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人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数4.2.1 指数函数的概念教案设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数4.2.1 指数函数的概念教案设计，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
1.通过具体的实例，经历数学建模过程，了解指数增长模型和指数衰减模型，体会指数函数的变化规律，培养数学建模的核心素养；
2.通过指数增长模型和指数衰减模型，经历指数函数概念的归纳，并了解指数函数的实际意义，提升抽象概括能力和数学抽象的核心素养；
3.理解指数函数的概念和底数的取值范围，并能应用指数函数的概念解决具体的问题.
二、教学重难点
重点：了解指数函数的实际意义，理解和掌握指数函数的概念，并能运用指数函数的概念解决具体问题．
难点：指数函数模型的应用．
三、教学过程
（一）创设情景
一尺之锤，日取其半.意思是：一尺长的木棍，第一天截取一半，第二天起，每天截取剩下的一半.那么，每天截取的木棍长度是多少？每天截取的木棍长度有什么规律？
某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么某细胞个数y与次数x的函数关系是什么？
设计意图：举生活中的实际例子，让学生感受指数变化，培养学生的学习兴趣.
（二）探究新知
任务1：探究什么指数函数增长模型和指数衰减模型.
问题1随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.如下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
思考：比较A，B两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？如果想继续研究16年，17年乃至后面的游客人次，可以采用什么方式进行研究呢？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
解：A，B两地的游客人次均在增长，但A地增长速度慢一下，而B地则更快.
可以才采用作图的方式继续研究16年，17年乃至后面的游客人次.
根据上表，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象(图4.2−1和图4.2−2)．
思考：观察图象，A，B两地景区的游客人次呈现什么变化？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
解：观察图象，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升，呈线性增长，年增加量大致相等，约为10万次；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大．且从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
2002年游客人次2001年游客人次=309278≈1.11，
2003年游客人次2002年游客人次=344309≈1.11，
⋯⋯
2015年游客人次2014年游客人次=12441118≈1.11.
值不变，所以，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11−1=0.11，是一个常数.
结论：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，B地景区的游客人次近似于指数增长.
问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.
思考：按照上述变化规律，生物体内碳14含量呈什么形式衰减？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
解：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
死亡1年后，生物体内碳14含量为(1−p)1；
死亡2年后，生物体内碳14含量为(1−p)2；
死亡3年后，生物体内碳14含量为(1−p)3；
⋯⋯
死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1−p)5730．
根据已知条件，(1−p)5730=12，从而1−p=1215730，所以p=1−1215730．
所以，死亡生物体内碳14含量每年都以1−1215730的衰减率衰减.
结论：像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减.因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.
设计意图：通过生活中的具体实例，让学生领会指数增长和指数衰减模型，培养学生的学习兴趣.
任务2：探究指数函数的概念.
探究：(1)问题1中，x年后游客人次与2001年的游客人次之间有怎样的关系？
解：从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
⋯⋯
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；
如果设经过x年后游客人次为2001年的y倍，那么
y=1.11x(x∈[1，+∞))
这是一个函数关系，其中指数x是自变量.
(2)问题2中，生物体内碳14含量和死亡年数之间有怎样的关系？
解：设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么y=(1−p)x，即
y=1215730x(x∈[0,+∞)).
所以，生物体内碳14含量与死亡年数之间存在着函数关系，指数x是自变量.
如果用字母代替上述两式中的底数1.11和1215730，那么函数y=1.11x和y=1215730x就可以表示为
y=ax
的形式，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常量.
由此，我们得出
指数函数的定义：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，定义域为R.
设计意图：通过指数增长和指数衰减模型抽象出指数函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养.
（三）应用举例
例1 已知指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(−3)的值．
提示：要求f(0)，f(1)，f(−3)的值，应先求f(x)=ax的解析式，即先求a的值.
解：因为f(x)=ax，且f(3)=π，则a3=π，解得a=π13，于是
f(x)=πx3
所以f(0)=π0=1，f(1)=π13=3π，f(−3)=π−1=1π．
例2 (1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．
(2)在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
解：(1)设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则
f(x)=1150×(10x+600)，
g(x)=1000×278×1.11x．
利用计算工具可得，
当x=0时，f(0)−g(0)=412000．
当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)．
结合图可知：
当x<10.22时，f(x)>g(x)，
当x>10.22时，f(x)当x=14时，g(14)−f(14)≈347303．
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然f(x)>g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年3月某个时刻就有f(x)=g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)(2)设生物死亡x年后，它体内碳14含量为ℎ(x).
