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福建省仓山区福州金山中学2024-2025学年九年级上学期 数学期中试卷(无答案)
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这是一份福建省仓山区福州金山中学2024-2025学年九年级上学期 数学期中试卷(无答案)，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分150分；考试时间120分
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1.以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.如图，点，，都在上，若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
3.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A.B.C.D.
4.如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ）
A.B.C.D.
5.如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A.B.C.D.
6.已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（ ）
A.B.C.D.
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
图1 图2
A.1米B.2米C.3米D.4米
8.如图，将绕点顺时针旋转得到，的对应点为，，连接.当点，，在一条直线上时，则下列结论一定正确的是（ ）
A.B.C.D.
9.如图.正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线的长为（ ）
A.2B.C.D.
10.一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点，经测量知，点为中点，点为弧上一动点，则的最小值为（ ）
A.9B.C.D.
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11.点与点关于原点对称，则的值为_____.
12.抛物线的顶点坐标是_____.
13.如图，四边形内接于，若，则的度数为_____.
14.已知，两点都在抛物线上，那么_____.
15.如图，扇形的圆心角是，正方形的顶点分别在，和上.若，则图中阴影部分的面积为_____.
16.约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”.若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④.则下列结论正确的是_____.
三、解答题（共9题，共86分）
17.（本小题满分8分）
已知一个二次函数的图像经过、、三点.求这个二次函数的解析式.
18.（本小题满分8分）
如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标.
19.（本小题满分8分）如图，中，弦，相交于点，.
（1）比较与的长度，并证明你的结论；
（2）求证：.
20.（本小题满分8分）
如图，在中，，将绕着点逆时旋转得到，点，的对应点分别为，.点落在上，连接.
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长.
21.（本小题满分8分）
如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接.
（1）求证：为的切线；
（2）若且，求的半径.
22.（本小题满分10分）
某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于45元.经调查发现，每天的销售量（个）与每个商品的售价（元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设商场每天获得的总利润为（元），当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
23.（本小题满分10分）
项目主题：车轮的形状
项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理.
图1 图2 图3 图4
【合作探究】
（1）探究组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变.另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的.如图，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为_____cm；
（2）探究组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化.如图，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为_____cm；
（3）探究组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长.
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动.
【拓展延伸】
如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”.“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定.
（4）探究组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动.在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为_____.
A.B.
C.D.
24.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，.以点为旋转中心，把顺时针旋转，得到.
（1）如图①，当旋转后满足轴时，求点的坐标，
（2）如图②，当旋转后点恰好落在轴正半轴上时，求线段的长.
（3）在（2）的条件下，边上的一点旋转后的对应点为.当取得最小值时，求点的坐标.
25.（本小题满分14分）
在二次函数中.
（1）若函数图象的顶点在轴上，求的值.
（2）若点在抛物线上，令，求证：.
（3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围.每个商品的售价（元）
…
25
30
35
…
每天的销售量（个）
…
110
100
90
…
满分150分；考试时间120分
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1.以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.如图，点，，都在上，若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
3.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A.B.C.D.
4.如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ）
A.B.C.D.
5.如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A.B.C.D.
6.已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（ ）
A.B.C.D.
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
图1 图2
A.1米B.2米C.3米D.4米
8.如图，将绕点顺时针旋转得到，的对应点为，，连接.当点，，在一条直线上时，则下列结论一定正确的是（ ）
A.B.C.D.
9.如图.正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线的长为（ ）
A.2B.C.D.
10.一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点，经测量知，点为中点，点为弧上一动点，则的最小值为（ ）
A.9B.C.D.
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11.点与点关于原点对称，则的值为_____.
12.抛物线的顶点坐标是_____.
13.如图，四边形内接于，若，则的度数为_____.
14.已知，两点都在抛物线上，那么_____.
15.如图，扇形的圆心角是，正方形的顶点分别在，和上.若，则图中阴影部分的面积为_____.
16.约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”.若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④.则下列结论正确的是_____.
三、解答题（共9题，共86分）
17.（本小题满分8分）
已知一个二次函数的图像经过、、三点.求这个二次函数的解析式.
18.（本小题满分8分）
如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标.
19.（本小题满分8分）如图，中，弦，相交于点，.
（1）比较与的长度，并证明你的结论；
（2）求证：.
20.（本小题满分8分）
如图，在中，，将绕着点逆时旋转得到，点，的对应点分别为，.点落在上，连接.
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长.
21.（本小题满分8分）
如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接.
（1）求证：为的切线；
（2）若且，求的半径.
22.（本小题满分10分）
某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于45元.经调查发现，每天的销售量（个）与每个商品的售价（元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设商场每天获得的总利润为（元），当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
23.（本小题满分10分）
项目主题：车轮的形状
项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理.
图1 图2 图3 图4
【合作探究】
（1）探究组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变.另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的.如图，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为_____cm；
（2）探究组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化.如图，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为_____cm；
（3）探究组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长.
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动.
【拓展延伸】
如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”.“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定.
（4）探究组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动.在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为_____.
A.B.
C.D.
24.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，.以点为旋转中心，把顺时针旋转，得到.
（1）如图①，当旋转后满足轴时，求点的坐标，
（2）如图②，当旋转后点恰好落在轴正半轴上时，求线段的长.
（3）在（2）的条件下，边上的一点旋转后的对应点为.当取得最小值时，求点的坐标.
25.（本小题满分14分）
在二次函数中.
（1）若函数图象的顶点在轴上，求的值.
（2）若点在抛物线上，令，求证：.
（3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围.每个商品的售价（元）
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每天的销售量（个）
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