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2022年九级数学上册第26章二次函数单元复习-学案-华东师大版
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这是一份2022年九级数学上册第26章二次函数单元复习-学案-华东师大版，共17页。
第26章 二次函数 2 二次函数 2 二次函数的图象与性质 41. 二次函数y＝ax2的图象与性质 42. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 63. 求二次函数的函数关系式 13阅读材料 15生活中的抛物线 15 实践与探索 16小 结 19复 习 题 20 第26章 二次函数要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为ym2，那么y=x(20-2x).试问：x为何值时，才能使y的值最大？§26.1 二次函数问题1（本章导图中的问题）如图26.1.1，要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？试一试设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结果填写在下表的空格中.x的值是否可以任意取？有限定范围吗？我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式．问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?分 析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数．我们可以得到：问题1中的函数关系式为y＝x（20－2x） （0＜x＜10）即 y＝－2x2＋20x （0＜x＜10）问题2中的函数关系式为 y＝（10－x－8）（100＋100x） （0≤x≤2），即 y＝－100x2＋100x＋200 （0≤x≤2）.观 察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？概 括它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？形如y＝ax2＋bx＋c （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数（quadratic function）．练 习已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm．当它的一条直角边长为4.5 cm时，求这个直角三角形的面积；设这个直角三角形的面积为S cm2，其中一条直角边长为x cm，求S关于x的函数关系式．已知正方体的棱长为x cm，它的表面积为S cm2，体积为V cm3．分别写出S与x、V与x之间的函数关系式；这两个函数中，哪个是x的二次函数？设圆柱的高为6 cm，底面半径r cm，底面周长C cm，圆柱的体积为V cm 3．分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式；这三个函数中，哪些是二次函数？正方形的边长为4，若边长增加x，则面积增加y，求y关于x的函数关系式．这个函数是二次函数吗？已知二次函数y＝ax2＋c，当x＝2时，y＝4；当x＝－1时，y＝－3．求a、c的值．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m．求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；求当上部半圆半径为2 m时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m2） 二次函数的图象与性质回 顾上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题．为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质．在研究一次函数时，曾借助图像了解了一次函数的性质．对二次函数的研究，我们也从图像入手．1. 二次函数y＝ax2的图象与性质我们知道，一次函数的图像是一条直线．那么，二次函数的图像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数 y＝ax2 的图像与性质．画二次函数y＝x2的图象．解 列表．在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图26.2.1所示．像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola）．它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．做一做 在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概 括函数 y＝ax2 的图象是一条抛物线，它关于y轴对称．它的顶点坐标是（0，0）．观察y＝x2、y＝2x2的图象，可以看出：当a＞0时，抛物线y＝ax2开口向上．在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．顶点是抛物线上位置最低的点．图象的这些特点，反映了当a＞0时，函数y＝ax2具有这样的性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；当x＝0时，函数 y＝ax2 取得最小值，最小值y＝0．思 考观察函数y＝－x2、y＝－2x2的图象，试作出类似的概括，当a＜0时，抛物线y＝ax2有些什么特点？它反映了当a＜0时，函数y＝ax2具有哪些性质？将你思考的结果填在下面的方框内，与同伴交流． 练 习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：y＝3x2； （2） y＝－x2．2.根据上题所画的函数图象填空．抛物线y＝3x2的对称轴是 _______________，顶点坐标是____________，当x_________时，抛物线上的点都在x轴的上方；抛物线y＝－x2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．3.不画图象，说出抛物线y＝－4x2和y＝x2的对称轴、顶点坐标和开口方向．4.记r为圆的半径，S为该圆的面积，有面积公式S＝πr2，表明S是r的函数．当半径r分别为2、2.5、3时，求圆的面积S（π取3.14）；画出函数S＝πr2的图象．2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质问题1试研究二次函数y＝2x2－4x＋3的图象．分 析将函数关系式配方，得y＝2（x－1）2＋1．我们设法寻求它与y＝2x2图像的联系．为此，先看几个简单的例子．例2 在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x 2＋1的图像．解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.2所示．观 察当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概 括通过观察，我们发现：当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1．反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位．函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数 y＝2x2 的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）．据此，可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质：当x_____时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最____值，最____值y＝______．