备战 2025 高考数学模拟卷五

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）
【解】（1）因为， ………………………3分
在中，，即. ………………………5分
（2）由（1）知，，
所以， ……………………7分
即，所以， ………………………8分
又， ………………………10分
即， ………………………12分
所以的周长为. ………………………13分
16．(本小题满分15分）
【解】（1）. ………………………1分
所以或时，，时，， ………………………3分
则在上递减，在递增， ………………………4分
所以的极小值为，极大值为 .………………………6分
（2），
当时，，所以在上递增， ………………………8分
当时，或时，；时，，
所以在上递增，在上递减， ………………………12分
当时，或时，；时，，
所以在上递增；在上递减． ………………………15分
17．设(本小题满分15分）
【解】（1）易知点的坐标为，
所以，解得. ………………………2分
又圆的圆心为， ………………………3分
所以圆的方程为. ………………………4分
（2）证明易知，直线的斜率存在且不为0，
设的方程为，
代入的方程，得. ………………………6分
令，得，
所以，解得. ………………………9分
将代入的方程，得，
即点的坐标为 ………………………11分
所以，，
. ………………………14分
故. ………………………15分
18．(本小题满分17分）
【解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
． ………………………2分
即，，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以
， ………………………4分
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为. ……………………5分
（2）（i），所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，……………………6分
相应的概率为：
，，
，， ………………………8分
随机变量的分布列为：
所以的数学期望. ………………………10分
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以，所以，
所以
. ………………………13分
令，由得，，
又，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值.
所以当时，每箱产品利润最大. ………………………17分
19．(本小题满分17分）
【解】（1）由题意知，数列为：. ……………………1分
由，不是数列中的项， ………………………3分
故数列不是“乘法封闭数列”； ………………………4分
（2）由题意数列递增可知，
则，且， ………………………5分
又数列为“除法封闭数列”，
则都是数列中的项， ………………………7分
所以，即①；
且，即②，
联立①②解得，； ………………………9分
（3）数列是等比数列 ………………………10分
证明：当时，设数列为，
由题意数列递增可知，
则有，
由数列为“除法封闭数列”， ………………………12分
则这个数都是数列中的项，
所以有，
则有，③；
同理由，可得，
则有，即④；
由③④可得，，故是等比数列. ………………………14分
当时，由题意数列递增可知，
则有， ………………………15分
由数列为“除法封闭数列”，则这个数都是数列中的项.
所以有.
所以有，即⑤；
同理由，可得，
所以.
则，即⑥，
联立⑤⑥得，，
则，所以有，
所以，故数列是等比数列.
综上所述，数列是等比数列. ………………………17分
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2
3
4
5
6
7
8
C
A
C
B
C
A
D
B
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