，求的解析式
(2)设满足，求的解析式
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）利用消元法求函数解析式.
【详解】（1）设一次函数的解析式为，
则，
所以，解得，或，
所以或.
（2）由①，
得②，
①②得，
即.
6．（2024·江苏·高一专题练习）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设出，根据题目条件得到方程组，求出，，得到函数解析式；
（2）换元法求出函数解析式，注意自变量取值范围.
【详解】（1）由题意，设函数为，
，
，
即，由恒等式性质，得，
，，
所求函数解析式为
（2）令，则，，
因为，所以，
所以.
高频考点四：分段函数
角度1：分段函数求值
典型例题
例题1．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）已知函数，，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【分析】由题意首先将代入得的值，进一步将代入即可求解.
【详解】由题意，解得，
所以.
故选：C.
例题2．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知函数，则 ．
【答案】
【分析】由，从而可求解.
【详解】由题意知当，，则，
所以.
故答案为：.
角度2：已知分段函数的值求参数
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数且，则（ ）
A．-16B．16C．26D．27
【答案】C
【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，，
所以，
故选：C
例题2．（2024上·江苏常州·高三统考期末）已知函数若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】利用分段函数求解即可.
【详解】，，．
故答案为：
角度3：分段函数求值域（最值）
典型例题
例题1．（2024上·河南南阳·高一校联考期末）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法一，根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域；
【详解】法一：因为且，
所以当时，，当时，；
当时，，
所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.
法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.
故选：D
例题2．（2024上·四川达州·高一统考期末）已知函数，则的最大值是（ ）
A．60B．58C．56D．52
【答案】C
【分析】分和两种情况讨论，结合二次函数和反比例函数的性质即可得解.
【详解】当时，，
此时，
当时，在上单调递减，
此时，
综上所述，.
故选：C.
练透核心考点
1．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知，，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先得到，再作出其图象求解.
【详解】解：由题意得：，
其图象，如图所示：
由图象知：函数y的值域为，
故选：A
2．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.
【详解】函数，则，
所以.
故选：A
3．（多选）（2024上·山东济宁·高一统考期末）已知，若，则所有可能的值是（ ）
A．－1B．C．1D．
【答案】BD
【分析】利用函数的解析式，结合指数、对数运算可求得结果.
【详解】由已知可得
或或，
解得，或.
故选：BD
4．（2024·全国·模拟预测）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得.
【详解】当时，，
当时，，
所以的值域为．
故答案为：.
高频考点五：函数的值域
角度1：二次函数求值域
典型例题
例题1．（2024上·上海·高一校考期末）函数，的最小值是 .
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为的图象开口向上，对称轴为，
又，所以的最小值是.
故答案为：.
例题2．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）已知二次函数满足．
(1)求的解析式．
(2)求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，则，利用换元法代入可求得的解析式；
（2）由（1）可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案.
【详解】（1）令，则，
，∴.
（2）因为，
所以的图象对称轴为，在上递减，在上递增，
∴，，
即的值域为.
角度2：分式型函数求值域
典型例题
例题1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域.
【详解】，
而由函数向右平移3个单位得到，
所以得值域和的值域相同，都为，
所以得值域为，
故选：B
例题2．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）函数的值域是 ．
【答案】
【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案.
【详解】由题意可知，函数，
由，，或，则或，
即函数值域为.
故答案为：
角度3：根式型函数求值域
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域.
【详解】令，，则，
所以函数，函数在上单调递增，
时，有最小值，
所以函数的值域为.
故选：C
例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函数.
(1)求的解析式；
(2)求的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）换元法求解析式；
（2）求复合函数的值域，先由内层二次函数配方法求值域，再由幂函数的性质可得函数值域.
【详解】（1）令，则，
所以，
故.
（2）由（1）知，
设，图象开口向上，
由，
，的值域为，
令，则的值域即函数的值域，
由函数在单调递增，则，的值域为.