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
ℎ(x)=1215730x．
当x=10000时，利用计算工具求得
ℎ(10000)=12100005730≈0.30．
所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%．
例3 下列函数是指数函数的是 (填序号)．
①y=4x；②y=x4；③y=(−4)x；④y=4x2．
解：根据指数函数是y=ax，其中a>0且a≠1，
判断①y=4x是指数函数，
②y=x4不是指数函数，
③y=(−4)x不是指数函数，
④y=4x2不是指数函数．
故答案为：①．
总结：判断一个函数是指数函数的方法
形如y=ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数，其中x是自变量，定义域为R.
1.底数a的值要符合a>0且a≠1；
2.ax前的系数要为1；
3.指数要为x.
例4 函数fx=a2−a−1ax是指数函数，则实数a=( )
A. 2B. 1C. 3D. 2或−1
提示：根据指数函数的定义，ax前的系数要为1，且底数a的值要符合a>0，且a≠1进行解决.
解：由指数函数的定义，得a2−a−1=1，解得a=2或−1，
又因为底数a的值要符合a>0，且a≠1，
所以a=2，
故选A．
设计意图：通过例题，熟悉指数函数的概念，提高学生学以致用的能力．
（四）课堂练习
1.函数y=a−2ax是指数函数，则( )
A. a=1或a=3B. a=1
C. a=3D. a>0且a≠1
解：因为函数y=a−2ax是指数函数
所以a−2=1，a>0且a≠1，
解得a=3．
故选：C．
2.已知指数函数f(x)=max的图象过点2,14，则a的值为( )
A. 1B. 2C. 12D. ±12
解：因为指数函数的解析式为f(x)=max，所以m=1，
将点2,14，代入可得f(2)=a2=14，
因为a>0且a≠1，
解得a=12，
故选C．
3.下列函数：①y=x2；②y=−2x；③y=2x+1；④y=a−1x(a>1且a≠2).其中，指数函数的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
解：①函数y=x2是二次函数；
②函数y=−2x底数小于0，故不是指数函数；
③函数y=2x+1指数部分为x+1，故不是指数函数；
④∵a>1且a≠2，
可得出a−1>0且a−1≠1，则y=(a−1)x是指数函数．
故指数函数的个数为1，
故选：A．
4.若函数y=(m2−m−1)⋅mx是指数函数，则m等于( )
A. −1或2B. −1C. 2D. 12
解：∵函数y=(m2−5m+5)mx是指数函数，
∴m>0且m≠1m2−m−1=1,
解得m=2，
故选C．
5.某商品的价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y=k·ax(a>0且a≠1，x∈N∗).当商品上架第1天的价格为96元，上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价格为 元．
解：由题意可得方程组： k×a1=96k×a3=54，结合a>0且a≠1，
可得： a=34k=128，即： y=128×34x，
则该商品上架第4天的价格为128×344=812=40.5，
即该商品上架第4天的价格为40.5元．
6.截止到2018年年底，我国某市人口数量约为130万.若今后能将人口数量的年平均增长率控制在3‰，经过x年后，此市人口数量为y(单位：万)．
(1)求y与x的函数关系式y=f(x)，并写出定义域;
(2)若按此增长率，则2029年年底的人口数量约是多少?
(3)哪一年年底的人口数量将达到135万?
(参考数据：1.00311≈1.033，1.00312≈1.037，1.00313≈1.040)
解：(1)2018年年底的人口数量约为130万;
经过1年，即2019年年底的人口数量约为130+130×3‰=130(1+3‰)万;
经过2年，即2020年年底的人口数量约为130(1+3‰)+130(1+3‰)×3‰=130(1+3‰)2万;
经过3年，即2021年年底的人口数量约为130(1+3‰)2+130(1+3‰)2×3‰= 130(1+3‰)3万;
所以经过x年后的人口数量约为130(1+3‰)x万，即y=f(x)=130(1+3‰)x(x∈N)．
(2)2029年年底的人口数量约为130(1+3‰)11≈134.3万.
(3)由(2)可知，2029年年底的人口数量约为134.3万，134.3<135，2030年年底的人口数量约为130(1+ 3‰)12≈134.8万，134.8<135，2031年年底的人口数量约为130(1+ 3‰)13≈135.2万，135.2>135，所以2031年年底的人口数量将达到135万．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固指数函数的概念，加深理解，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
时间/年
A地景区
B地景区
人次/万次
年增加量/万次
人次/万次
年增加量/万次
2001
600
278
2002
609
9
309
31
2003
620
11
344
35
2004
631
11
383
39
2005
641
10
427
44
2006
650
9
475
48
2007
661
11
528
53
2008
671
10
588
60
2009
681
10
655
67
2010
691
10
729
74
2011
702
11
811
82
2012
711
9
903
92
2013
721
10
1005
102
2014
732
11
1118
113
2015
743
11
1244
126
一、教学目标
1.通过具体的实例，经历数学建模过程，了解指数增长模型和指数衰减模型，体会指数函数的变化规律，培养数学建模的核心素养；
2.通过指数增长模型和指数衰减模型，经历指数函数概念的归纳，并了解指数函数的实际意义，提升抽象概括能力和数学抽象的核心素养；
3.理解指数函数的概念和底数的取值范围，并能应用指数函数的概念解决具体的问题.
