河南省许昌市第一中学2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

这是一份河南省许昌市第一中学2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷，共9页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第21-24章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1. 第33届夏季奥林匹克运动会在2024年7月26日-8月11日在法国巴黎举行，下列四个本届运动会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．解题的关键是掌握：轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此分析即可得解．
【详解】解：A．此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．此图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
B．C． D．
下列四个图形中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2．一元二次方程x²＝x的根是（ ）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1
【解析】解：x2＝x，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x＝0，x﹣1＝0，x1＝0，x2＝1，选：A．
3．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，∴，∴，故选：．
4．若关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（ ）
A. ﹣10B. 10C. ﹣6D. ﹣1
【答案】A【解析】【分析】根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，
∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，
解得b=﹣2，c=﹣8
∴b+c=﹣10．
故选A．
【点睛】熟练掌握根与系数的关系，并会灵活运用是解本题的关键.
5. 某学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（ ）
A．B．C．D．
【解析】5．B
【分析】本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题的关键．根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可．
【详解】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次，
用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为，
所以，该轨迹对应的车轮为正方形的．
故选：B．
6. 把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7.电流通过导线会产生热量，设电流强度为I(安培)，电阻为R(欧姆)，1秒产生的热量为Q(卡)，则Q=0.24I2R，现在已知电阻为0.5欧姆的导线，1秒间产生1.08卡的热量，则该导线的电流是( )
A．9安培B．6安培C．3安培D．安培
【答案】C
【解析】解:将Q=0.24I2R变形为
I=或I=− (舍去）
将Q=1.08,R=0.5代入,
得I==3(安培）
故该导线的电流是3安培,即选C.
已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
【答案】D
A．B．C．2024D．2028
9.下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的弦相等B．相等的弦所对的弧相等
C．相等的圆心角所对的弧相等D．相等的圆心角所对的弦相等
【答案】A
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,即可解答．
【详解】解：A、等弧所对的弦一定相等；故原说法正确；
B、在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原说法错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误；
D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．故原说法错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键．
10.如图是二次函数的部分图像，其对称轴为，且过点．下列说法中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．当 时，
【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共5小题，共15分。
11. 写出以的一个一元二次方程________________；
写出以的一个一元二次方程________；
【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义，以及一元二次方程的定义即可求解．
【详解】解：依题意，，解得：，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12.在如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是_______．
【答案】B【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线，
，，的垂直平分线的交点为，
旋转中心是点，
故选：B．
13.如图，在平面直角坐标系中，过原点，交轴，轴分别于点．若点的坐标为，则点的坐标为________．
第12题 第13题 第14题 第15题
【答案】【解析】【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，矩形的判定和性质，坐标于图形，全等三角形的判定和性质的综合，根据题意，如图所示，连接，过点作轴于点，作轴于点，可得四边形是矩形，，则，由勾股定理可得的值，再证，可得，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作轴于点，作轴于点，