做一做先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？说出y＝2x2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．思 考在同一直角坐标系中，函数y＝－x2＋2的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？你能说出函数y＝－x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？练 习1.已知函数y＝－x2、y＝－x2＋2和y＝－x2－2．分别画出它们的图象；说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；试说出函数y＝－x2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2得到抛物线y＝－x2＋2和y＝－x2－2？如果要得到抛物线y＝－x2＋4，应将抛物线y＝－x2作怎样的平移？y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表． 例3 在如图26.2.3所示的直角坐标系中，画出函数y＝2x2和y＝2（x－1）2的图象．解 列表． 描点、连线，画出这两个函数的图象．观 察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．思 考这两个函数的图象之间有什么关系？概 括通过观察、分析，可以发现：函数y＝2（x－1）2与y＝2x2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数y＝2（x－1）2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的．它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，0）．据此，可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2（x－1）2的性质：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．做一做在同一直角坐标系中画出函数y＝2（x＋1）2与函数y＝2x2的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数y＝2（x＋1）2的图象可以看成由函数y＝2x2的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数y＝2（x＋1）2的性质． 思 考在同一直角坐标系中，函数y＝－（x＋2）2的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？试说出函数y＝－（x＋2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．练 习1. 已知函数y＝x 2、y＝（x＋3）2和y＝（x－3）2．在同一直角坐标系中画出它们的图象；分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；分别讨论各个函数的性质．2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2得到抛物线y＝（x＋3）2和y＝（x－3）2？你能说出函数y＝a（x－h）2（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1，即研究函数y＝2（x－1）2＋1的图象和性质．分 析我们已经知道函数y＝2（x－1）2的图象与函数y＝2x2的图象之间的关系．在此基础上，可以找到函数y＝2（x－1）2＋1的图象与函数y＝2（x－1）2的图象之间的关系．试一试填写下表．从上表中，你能分别找到函数y＝2（x－1）2＋1与函数y＝2（x－1）2、y＝2x2的图象的关系吗？进一步，你能发现函数y＝2（x－1）2＋1有哪些性质？做一做在图26.2.3中，再画出函数y＝2（x－1）2－2的图象，并将它与函数y＝2（x－1）2 的图象作比较．试说出函数y＝－（x－1）2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．练 习1.已知函数y＝x2、y＝（x＋2）2＋2和y＝（x＋2）2－3．在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；试讨论函数y＝（x＋2）2－3的性质．2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2得到抛物线y＝（x＋2） 2＋2和抛物线y＝（x－2）2－3？如果要得到抛物线y＝（x＋2）2－6，那么应该将抛物线y＝x2作怎样的平移？y＝a（x－h）2＋k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．4.不画出图象，直接说出函数y＝－3x2－6x＋8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（提示：将－3x2－6x＋8配方，化为练习第3题中的形式）画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质．分析 因为 y＝－x2＋x－＝－（x－1）2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，－2）．根据这些特点，我们容易画出它的图象．解 列表．画出的图象如图26.2.4．由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2．做一做请你按照上面的方法，画出函数y＝x2－4x＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？通过配方变形，说出函数y＝－2 x 2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？思 考对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c （a≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？练 习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．（1） y＝3（x＋3）2＋4； （2） y＝－2（x－1）2－2；（3） y＝（x＋3）2－2； （4） y＝－（x－1）2＋0.6．2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1） y＝2x2＋4x； （2） y＝－2x2－3x；（3） y＝－3x2＋6x－7； （4） y＝x2－4x＋5．3. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象．（1） y＝－2（x－1）2＋4； （2） y＝（x＋2）2－5；（3） y＝－x2－2x＋1； （4） y＝x 2－4x＋7．应 用现在让我们应用二次函数的有关知识去解决第2页提出的两个问题．问题1 这个问题实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数y＝－2x2＋20x（0＜x＜10）取得最大值．将这个函数的关系式配方，得y＝－2（x－5）2＋50．显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，当x＝5时，函数取得最大值y＝50．这时，AB＝5（m），BC＝20－2x＝10（m）．所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m，与墙平行的一边长10 m时，花圃面积最大，最大面积为50 m 2．问题2 实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数y＝－100x2＋100x＋200（0≤x≤2）取得最大值．请同学们完成这个问题的解答．例5 用6 m长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解 设做成的窗框的宽为x m，则长为m．