二、教学重难点
重点：了解指数函数的实际意义，理解和掌握指数函数的概念，并能运用指数函数的概念解决具体问题．
难点：指数函数模型的应用．
三、教学过程
（一）创设情景
一尺之锤，日取其半.意思是：一尺长的木棍，第一天截取一半，第二天起，每天截取剩下的一半.那么，每天截取的木棍长度是多少？每天截取的木棍长度有什么规律？
某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么某细胞个数y与次数x的函数关系是什么？
设计意图：举生活中的实际例子，让学生感受指数变化，培养学生的学习兴趣.
（二）探究新知
任务1：探究什么指数函数增长模型和指数衰减模型.
问题1随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.如下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
思考：比较A，B两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？如果想继续研究16年，17年乃至后面的游客人次，可以采用什么方式进行研究呢？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
解：A，B两地的游客人次均在增长，但A地增长速度慢一下，而B地则更快.
可以才采用作图的方式继续研究16年，17年乃至后面的游客人次.
根据上表，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象(图4.2−1和图4.2−2)．
思考：观察图象，A，B两地景区的游客人次呈现什么变化？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
解：观察图象，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升，呈线性增长，年增加量大致相等，约为10万次；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大．且从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
2002年游客人次2001年游客人次=309278≈1.11，
2003年游客人次2002年游客人次=344309≈1.11，
⋯⋯
2015年游客人次2014年游客人次=12441118≈1.11.
值不变，所以，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11−1=0.11，是一个常数.
结论：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，B地景区的游客人次近似于指数增长.
问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.
思考：按照上述变化规律，生物体内碳14含量呈什么形式衰减？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
解：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
死亡1年后，生物体内碳14含量为(1−p)1；
死亡2年后，生物体内碳14含量为(1−p)2；
死亡3年后，生物体内碳14含量为(1−p)3；
⋯⋯
死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1−p)5730．
根据已知条件，(1−p)5730=12，从而1−p=1215730，所以p=1−1215730．
所以，死亡生物体内碳14含量每年都以1−1215730的衰减率衰减.
结论：像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减.因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.
设计意图：通过生活中的具体实例，让学生领会指数增长和指数衰减模型，培养学生的学习兴趣.
任务2：探究指数函数的概念.
探究：(1)问题1中，x年后游客人次与2001年的游客人次之间有怎样的关系？
解：从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
⋯⋯
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；
如果设经过x年后游客人次为2001年的y倍，那么
y=1.11x(x∈[1，+∞))
这是一个函数关系，其中指数x是自变量.
(2)问题2中，生物体内碳14含量和死亡年数之间有怎样的关系？
解：设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么y=(1−p)x，即
y=1215730x(x∈[0,+∞)).
所以，生物体内碳14含量与死亡年数之间存在着函数关系，指数x是自变量.
如果用字母代替上述两式中的底数1.11和1215730，那么函数y=1.11x和y=1215730x就可以表示为
y=ax
的形式，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常量.
由此，我们得出
指数函数的定义：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，定义域为R.
设计意图：通过指数增长和指数衰减模型抽象出指数函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养.
（三）应用举例
例1 已知指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(−3)的值．
提示：要求f(0)，f(1)，f(−3)的值，应先求f(x)=ax的解析式，即先求a的值.
解：因为f(x)=ax，且f(3)=π，则a3=π，解得a=π13，于是
f(x)=πx3
所以f(0)=π0=1，f(1)=π13=3π，f(−3)=π−1=1π．
例2 (1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．
(2)在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
解：(1)设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则
f(x)=1150×(10x+600)，
g(x)=1000×278×1.11x．
利用计算工具可得，
当x=0时，f(0)−g(0)=412000．
当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)．
结合图可知：
当x<10.22时，f(x)>g(x)，
当x>10.22时，f(x)
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然f(x)>g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年3月某个时刻就有f(x)=g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
ℎ(x)=1215730x．
当x=10000时，利用计算工具求得
ℎ(10000)=12100005730≈0.30．
所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%．
例3 下列函数是指数函数的是 (填序号)．
①y=4x；②y=x4；③y=(−4)x；④y=4x2．
解：根据指数函数是y=ax，其中a>0且a≠1，
判断①y=4x是指数函数，
②y=x4不是指数函数，
③y=(−4)x不是指数函数，
④y=4x2不是指数函数．
故答案为：①．
总结：判断一个函数是指数函数的方法
形如y=ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数，其中x是自变量，定义域为R.