∴四边形是矩形，则，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
∵是圆的半径，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
14. 如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＞mx+n的解集是________________．x3
15. 如图，，，将绕点逆时针旋转角，得到，设与交于点，连接，当为等腰三角形时， ________________．
【答案】或．
【分析】根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解．本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角，得到
，，
，
，
根据三角形的外角性质，，
是等腰三角形，分三种情况讨论，
①时，，无解，
②时，，
解得，
③时，，
解得，
综上所述，旋转角度数为或．
故答案为：或．
三、解答题:本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. （9分）下面是牛牛同学解一元二次方程的过程，请您仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：．
解：方程两边同除以，得． …第一步
移项，合并同类项，得． …………………第二步
系数化为1，得． ……………………………第三步
任务：
（1）小明的解法从第_________步开始出现错误；
（2）此题的正确结果是__________________．
（3）解方程：．
【答案】（1）一 （2），， （3），．
【解析】
【分析】①先移项得，故第一步是错误的，即可解答；
②利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
③利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
【小问1详解】
解：小明的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
，，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：，
，
，
或，
，．
17．（9分）如图，的三个顶点分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)平移得到，其中△ABC内任意一点P（a，b）平移后的对应点P1（a+6，b+4），画出平移后的△A1B1C1，的坐标为_______；
(2)若和关于原点成中心对称，则的坐标为______；
(3)的面积为______；
(4)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的．则A3的坐标为______；
解：（1）由题意得，△ABC是向右平移6个单位长度，向上平移4个单位长度得到的△A1B1C1．
如图，△A1B1C1即为所求．B1（1，0）（2）如图，△A2B1C2即为所求．C2（ 1 , 3 ）（3）5.5 (4)（1，-4）
18.（9分）【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）填空：x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），
当b2﹣4ac≥0时，有两个实数根x1＝ ，x2＝ ．
……
（3）已知关于x的方程2x2+3mx+m2＝0的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出m的值．
19. （9分） 2021年，河南出现历史罕见的极端强降雨天气，一时牵动全国人民的心。众多企业、组织、明星、个人纷纷捐款驰援河南，让我们感到一份担当，值得一个大大的赞．一方有难，八方支援，大爱无疆，其中许昌胖东来商贸集团为支援灾区，决定将一个月获得的利润全部捐出，已知胖东来购进的某一批产品，成本为20元/件．原定的售价为每件40元，每月可销售300件，市场部经调查发现：若这种产品在原定售价的基础上每增加1元，则每月的销量将减少10件，商家决定该产品每件的售价高于40元但不超过50元，设每件产品售价为x元，每月的销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）该产品的销售单价定为多少时，能使每月售出产品的利润最大？
最大利润是多少？
解：（1）设每件产品售价为x元，则每月销售量为[300﹣10（x﹣40）]件，
即（700﹣10x）件，单件利润为（x﹣20）元，
则w＝（700﹣10x）（x﹣20）＝﹣10x2+900x﹣14000，
∴w＝﹣10x2+900x﹣14000（40＜x≤50）．
（2）∵w＝﹣10x2+900x﹣14000＝﹣10（x﹣45）2+6250，
∴当x＝45时，w有最大值，为6250，
∴该产品的销售单价定为45元时，能使每月售出产品的利润最大，最大利润是6250元．
21.如图,⊙O经过A,B,C 三点,AB=AC,连接AO.
(1)求证: AO⊥BC
(2)BC=48,⊙O 的半径为25,求AB的长.
21.海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强．海豚表演是郑州海昌海洋公园最吸引人的节目之一．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y＝ax2+2x，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员放在空中的离O点水平距离为3m，离水面高度为4.5m的小球．
（1）求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m？
（2）求当海豚离水面的高度是时，距起跳点O的水平距离是多少m？
（3）在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD＝6m，高DE＝4m的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱（不碰到），求点D横坐标n的取值范围．
【详解】解：（1）由抛物线y＝ax2+2x，过点（3，4.5），
得4.5＝9a+2×3
（2分）
∴
＝
＝，
∴海豚此次训练中离水面的最大高度是6m． （4分）
（2）依题意得：，
解得x1＝8，x2＝4，
答：海豚距起跳点O的水平距离是8m或4m． （7分）
（3）若海豚恰好接触到纸箱边缘，则点F或点E在抛物线上，
令y＝4，则，
解得， （9分）
当点F在抛物线上时，D点的横坐标n为． （10分）
当点E在抛物线上时，D点的横坐标n为． （11分）