这里应有x＞0，且＞0，故0＜x＜2．做成的窗框的透光面积y与x的函数关系式是y=x•,即 y=.配方得 y＝－（x－1）2+,所以当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝1.5．因为x＝1时，满足0＜x＜2，这时．所以应做成宽1 m、长1.5 m的矩形窗框，才能使透光面积最大．最大面积是1.5 m2．练 习1. 求下列函数的最大值或最小值．（1） y＝x2－3x＋4； （2） y＝1－2x－x2；（3） y＝； （4） y＝100－5x2；（5） y＝－6x2＋12x； （6） y＝－x 2－4x＋1．有一根长为40 cm的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x，将它们的积表示为x的函数）3. 求二次函数的函数关系式问题2如图26.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？分 析为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图26.2.6，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y＝ax2 （a＜0）． （1）因为AB与y轴交于点C，所以CB＝＝2（m），又CO＝0.8 m，所以点B的坐标为（2，－0.8）．因为点B在抛物线上，将它的坐标代入（1），得－0.8＝a ×22，所以 a＝－0.2．因此，函数关系式是yx2．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式．例6 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y＝a（x－8）2＋9．根据它的图象过点（0，1），容易确定a的值．例7 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．解 设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c＝1．又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到解这个方程组，得a=，b=-所以，所求二次函数的关系式是y=.注 意求二次函数的关系式，应根据不同条件，选用适当形式．练 习1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）．2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）．求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 1. 分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象．y＝x2＋2与y＝x2－3；y＝－（x＋3）2与y＝－（x－1）2；y＝－3（x－2）2与y＝－3（x－2）2＋1；y＝－（x＋3）2－1与y＝－（x＋3）2＋2．2. 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．（1）y＝x2－3x－4； （2）y＝2－4x－x2；（3）y＝x2－2x－1； （4）y＝－x2＋6x－7；（5）y＝2x2－3x； （6）y＝－2x2－5x＋7．3. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标．（1）y＝4x2－4x＋1； （2）y＝－4x2－9；（3）y＝－4x2＋3x； （4）y＝3x2－5x＋6．4. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）；已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）；已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．求这条抛物线所对应的函数关系式；如图，在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？
第26章 二次函数 2 二次函数 2 二次函数的图象与性质 41. 二次函数y＝ax2的图象与性质 42. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 63. 求二次函数的函数关系式 13阅读材料 15生活中的抛物线 15 实践与探索 16小 结 19复 习 题 20 第26章 二次函数要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为ym2，那么y=x(20-2x).试问：x为何值时，才能使y的值最大？§26.1 二次函数问题1（本章导图中的问题）如图26.1.1，要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？试一试设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结果填写在下表的空格中.x的值是否可以任意取？有限定范围吗？我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式．问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?分 析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数．我们可以得到：问题1中的函数关系式为y＝x（20－2x） （0＜x＜10）即 y＝－2x2＋20x （0＜x＜10）问题2中的函数关系式为 y＝（10－x－8）（100＋100x） （0≤x≤2），即 y＝－100x2＋100x＋200 （0≤x≤2）.观 察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？概 括它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？形如y＝ax2＋bx＋c （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数（quadratic function）．练 习已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm．当它的一条直角边长为4.5 cm时，求这个直角三角形的面积；设这个直角三角形的面积为S cm2，其中一条直角边长为x cm，求S关于x的函数关系式．已知正方体的棱长为x cm，它的表面积为S cm2，体积为V cm3．分别写出S与x、V与x之间的函数关系式；这两个函数中，哪个是x的二次函数？设圆柱的高为6 cm，底面半径r cm，底面周长C cm，圆柱的体积为V cm 3．分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式；这三个函数中，哪些是二次函数？正方形的边长为4，若边长增加x，则面积增加y，求y关于x的函数关系式．这个函数是二次函数吗？已知二次函数y＝ax2＋c，当x＝2时，y＝4；当x＝－1时，y＝－3．求a、c的值．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m．求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；求当上部半圆半径为2 m时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m2） 二次函数的图象与性质回 顾上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题．为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质．在研究一次函数时，曾借助图像了解了一次函数的性质．对二次函数的研究，我们也从图像入手．1. 二次函数y＝ax2的图象与性质我们知道，一次函数的图像是一条直线．