高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数4.3.2 对数的运算教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数4.3.2 对数的运算教案及反思，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
理解对数的运算性质，并能运用这些性质进行一些简单的化简和证明.
能熟练应用换底公式进行化简和计算.
能理解、应用对数的运算性质，对实际问题进行分析，提升数学逻辑推理素养.

二、教学重难点
重点：准确运用对数的运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值.
难点：能根据指对数的互化推导对数运算性质及换底公式.

三、教学过程
（一）创设情境
回顾：前面的学习，我们知道了指对数互化，你们来说一说？（学生讨论）接着我们研究了指数幂的运算性质.
答：指数式与对数式的互化：ax=N⇔x=lga N(a>0，且a≠1)
指数幂的运算性质：
（1）aras=ar+s (a>0，r，s∈R)
（2）ars=ars (a>0，r，s∈R)
（3）abr=arbr (a>0，b>0，r∈R)
想一想：引入对数之后，自然应研究对数的运算性质.
师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题.
设计意图：教师以回顾引发学生思考，从指数与对数之间的关系、指数的运算性质中，激发学生主动学习、沿着同样的学习路径研究对数的运算性质，以此顺利揭示本节课题.
（二）探究新知
任务1：探究对数的运算性质.
思考：计算下面两组式子，判断他们有什么关系？
（1）lg（100×110×1） lg100+lg110+lg1
（2） lg2 （4×18） lg2 4+lg218
师生活动：1.先独立计算；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
提示：尝试从计算结果出发，能否发现他们之间的关系呢？
总结：当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积的对数.
各抒已见：我们能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
提示：从指数幂运算的角度进行推导.
答：设M=am，N=an，因为aman=am+n，所以MN=am+n.
根据对数与指数间的关系可得lgaM=m，lgaN=n，lga(MN)=m+n，
故lga(MN)=lgaM+lgaN.
思考：此推导方法是从指数幂运算的角度出发，还有其他推导方法吗？
提示：从对数运算的角度进行推导.
答：设m=lgaM，n=lgaN，即M=am，N=an，所以MN=am⋅an=am+n，
所以lga(MN)=m+n，故lga(MN)=lgaM+lgaN.
思考：仿照上述过程，根据指数的性质ar÷as=ar−s， ars=ars，尝试推导出对数的其它运算性质吗？
师生活动:1.先独立思考2分钟; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
答：1.已知x=lgaN，ar÷as=ar−s(a>0，r，s∈R)，设M=am，N=an，
因为am÷an=am−n，所以MN=am−n.根据对数与指数间的关系可得
lgaM=m， lgaN=n， lgaMN=m−n，故lgaMN=lgaM−lgaN.
2.已知x=lgaN，ars=ars(a>0，r，s∈R)，设M=am，
因为amn=amn，所以Mn=amn，所以lgaMn=lgaamn=mn.
因为m=lgaM，故lgaMn=nlgaM.
总结：对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么（1）lga(MN)=lgaM+lgaN；（2）lgaMN=lgaM−lgaN；（3）lgaMn=nlgaM(n∈R).
任务2：探究对数的换底公式.
思考：解决下列问题，尝试理解对数的换底公式.
(1)利用计算工具求ln2,ln3的近似值；
(2)根据对数的定义，你能利用ln2,ln3的值求lg23的值吗？
(3)根据对数的定义，你能用lgca，lgcb表示lgab(a>0，且a≠1； b>0; c>0，且c≠1) 吗？
师生活动：1.先独立思考2分钟; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.答：（1）ln2≈0.6931，ln3≈1.0986.
（2）设 lg23=x，则 2x=3，ln2x=ln3.所以xln2=ln3，所以x=ln3ln2，即lg23=ln3ln2≈1.5851.
（3）设 lgab=x，则 ax=b，于是lgcax=lgcb，根据性质（3）得 xlgca=lgcb，x=lgcblgca，即lgab=lgcblgca(a>0，且a≠1；b>0； c>0，且c≠1).
总结：对数换底公式: lgab=lgcblgca(a>0，且a≠1；b>0； c>0，且c≠1)， 自然语言描述：一个对数的值等于两个同底的对数的商，其中分子是真数的对数，分母是以原对数的底数为真数的对数.
公式意义：在于改变对数式的底数，把不同的底数问题转化为同底数问题后求解.
任务3：探究对数在实际问题中的应用.
思考：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍.
师生活动:1.先独立思考; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
答：因为 y=1.11x，即 2=1.11x
所以 x=lg1.112=lg2lg1.11
利用计算工具，可得x=lg2lg1.11≈6.64≈7
由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍.
设计意图：通过三个任务，加深对对数的运算性质的理解与应用，探究任务设计层层递进，由浅入深.在思考和启发中渗透知识的学习，在合作与讨论中加深进行思维的深加工.以此突破本节课的重难点.