故的值域为.
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得.
【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数．
所以或，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A．
例题2．（2024·上海·高一假期作业）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分类讨论，在时由可得．
【详解】时，不合题意，
因此且，∴，
故答案为：．
例题3．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围.
【详解】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，
故答案为：.
练透核心考点
1．（2024上·广东广州·高二广东实验中学校联考期末）函数的最大值是（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】设，根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解.
【详解】由，解得，故的定义域为.
设，
则，
其中，，
∵，则，
∴当，即时，
取最大值，即函数的最大值是.
故选：B.
2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B
3．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为 ．
【答案】
【分析】根据题意，将变形，分析其取值范围，结合取整函数定义，分析得到答案.
【详解】根据题意，设，
则，
当时，，所以，即，所以，此时的取值为1；
当时，，所以，即，所以，此时的取值为；
综上，的值域为，
故答案为：.
4．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域是或，则此函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用反函数,可将原函数化为,(其中或),求出的值域即得的定义域.
【详解】，其中或，
当时,是减函数,此时，
当时,是减函数,此时，
∴函数的定义域为.
故答案为：.
5．（2024·全国·高三专题练习）求函数的值域为 .
【答案】
【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域.
【详解】令，则，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为，
，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值，
所以函数值域为.
故答案为：
6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则常数 ．
【答案】7或
【详解】因为，所以，
，即，
因为函数的值域为，
所以是方程的两个根，
所以，，
解得或，所以7或.
故答案为：7或.
7．（2024·江苏·高一假期作业）求下列函数的值域.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法结合单调性求二次函数的值域；
（2）利用分式的性质，结合基本不等式的应用进行求解．
【详解】（1）,函数的定义域为,在上单调递增，在上单调递减，
,又因为,所以.
所以函数的值域为
（2）,
当且仅当取等号,函数的值域为.
第四部分：典型易错题型
备注：求函数解析式容易忽略定义域
1．（2023上·广东佛山·高一校考期中）已知函数，则函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】利用换元法求函数解析式即可.
【详解】函数，
设，则，且，
所以，，
则．
故答案为：．
2．（2023上·江苏盐城·高一校考期中）若函数，则 ．
【答案】（）
【分析】根据函数解析式利用换元法求解即可.
【详解】函数，令，则，所以
则函数化为
所以（）.
故答案为：（）.
备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“”的取值范围叫定义域
1．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据条件先求解出的定义域，然后结合分式分母不、对数的真数大于列出关于的不等式组，由此求解出的定义域.
【详解】依题意，函数的定义域为，
所以，即函数的定义域为，
所以在函数中有，解得，
所以的定义域为，
故选：A.
2．（2023上·江西赣州·高一江西省信丰中学校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解.
【详解】由题意得函数的定义域是，
令，所以，即，解得，
由，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数的定义域为，若存在实数，使得，都满足，则称函数为“三倍函数”.
(1)判断函数是否为“三倍函数”，并说明理由；
(2)若函数，为“三倍函数”，求的取值范围.
【答案】(1)不是“三倍函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）假设是“三倍函数”，得到，从而得以判断；
（2）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，分析可得，从而得解.
【详解】（1）不是“三倍函数”，理由如下：
因为，，
假设是“三倍函数”，
则存在实数，使得，都满足，
即，即，
因为的值域为，的值域为，不满足条件，
故函数不是“三倍函数”.
（2）因为，为“三倍函数”，
所以存在，，都，有，
即，
当时，的值域是，
则在的值域包含，
当时，，则，
若，即，则，，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不满足题意；
于是，即，，
要使在的值域包含，
则在的最小值至少要小于等于，
又时，在上单调递减且，
故有，解得，
此时取，的值域是，
而，，故在的值域包含，满足题意；
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，从而得解.解析法（最常用）
图象法（解题助手）
列表法
就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.
就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.
就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
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