那么，二次函数的图像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数 y＝ax2 的图像与性质．画二次函数y＝x2的图象．解 列表．在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图26.2.1所示．像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola）．它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．做一做 在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概 括函数 y＝ax2 的图象是一条抛物线，它关于y轴对称．它的顶点坐标是（0，0）．观察y＝x2、y＝2x2的图象，可以看出：当a＞0时，抛物线y＝ax2开口向上．在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．顶点是抛物线上位置最低的点．图象的这些特点，反映了当a＞0时，函数y＝ax2具有这样的性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；当x＝0时，函数 y＝ax2 取得最小值，最小值y＝0．思 考观察函数y＝－x2、y＝－2x2的图象，试作出类似的概括，当a＜0时，抛物线y＝ax2有些什么特点？它反映了当a＜0时，函数y＝ax2具有哪些性质？将你思考的结果填在下面的方框内，与同伴交流． 练 习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：y＝3x2； （2） y＝－x2．2.根据上题所画的函数图象填空．抛物线y＝3x2的对称轴是 _______________，顶点坐标是____________，当x_________时，抛物线上的点都在x轴的上方；抛物线y＝－x2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．3.不画图象，说出抛物线y＝－4x2和y＝x2的对称轴、顶点坐标和开口方向．4.记r为圆的半径，S为该圆的面积，有面积公式S＝πr2，表明S是r的函数．当半径r分别为2、2.5、3时，求圆的面积S（π取3.14）；画出函数S＝πr2的图象．2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质问题1试研究二次函数y＝2x2－4x＋3的图象．分 析将函数关系式配方，得y＝2（x－1）2＋1．我们设法寻求它与y＝2x2图像的联系．为此，先看几个简单的例子．例2 在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x 2＋1的图像．解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.2所示．观 察当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概 括通过观察，我们发现：当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1．反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位．函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数 y＝2x2 的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）．据此，可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质：当x_____时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最____值，最____值y＝______．做一做先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？说出y＝2x2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．思 考在同一直角坐标系中，函数y＝－x2＋2的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？你能说出函数y＝－x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？练 习1.已知函数y＝－x2、y＝－x2＋2和y＝－x2－2．分别画出它们的图象；说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；试说出函数y＝－x2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2得到抛物线y＝－x2＋2和y＝－x2－2？如果要得到抛物线y＝－x2＋4，应将抛物线y＝－x2作怎样的平移？y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表． 例3 在如图26.2.3所示的直角坐标系中，画出函数y＝2x2和y＝2（x－1）2的图象．解 列表． 描点、连线，画出这两个函数的图象．观 察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．思 考这两个函数的图象之间有什么关系？概 括通过观察、分析，可以发现：函数y＝2（x－1）2与y＝2x2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数y＝2（x－1）2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的．它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，0）．据此，可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2（x－1）2的性质：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．做一做在同一直角坐标系中画出函数y＝2（x＋1）2与函数y＝2x2的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数y＝2（x＋1）2的图象可以看成由函数y＝2x2的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数y＝2（x＋1）2的性质． 思 考在同一直角坐标系中，函数y＝－（x＋2）2的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？试说出函数y＝－（x＋2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．练 习1. 已知函数y＝x 2、y＝（x＋3）2和y＝（x－3）2．在同一直角坐标系中画出它们的图象；分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；分别讨论各个函数的性质．2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2得到抛物线y＝（x＋3）2和y＝（x－3）2？你能说出函数y＝a（x－h）2（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1，即研究函数y＝2（x－1）2＋1的图象和性质．分 析我们已经知道函数y＝2（x－1）2的图象与函数y＝2x2的图象之间的关系．在此基础上，可以找到函数y＝2（x－1）2＋1的图象与函数y＝2（x－1）2的图象之间的关系．试一试填写下表．从上表中，你能分别找到函数y＝2（x－1）2＋1与函数y＝2（x－1）2、y＝2x2的图象的关系吗？进一步，你能发现函数y＝2（x－1）2＋1有哪些性质？做一做在图26.2.3中，再画出函数y＝2（x－1）2－2的图象，并将它与函数y＝2（x－1）2 的图象作比较．试说出函数y＝－（x－1）2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．练 习1.已知函数y＝x2、y＝（x＋2）2＋2和y＝（x＋2）2－3．