∴n的取值范围是． （12分）
22. （10分）学以致用，类比探究：
九一班“数学兴趣小组对函数y＝﹣x2+2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请童鞋们补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；
（2）观察函数图象，当y随x增大而减小时，则x的取值范围是__________________；
（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有___________个交点，所以对应方程﹣x2+2|x|＝0有__________个实数根；
②方程﹣x2+2|x|＝﹣1有_________________个实数根；
③若关于x的方程﹣x2+2|x|＝n有4个实数根，则n的取值范围是___________．
【答案】（1）详见解析；（2）﹣1＜x＜0，x＞1；（3）①3，3；②2；③0＜n＜1
【解析】
【分析】（1）根据函数的对称性补充图象如图所示；
（2）观察图象，从左到右下降的图象上点的横坐标x的取值范围即为所求；
（3）①观察图象，即可求解；②函数y＝﹣x2+2|x|的图象与直线y=-1的交点个数即为方程﹣x2+2|x|＝﹣1实数解得个数；③结合图象，当直线y=n与函数y＝﹣x2+2|x|的图象有四个交点时，n范围即为所求．
【详解】解：（1）补充图象另一部分如下：
（2）从图象看，当y随x增大而减小时，则x的取值范围是：﹣1＜x＜0，x＞1；
故答案是：﹣1＜x＜0，x＞1；
（3）从图象看①函数图象与x轴有3个交点，所以对应方程﹣x2+2|x|＝0有3个实数根；
②从图象上看，函数y＝﹣x2+2|x|的图象与直线y=-1的交点个数是2个，故方程﹣x2+2|x|＝﹣1有2个实数根；
③若关于x的方程﹣x2+2|x|＝n有4个实数根，则直线y=n与函数y＝﹣x2+2|x|的图象有四个交点时，由图可知，n的取值范围是0＜n＜1，
故答案为：3，3；2；0＜n＜1．
【点睛】本题考查的是函数图象与性质，函数与方程之间的联系，通常在补全图象的基础上，通过观察函数图象，数形结合来求解．
23. （11分）综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题
阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数．
初步探究：为了解决本题，许昌市第一中学“善思”学习小组在探究学习过程中发现可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出__________；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题．
已知，如图②，点P为等边△ABC外一点，，，，求长．
（3）能力提升
如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，请童鞋们直接写出面积．
【答案】（1）；（2）；（3）4
【分析】（1）由“”可证，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解；
（2）由旋转的性质可得，，，可求，由勾股定理可求解；
（3）由，可得，，，即可求解．
【详解】解：（1）和都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
（2）如图②，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（3）当点与点重合时，线段绕点顺时针旋转，
，，
是等边三角形，
，
，，
为直角三角形，
，
，，，
，
如图③，延长至，使，连接，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，，
又，
，
．
综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．
（1）操作判断如图1，将矩形纸片ABCD折叠，使AB落在边AD上，点B与点E重合，折痕为AF，即可得到正方形AEFB，沿EF剪开，将正方形AEFB折叠使边AB，AE都落在正方形的对角线AF上，折痕为AG，AH，连接GH，如图2．根据以上操作，则∠GAH＝ °．
（2）迁移探究
将图2中的∠GAH绕点A按顺时针旋转，使它的两边分别交边BF，FE于点I，J，连接IJ，
如图3．探究线段BI，IJ，EJ之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
连接正方形对角线BE，若图3中的∠IAJ的边AI，AJ分别交对角线BE于点K，R，将正方形纸片沿对角线BE剪开，如图4，若BK＝2，ER＝4，请直接写出KR的长．
23．解：（1）∵四边形ABFE是正方形，
∴∠BAD＝90°，
由折叠得∠BAG＝∠GAF= ∠BAF，∠EAH＝∠HAF=∠EAF，
∴∠GAH＝∠FAG+∠FAH=∠BAF+∠EAF=∠BAD＝45°，
答案为：45．
（2）IJ＝EJ+BI．
理由：如图，将△AEJ顺时针旋转90°得到△ABJ'，
由旋转的性质可得AJ＝AJ'，EJ＝BJ'，∠EAJ＝∠BAJ'．
∵四边形ABFE为正方形，
∴∠BAE＝90°．
由（1）中结论可得∠IAJ＝45°，
∴∠BAI+∠EAJ＝45°，
∴∠BAJ'+∠BAI＝45°，
∴∠IAJ＝∠IAJ'．
在△AIJ和△AIJ'中，AI＝AI，∠IAJ＝∠IAJ'，AJ＝AJ'，
∴△AIJ≌△AIJ'（SAS），
∴IJ＝IJ'．
∵IJ'＝BJ'+BI，
∴IJ＝EJ+BI．
（3）．KR＝2
如图，将△AER绕点A顺时针旋转90°得到△ABR'，连接KR'，
根据旋转的性质可得∠E＝∠ABR'＝45°，ER＝BR'．
由（2）中的结论可证△AKR'≌△AKR，
∴KR＝KR'．
∵∠E＝45°，∠ABE＝45°，
∴∠KBR'＝∠ABE+∠ABR'＝90°．
在Rt△KBR'中，BK2+BR'2＝KR'，
∴BK2+ER2＝KR2，
∴KR＝2．
一元二次方程根与系数的关系
通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．
从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别记为x1x2，则有恒等式ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2），即ax2+bx+c＝0＝ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2．比较两边系数可得：x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣3
0
1
0
1
0
﹣3
…