1.底数a的值要符合a>0且a≠1；
2.ax前的系数要为1；
3.指数要为x.
例4 函数fx=a2−a−1ax是指数函数，则实数a=( )
A. 2B. 1C. 3D. 2或−1
提示：根据指数函数的定义，ax前的系数要为1，且底数a的值要符合a>0，且a≠1进行解决.
解：由指数函数的定义，得a2−a−1=1，解得a=2或−1，
又因为底数a的值要符合a>0，且a≠1，
所以a=2，
故选A．
设计意图：通过例题，熟悉指数函数的概念，提高学生学以致用的能力．
（四）课堂练习
1.函数y=a−2ax是指数函数，则( )
A. a=1或a=3B. a=1
C. a=3D. a>0且a≠1
解：因为函数y=a−2ax是指数函数
所以a−2=1，a>0且a≠1，
解得a=3．
故选：C．
2.已知指数函数f(x)=max的图象过点2,14，则a的值为( )
A. 1B. 2C. 12D. ±12
解：因为指数函数的解析式为f(x)=max，所以m=1，
将点2,14，代入可得f(2)=a2=14，
因为a>0且a≠1，
解得a=12，
故选C．
3.下列函数：①y=x2；②y=−2x；③y=2x+1；④y=a−1x(a>1且a≠2).其中，指数函数的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
解：①函数y=x2是二次函数；
②函数y=−2x底数小于0，故不是指数函数；
③函数y=2x+1指数部分为x+1，故不是指数函数；
④∵a>1且a≠2，
可得出a−1>0且a−1≠1，则y=(a−1)x是指数函数．
故指数函数的个数为1，
故选：A．
4.若函数y=(m2−m−1)⋅mx是指数函数，则m等于( )
A. −1或2B. −1C. 2D. 12
解：∵函数y=(m2−5m+5)mx是指数函数，
∴m>0且m≠1m2−m−1=1,
解得m=2，
故选C．
5.某商品的价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y=k·ax(a>0且a≠1，x∈N∗).当商品上架第1天的价格为96元，上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价格为 元．
解：由题意可得方程组： k×a1=96k×a3=54，结合a>0且a≠1，
可得： a=34k=128，即： y=128×34x，
则该商品上架第4天的价格为128×344=812=40.5，
即该商品上架第4天的价格为40.5元．
6.截止到2018年年底，我国某市人口数量约为130万.若今后能将人口数量的年平均增长率控制在3‰，经过x年后，此市人口数量为y(单位：万)．
(1)求y与x的函数关系式y=f(x)，并写出定义域;
(2)若按此增长率，则2029年年底的人口数量约是多少?
(3)哪一年年底的人口数量将达到135万?
(参考数据：1.00311≈1.033，1.00312≈1.037，1.00313≈1.040)
解：(1)2018年年底的人口数量约为130万;
经过1年，即2019年年底的人口数量约为130+130×3‰=130(1+3‰)万;
经过2年，即2020年年底的人口数量约为130(1+3‰)+130(1+3‰)×3‰=130(1+3‰)2万;
经过3年，即2021年年底的人口数量约为130(1+3‰)2+130(1+3‰)2×3‰= 130(1+3‰)3万;
所以经过x年后的人口数量约为130(1+3‰)x万，即y=f(x)=130(1+3‰)x(x∈N)．
(2)2029年年底的人口数量约为130(1+3‰)11≈134.3万.
(3)由(2)可知，2029年年底的人口数量约为134.3万，134.3<135，2030年年底的人口数量约为130(1+ 3‰)12≈134.8万，134.8<135，2031年年底的人口数量约为130(1+ 3‰)13≈135.2万，135.2>135，所以2031年年底的人口数量将达到135万．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固指数函数的概念，加深理解，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
时间/年
A地景区
B地景区
人次/万次
年增加量/万次
人次/万次
年增加量/万次
2001
600
278
2002
609
9
309
31
2003
620
11
344
35
2004
631
11
383
39
2005
641
10
427
44
2006
650
9
475
48
2007
661
11
528
53
2008
671
10
588
60
2009
681
10
655
67
2010
691
10
729
74
2011
702
11
811
82
2012
711
9
903
92
2013
721
10
1005
102
2014
732
11
1118
113
2015
743
11
1244
126
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