在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；试讨论函数y＝（x＋2）2－3的性质．2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2得到抛物线y＝（x＋2） 2＋2和抛物线y＝（x－2）2－3？如果要得到抛物线y＝（x＋2）2－6，那么应该将抛物线y＝x2作怎样的平移？y＝a（x－h）2＋k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．4.不画出图象，直接说出函数y＝－3x2－6x＋8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（提示：将－3x2－6x＋8配方，化为练习第3题中的形式）画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质．分析 因为 y＝－x2＋x－＝－（x－1）2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，－2）．根据这些特点，我们容易画出它的图象．解 列表．画出的图象如图26.2.4．由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2．做一做请你按照上面的方法，画出函数y＝x2－4x＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？通过配方变形，说出函数y＝－2 x 2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？思 考对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c （a≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？练 习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．（1） y＝3（x＋3）2＋4； （2） y＝－2（x－1）2－2；（3） y＝（x＋3）2－2； （4） y＝－（x－1）2＋0.6．2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1） y＝2x2＋4x； （2） y＝－2x2－3x；（3） y＝－3x2＋6x－7； （4） y＝x2－4x＋5．3. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象．（1） y＝－2（x－1）2＋4； （2） y＝（x＋2）2－5；（3） y＝－x2－2x＋1； （4） y＝x 2－4x＋7．应 用现在让我们应用二次函数的有关知识去解决第2页提出的两个问题．问题1 这个问题实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数y＝－2x2＋20x（0＜x＜10）取得最大值．将这个函数的关系式配方，得y＝－2（x－5）2＋50．显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，当x＝5时，函数取得最大值y＝50．这时，AB＝5（m），BC＝20－2x＝10（m）．所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m，与墙平行的一边长10 m时，花圃面积最大，最大面积为50 m 2．问题2 实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数y＝－100x2＋100x＋200（0≤x≤2）取得最大值．请同学们完成这个问题的解答．例5 用6 m长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解 设做成的窗框的宽为x m，则长为m．这里应有x＞0，且＞0，故0＜x＜2．做成的窗框的透光面积y与x的函数关系式是y=x•,即 y=.配方得 y＝－（x－1）2+,所以当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝1.5．因为x＝1时，满足0＜x＜2，这时．所以应做成宽1 m、长1.5 m的矩形窗框，才能使透光面积最大．最大面积是1.5 m2．练 习1. 求下列函数的最大值或最小值．（1） y＝x2－3x＋4； （2） y＝1－2x－x2；（3） y＝； （4） y＝100－5x2；（5） y＝－6x2＋12x； （6） y＝－x 2－4x＋1．有一根长为40 cm的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x，将它们的积表示为x的函数）3. 求二次函数的函数关系式问题2如图26.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？分 析为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图26.2.6，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y＝ax2 （a＜0）． （1）因为AB与y轴交于点C，所以CB＝＝2（m），又CO＝0.8 m，所以点B的坐标为（2，－0.8）．因为点B在抛物线上，将它的坐标代入（1），得－0.8＝a ×22，所以 a＝－0.2．因此，函数关系式是yx2．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式．例6 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y＝a（x－8）2＋9．根据它的图象过点（0，1），容易确定a的值．例7 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．解 设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c＝1．又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到解这个方程组，得a=，b=-所以，所求二次函数的关系式是y=.注 意求二次函数的关系式，应根据不同条件，选用适当形式．练 习1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）．2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）．求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 1. 分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象．y＝x2＋2与y＝x2－3；y＝－（x＋3）2与y＝－（x－1）2；y＝－3（x－2）2与y＝－3（x－2）2＋1；y＝－（x＋3）2－1与y＝－（x＋3）2＋2．2. 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．（1）y＝x2－3x－4； （2）y＝2－4x－x2；（3）y＝x2－2x－1； （4）y＝－x2＋6x－7；（5）y＝2x2－3x； （6）y＝－2x2－5x＋7．3. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标．（1）y＝4x2－4x＋1； （2）y＝－4x2－9；（3）y＝－4x2＋3x； （4）y＝3x2－5x＋6．4. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）；已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）；已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．求这条抛物线所对应的函数关系式；如图，在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？
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