山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了11，本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，若函数，则函数的定义域为，已知定义域为的偶函数满足，下列命题中的真命题为，已知关于的不等式的解集为等内容，欢迎下载使用。

高一数学试卷
2024.11
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟.
2.第Ⅰ卷共2页，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上.第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上.
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A.B.C.D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系大致是（ ）
A.B.
C.D.
4.函数的单调递增区间是（ ）
A.B.C.D.
5.若函数，则函数的定义域为（ ）
A.B.C.D.
6.已知定义域为的偶函数满足：对任意的，，，都有.若，则的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
7.已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
8.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%.那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（ ）
A.4.1小时B.4.2小时C.4.3小时D.4.4小时
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列命题中的真命题为（ ）
A.命题“，”的否定是“对于，”
B.已知，，则“”是“”的必要不充分条件
C.若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是
D.函数与函数的定义域和值域都相同
10.已知关于的不等式的解集为.则下列说法正确的是（ ）
A.B.不等式的解集为
C.D.的最小值为
11.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数的值域为
C.函数的单调递增区间为
D.设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是______.
13.已知函数是上的增函数，则的取值范围是______
14.设正实数，，满足，则当取得最大值时，的值为______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）（1）计算：；
（2）已知，计算的值并证明.
16.（本小题15分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（I）当时，求函数的解析式；
（2）求不等式的解集.
17.（本小题15分）已知是定义在上的奇函数，其中，，且.
（1）求，的值；
（2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.
18.（本小题17分）已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）求不等式的解集；
（3）若于恒成立，求的取值范围.
19.（本小题17分）已知有限集（，），如果中元素（）满足，就称为“和积平衡集”.
（1）判断集合是否为“和积平衡集”；
（2）若，是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以，为根的一个一元二次方程（系数可用，表示），并证明，至少有一个大于2；
（3）若，求所有符合条件的“和积平衡集”.
2024—2025学年第一学期期中检测
高一数学试卷答案
2024.11
1. C 2. D 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. B 9. BCD 10. AB 11. ABD
10.【答案】解：因为关于的不等式的解集为，
所以，4是方程的两根，且，故A正确；
所以，解得
所以，即，则，解得，
所以不等式的解集为，故B正确；
而，故C错误；
因为，，，所以，
则，
当且仅当，即或时，等号成立，
与矛盾，所以取不到最小值，故D错误.
故选：AB.
11.【答案】解：画出函数图象.
对于A项，，；
对于B项，由图象易知，值域为；
对于C项，由图象易知，区间内函数不单调；
对于D项，由的斜率为，则增长速度小于，
即时，左支无交点成立，右支最低点为，
代入应使，可得
综上，即.
故选：ABD.
对于D项，法二：
关于的不等式在上恒成立，
可得.
当时，，可得；
当时，，当且仅当时，取得最小值2，
可得；
当时，，可得；
当时，，的值域为，
即的最大值为，
可得，所以的取值范围是.故D正确
12. 13. 14. 3
15.【答案】解：（1）
；
（2）因为，所以，，
，
因为，所以，，，，
所以，即，
16.【答案】解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，，当时，则，
由时，函数，
所以，
即，
所以当时，.
（2）不等式，由函数为奇函数，
化为：，即，
当时，，在上单调递增，
故在上单调递增，
且，由函数为奇函数，
所以在上单调递增，
且，
又∵，∴在上单调递增，
故有，解得.
综上所述：不等式的解集为.
17.【答案】解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
又因为，所以，解得.
经检验符合题意
故，
（2）在上单调递减.证明如下：
设，则，
因为，所以，，
，，所以在上单调递减.
（3）由（2）可知在上单调递减，
所以，，
记在区间内的值域为
①当时，在上单调递减，
则，，
得在区间内的值域为.
因为，所以对任意的，总存在，使得成立
②当时，，在上单调递减，
则，，
得在区间内的值域为.
因为，所以对任意的，总存在，使得成立.符合题意
③当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，，
得在区间内的值域为，所以无解.
④当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，，
得在区间内的值域为.不符合题意.
⑤当时，，
易得在上单调递减，，，
故在上的值域为，且，故，符合题意.
综上，的取值范围为.
18.【答案】解：（1）因为
令，，则，函数转化为，，
则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，
故当时，函数的值域为.
（2）由题得，令，
则，即，解得或，
当时，即，解得；
当时，即，解得，
故不等式的解集为.
（3）由于对于上恒成立，
令，，则即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立.
19.【答案】解：（1）∵，
又，
满足
∴集合是“和积平衡集”；
（2）以，为根的一个一元二次方程可为，
若，是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，
∴，又和为的两个不同的正根，
∴，
又，∴，若，都小于等于2，则，矛盾，
所以，至少有一个大于2；
（3）设中的，∵，
由得时，
，即，显然不存在.
所以，故，
所以
当时，，
∵，所以只能有，，由得，
此时的“和积平衡集”为
当时，，
又，即，
即，与矛盾，所以不满足条件，
所以符合条件的“和积平衡集”有且只有，此时的“和积平衡集”为.