人教版数学九年级上册 期末数学试卷

这是一份人教版数学九年级上册 期末数学试卷，共15页。
学校 姓名 考号
一、选择题(共 16 分，每题 2 分)
第 1 - 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1 ．下列图形是中心对称图形的是
(A) (B) (C) (D)
2 ．将抛物线y = x2 向下平移2 个单位，所得抛物线的表达式为
(A) y = x2 + 2 (B) y = x2 一 2 (C) y =（x + 2）2 (D) y =（x 一 2）2
3．不透明的袋子中装有1 个红球，3 个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一
个球，恰好是红球的概率是
(A) (B) (C) (D)
4 ．如图，点A ，B ， C ，D 在⊙ O 上， ∠DAB = 40 ，则∠DCB 的度数为
考 生 须 知
1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间120分钟。
2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
(A) 80
(C) 140
(B) 100
(D) 160
D
C O
A B
5 ．下列事件：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；②在平面上任意画一个三角形， 其内角和是360 ；③明天太阳从东边升起，其中是随机事件的有
(A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个
lO
6 ．图中的五角星图案，绕着它的中心 O 旋转n 后，能与自身重合， 则 n 的值至少是
(A) 144 (B) 120
(C) 72 (D) 60
7 ．已知二次函数y = ax2 一 2ax + a 一 4 的图象与 x 轴的一个交点坐标是(3 ，0)，则关于x 的
一元二次方程ax2 一 2ax + a 一 4 = 0 的两个实数根是
(A) x1 = 一1 ，x2 = 3 (B) x1 = 1 ，x2 = 3
(C) x1 = 一5 ，x2 = 3 (D) x1 = 一7 ，x2 = 3
8 ．下面的四个问题中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是
(A) 汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程y 与行驶时间x
(B) 当电压一定时，通过某用电器的电流y 与该用电器的电阻x
(C) 圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y 与底面圆的半径x
(D) 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x
y
x
O
二、填空题(共 16 分，每题 2 分)
9 ．一元二次方程x2 一 4 = 0 的实数根为 .
10 ．如图， AB 是⊙ O 的弦，OC ⊥ AB 于点C ，若 AB = 8 ， OC = 3 ，
O
则⊙ O 半径的长为 ． !
A C B
11 ．关于x 的一元二次方程x2 + x + k = 0 有两个相等的实数根，则实数k 的值是 .
12 ．一个扇形的半径为3cm ，圆心角为60，则该扇形的面积为 cm2 .
13 ．已知二次函数的图象开口向上，且经过点( 0 ，1) ，写出一个符合题意的二次函数的 . .
表达式 .
14 ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (4 ，0)，B (3 ，3)， 点P 是△OAB 的外接圆的圆心，则点P 的坐标为 .
y
4
B
3
2
1
A
3 4 5
1 2
O
x
15 ．十八世纪法国的博物学家C . 布丰做过一个有趣的投针试验． 如图，在一个平面上画一组相距为d 的平行线，用一根长度为
l ( l ＜ d )的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为 -
，可以通过这一试验来估计 τ 的近似值．某数学兴趣小组 利用计算机模拟布丰投针试验，取l = 得到试验数据如下表：
可以估计出针与直线相交的概率为 (精确到0.001 )，由此估计τ 的近似值为 (精确到0.01)．
16．原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被
掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ， 实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度y (单位：m )与水平距离x (单位：m )近 似满足函数关系y = a（x 一 h）2 + k（a＜0）.
试验次数
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
相交频数
495
623
799
954
1123
1269
1434
1590
相交频率
0.3300
0.3115
0.3196
0.3180
0.3209
0.3173
0.3187
0.3180
小明进行了两次掷实心球训练．
y/m
示意图
着陆点
运动路线
O
x/m
(1) 第一次训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：
根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是 m；
(2) 第二次训练时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系
y = 一 0.09（x 一 4）2 + 3.6 ，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为d1 ，第二次 训练实心球的着陆点的水平距离为d2 ，则 d1 d2 (填“ ＞ ”，“＝ ”或“＜ ”) .
水平距离x / m
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度y / m
2.0
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
3.2
三、解答题(共 68 分，第 17-23 题，每题 5 分，第 24 ，25 题，每题 6 分，第 26-28 题，每 题 7 分)
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17 ．解方程：x2 - 6x +8 = 0 .
18 ．已知二次函数y = x2 +2x - 3 .
(1) 在平面直角坐标系xOy 中，画出该函数的图象；
(2) 当-3 ≤x＜0 时，结合函数图象，直接写出y 的 取值范围.
19 ．已知关于x 的一元二次方程x2 + mx + m-1 = 0 .
y
5
4
3
2
I
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1 -2 -3 -4 -5
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 如果方程有一个根为正数，求m 的取值范围.
20 ．下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线 ”的尺规作图过程.
O
已知：如图， ⊙ O 及⊙ O 外一点P . 求作：过点P 的⊙ O 的切线.
