高中数学第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数教学设计

这是一份高中数学第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数教学设计，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.理解并掌握幂函数的概念，即形如y=xα，(其中x是自变量，α是常数)的函数称为幂函数.
2.能够绘制并理解常见幂函数（如y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x−1等）的图象，以及它们的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性等
3.利用幂函数的性质解决相关的数学问题
二、教学重难点
重点：幂函数的概念、图象及其性质．
难点：利用幂函数的概念、图象与性质来解决简单问题．

三、教学过程
（一）创设情境
（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜xkg，那么她需要支付的费用p（单位：元）与w（单位：kg）之间的函数关系式为p=w；
（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S与边长a的函数关系式为S=a2；
（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V与棱长b之间的函数关系式为V=b3;
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c与面积S之间的函数关系式为c=S12；
（5）如果某人ts内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v(单位：km/h)与时间t的函数关系式为v=t−1.
上述5个函数形式都是怎样的？如果将上述解析式左边的因变量改成y，右边的自变量改成x，将得到怎样的函数解析式？
答：(1)y=x; (2)y=x2; (3)y=x3; (4)y=x12; (5)y=x−1 .
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过情境问题的创设，让学生列出函数关系，从中归纳出幂函数的概念.
（二）探究新知
任务1：幂函数的定义
观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？
要求：1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过情境问题的创设，让学生通过自主探究、小组讨论的形式得出幂函数的具体数学模型，充分体现学生的学习主体性，同时也为幂函数的概念引入提供理论依据.
幂函数的定义
一般地，形如y=xα的函数叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数.
幂函数满足
① xα的系数为1； ②幂函数的底数为自变量x;
③幂函数的指数为常数； ④形如“y=xα”的形式；
设计意图：以填空题的形式呈现幂函数的概念，同时归纳总结幂函数的特征，可让学生深刻掌握幂函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养.
任务2：幂函数的图象
对于幂函数，我们只研究α=1,2,3，12，−1时的图象与性质.
请各位同学在同一平面分别用描点法画出下列幂函数的图象
y=x；（2）y=x2；（3）y=x3；（4）y=x12；（5）y=x−1；
要求：
1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
①列表②描点；③连线，于是可得幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x−1的图象如下图所示：
任务3：幂函数的性质
由上图可得幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x−1的定义域、值域、奇偶性、单调性与公共点如下表所列：
要求：先独立思考3钟；2.学生代表进行展示汇报.
设计意图：带领学生通过观察图象总结得出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、公共点等性质，让学生体会数形结合思想在数学学习中的作用.
思考1：通过对上述5个幂函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?
答：第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象.
思考2：设函数f(x)=x2,g(x)=x3,若0(13)12.
(2)∵幂函数y=x−1在(−∞,0)上单调递减，
又−23(−35)−1.
例4 已知幂函数f(x)=xm2−2m−3(m∈N∗)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1)−m3