（三）应用举例
例1 利用对数的运算性质，解决下列问题.
（1）求值：lg3100、ln3+ln13
（2）用lgax、lgay、lgaz表示lgaxyz
解：（1） lg3100=lg1023=23；ln3+ln13=ln3×13=ln1=0.
（2） lgaxyz= lgaxy−lgaz= lgax+lgay−lgaz
例2 利用换底公式化简下列各式.
（1）lg23×lg34×lg45×lg52
（2）(lg43+lg83)(lg32+lg92)
解：（1）原式 =lg3lg2⋅lg4lg3⋅lg5lg4⋅lg2lg5=1
（2）原式 =lg3lg4+lg3lg8⋅lg2lg3⋅lg2lg9=lg32lg2+lg33lg2⋅lg2lg3+lg22lg3
=lg3lg212+13⋅lg2lg31+12=54
总结：一般思路：1.先用对数的运算法则、性质进行部分运算，再化成同底对数运算化简.2.一次性统一换成常用对数（或自然对数），再化简、计算.
例3 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？
答：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.由 lgE=4.8+1.5M，可得
lgE1=4.8+1.5×9.0 lgE2=4.8+1.5×8.0 于是，
lgE1E2=lgE1−lgE2=4.8+1.5×9.0−4.8+1.5×8.0=1.5
利用计算工具可得， E1E2=101.5≈32
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
思考：为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？
答：地震中能量是很大的数值，进行对数运算后，其数值就变得非常小.这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数上. 以10为底的指数幂运算中，10x+1=10⋅10x，10x+2=100⋅10x；在以10为底的对数运算中，lg(10⋅10x)=1+lg10x，lg(100⋅10x)=2+lg10x，所以，在指数幂运算中，“指数增长”的变化非常快；在对数运算中，“对数增长”的变化就比较慢.
设计意图：通过例题讲解，引导学生思考在实际应用中，更好的理解和应用对数的运算性质.
（四）课堂练习
1. 已知3a=4，b=lg394，则a+b=( )
A. 9B. 2C. 169D. −2
答：因为3a=4，所以lg34=a，因为b=lg394，
所以a+b=lg34+lg394=lg39=2．故选：B．
2.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法是把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，设N=45×2710，则N所在的区间为 ( )
A. (1015,1016)B. (1016,1017)C. (1017,1018)D. (1018,1019)
答：lgN=lg(45×2710)=lg45+lg2710=5lg4+10lg27=10lg2+30lg3
≈10×0.3010+30×0.4771=17.323．所以N≈1017.323∈(1017,1018).故选：C．
3.科学记数法是一种记数的方法.把一个数x表示成a与10的n次幂相乘的形式，其中1≤a0时，lgx=n+lga.若一个正整数m的16次方是12位数，则m是( )(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)
A. 4B. 5C. 6D. 7
答：由题意可设lgm16=n+lga，因为正整数m的16次方是12位数，所以n=11，所以16lgm=11+lga，因为1≤a1，ab=4，则lg2a⋅lg2blg2(2a)的最大值为 ．
答：lg2a·lg2blg22a=lg2a·lg2b1+lg2a=lg2a·(lg24a)1+lg2a =−lg2 a2+2lg2a1+lg2a ，
=−1+lg2a+3−1+lg2a+4，
∵a>1,lg2a>0，
∴上式=−1+lg2a+31+lg2a+4≤−2 3+4
当且仅当1+lg2a=31+lg2a时，即a=2 3−1取等号，故答案为4−2 3．
6. 化简求值(需要写出计算过程)
(1)若100a=4，10b=25，求2a+b的值；
(2)827−23+eln2+lg14 2−lg332⋅lg23．
(3)若lgx−y+lgx+y=lg2+lgx+lgy，求xy的值．
答：(1)100a=4⇒alg100=lg4⇒2a=lg4，10b=25⇒b=lg25，得2a+b=lg4+lg25=lg100=2；
(2)原式=(23)3×(−23)+2+lg2−2212−lg325⋅lg23=(23)−2+2−14−5=94−134=−1；
(3)由题意可得x−y>0x+y>0x>0y>0，解得x>y>0，则xy>1，
∵lg(x−y)+lg(x+y)=lg2+lgx+lgy，则lg(x−y)(x+y)=lg2xy，
∴(x−y)(x+y)=2xy，整理得(xy)2−2(xy)−1=0，解得xy=1+ 2或xy=1− 2(舍去)，
故xy的值为1+ 2．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固对数的运算性质，能够灵活运用.
（五）总结归纳
回顾本节课所学内容，回答下列问题：
师生活动：学生回答上述问题，其他学生进行点评补充．
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.