2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题11对数与对数函数(新高考专用)(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题11对数与对数函数(新高考专用)(原卷版+解析)，共48页。
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】对数的运算4
【考点2】对数函数的图象及应用6
【考点3】对数函数的性质及应用7
【分层检测】8
【基础篇】9
【能力篇】10
【培优篇】11
考试要求：
1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
知识梳理
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
1.换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
真题自测
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国·高考真题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
7．（2021·天津·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．
8．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
三、填空题
10．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
11．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
12．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
考点突破
【考点1】对数的运算
一、单选题
1．（2023·宁夏银川·三模）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（ ）
A．，使B．，使
C．，有D．，有
4．（2024·贵州贵阳·一模）已知，则实数满足（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
6．（2024·广东广州·模拟预测）“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为米/秒，）
反思提升：
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝lgaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【考点2】对数函数的图象及应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·贵州黔东南·二模）若函数的值域为.则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（21-22高一上·河北张家口·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·湖南岳阳·一模）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（ ）
A．，B．在上是奇函数
C．在上是单调递增函数D．当时，
三、填空题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线过函数，且）的定点，则的最小值为 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点．
反思提升：
1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【考点3】对数函数的性质及应用
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10%B．20%C．30%D．40%
二、多选题
3．（20-21高三上·辽宁大连·期中）对于实数，，下列真命题的为（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，且，则的最小值为
4．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值域为
B．函数是增函数
C．不等式的解集为
D．
三、填空题
5．（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数的图象过点，设，则a、b、c的大小用小于号连接为 ．
6．（22-23高三上·湖北武汉·期末）对任意正实数，记函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则的所有可能值 .
反思提升：
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为，则比值的整数部分为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2024·湖南·一模）已知，且，则是的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·甘肃武威·模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川成都·一模）函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·海南·模拟预测）下列函数最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·福建厦门·一模）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·河南·模拟预测）已知正数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（2022·上海·模拟预测）若函数（且）有最大值，则的取值范围是 .
9．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ．
10．（2021·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，则 .
四、解答题
11．（21-22高一上·四川资阳·期末）已知（其中且）．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，的最大值大于1，求的取值范围．
12．（2023·四川成都·二模）已知函数
(1)当时，求函数的定义域；
(2)当函数的值域为R时，求实数的取值范围.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·山西晋中·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C．函数在区间上单调递减
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）表示两个实数，中的较小数．已知函数，且当时，，则的最小值为 ．
四、解答题
4．（2022·四川成都·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的定义域；
(2)若，，求证：.
【培优篇】
一、单选题
1．（23-24高三上·山西大同·期末）设函数的定义域为，若，，则实数（ ）
A．-2B．C．D．2
二、多选题
2．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数a，b满足，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为
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a>1
00；
当00，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
1.换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
真题自测
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国·高考真题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
7．（2021·天津·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．
8．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
三、填空题
10．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
11．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
12．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
参考答案：
1．C
【分析】
利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】
对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
2．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
3．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
5．B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0