●
P
作法：①连接OP ，分别以点O 、点P 为圆心，
大于 OP 的长为半径作弧，两弧交于
点M 、点 N ，作直线MN 交OP 于点T ；
②以点 T 为圆心，TP 的长为半径作圆，交⊙ O 于点A 、点B ；
③作直线PA ，PB .
所以直线PA ，PB 就是所求作的⊙ O 的切线. 根据小东设计的尺规作图过程，
(1) 使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)；
(2) 完成下面的证明.
证明：连接OA .
∵ OP 是⊙T 的直径，
∴ ∠OAP= ( ) (填推理的依据) .
∴ OA ⊥ AP .
又∵ OA 为⊙ O 的半径，
∴直线PA 是⊙ O 的切线 ( ) (填推理的依据) . 同理可证，直线 PB 也是⊙ O 的切线.
21．某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地，其 总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成．2022 年7 月 份该科技园的总收入为500 亿元，到9 月份达到720 亿元，求该科技园总收入的月平均 增长率.
22 ．在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明.
请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程.
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
已知：⊙ O 中， 所对的圆周角为上BAC ，圆心角为上 BOC .
求证： 上BAC = 上BOC .
证明：
情况一 (如图 1)：
点 O 在∠BAC 的一边上.
A
O·
B C
∵ OA = OC ， 图 1
∴ 上A = 上C .
∵ 上BOC = 上 A + 上C ， ∴ 上BOC = 2上A .
即 上BAC = 上BOC .
情况二 (如图 2)：
点 O 在∠BAC 的内部.
情况三 (如图 3)：
点O 在∠BAC 的外部.
A
O
C B
A
O
C
B
图 2
图 3
23 ．在一次试验中，每个电子元件 的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态
的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中 A ，B 之间电流能够通过的概率.
. . . . . . .
A B
元件 1 元件 2
24．如图，AB 是⊙ O 的直径，AC ，BC 是弦，过点O 作OD∥BC 交 AC 于点D ，过点A 作
⊙ O 的切线与 OD 的延长线交于点 P ，连接PC .
(1) 求证：PC 是⊙ O 的切线；
(2) 如果7 B = 27CPO ，OD = 1，求 PC 的长.
B
C
O
D
P A
25 ．数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为10 dm3 ，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需
要的材料最省(底面边长不超过3dm ，且不考虑接缝).
某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小. 下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1) 设长方体包装盒的底面边长为 x dm ，表面积为 ydm2 .
可以用含 x 的代数式表示长方体的高为 dm .
根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积. 得到 y 与x 的关系式： ( 0 ＜x ≤ 3 )；
(2) 列出y 与x 的几组对应值：
(说明：表格中相关数值精确到十分位)
x / dm
…
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
y / dm2
…
80.5
42.0
31.2
a
28.5
31.3
(3) 在下面的平面直角坐标系xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，
y/dm2 100
x/dm
画出该函数的图象；
(4) 结合画出的函数图象，解决问题：
长方体包装盒的底面边长约为 dm 时，需要的材料最省.
26 ．在平面直角坐标系xOy 中，点(1 ， m )和点( 3 ，n )在抛物线y = x2 + bx 上.
(1) 当m = 0 时，
①求抛物线的对称轴；
②若点(-1 ，y1 ) ，(t ， y2 )在抛物线上，且 y2 ＞y1 ，直接写出t 的取值范围；
(2) 若mn ＜ 0 ，求 b 的取值范围.
y
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
-1 -2 -3 -4
80
60
40
20
O
1 2 3 4
27 ．已知等边△ABC ，点 D 、点 B 位于直线AC 异侧， ∠ADC ＝30O .
(1) 如图 1 ，当点D 在BC 的延长线上时，
①根据题意补全图形；
②下列用等式表示线段 AD ，BD ， CD 之间的数量关系：
Ⅰ. AD + CD = BD ； Ⅱ . AD 2 + CD2 = BD2 ，其中正确的是 (填“Ⅰ”或“Ⅱ ”)；
A
B C
图1
A
B C
图2
D
(2) 如图 2，当点D 不在BC 的延长线上时，连接BD ，判断(1)②中线段 AD ， BD ， CD 之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，
说明理由.
28 ．对于平面直角坐标系xOy 内的点P 和图形M ，给出如下定义：如果点 P 绕原点 O 顺时 针旋转90O得到点 P ' ，点 P' 落在图形M 上或图形M 围成的区域内，那么称点P 是图 形M 关于原点 O 的“伴随点 ”.
(1) 已知点A (1 ，1) ，B (3 ，1) ， C (3 ，2) .
①在点P1 (-1，0) ，P2 (-1，1) ，P3 (-1，2)中，点 是线段 AB 关于原点 O 的“伴随点”；
②如果点D (m ，2)是△ABC 关于原点 O 的“伴随点”，求 m 的取值范围；
(2) ⊙ E 的圆心坐标为(1 ，n )，半径为 1，如果直线y= -x + 2n 上存在⊙ E 关于原点O 的“伴随点” ，直接写出n 的取值范围.