备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测专题14导数的应用--函数的最值问题5题型分类练习(原卷版+解析)

这是一份备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测专题14导数的应用--函数的最值问题5题型分类练习(原卷版+解析)，共99页。试卷主要包含了函数的最值，不等式的恒成立与能成立问题，1）；等内容，欢迎下载使用。

1.函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
2.不等式的恒成立与能成立问题
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
一、单选题
1．（2024·全国）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（2024·全国）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高二下·全国·专题练习）如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024高三上·河南焦作·期中）在直角坐标系中，一个长方形的四个顶点都在椭圆上，将该长方形绕轴旋转，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知不等式有实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川成都·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024高三·全国·对口高考）已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知a，，关于x的不等式在R上恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024高三上·江苏镇江·开学考试）对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系中，矩形的四个顶点都在椭圆上，将该矩形绕轴旋转一周，得到一个圆柱体，当该圆柱体的体积最大时，其侧面积为
11．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知，则当取得最大值时， ．
12．（2024高三上·四川成都·开学考试）已知面积为的锐角其内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则边c的最小值为 ．
13．（2024高三上·吉林长春·开学考试）函数在内有最小值，则实数的取值范围为 .
14．（2024·湖北武汉·三模）已知函数，，则函数的最小值为 .
15．（2024·安徽安庆·二模）已知，且，则的最小值为 .
16．（2024·海南海口·模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为 .
17．（2024高三·福建泉州·阶段练习）已知函数的最小值为0，则a的取值范围为 ．
18．（2024高三下·江苏南通·开学考试）若函数的最小值为，则 ．
19．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为
20．（2024·山西运城·模拟预测）已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是 .
21．（2024·贵州黔东南·模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是 .
22．（2024高三下·陕西安康·阶段练习）若不等式 对恒成立，则a的取值范围是 .
三、解答题
23．（2024·北京）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
24．（2004·浙江）设曲线在点处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为．
(1)求切线l的方程；
(2)求的最大值．
25．（2004·湖南）已知函数，其中，e为自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数在区间上的最大值．
26．（2024高二下·黑龙江大庆·期中）已知函数.
(1)若时，求的单调区间；
(2)求在上的最小值.
27．（2024·江西）已知函数在上单调递减，且满足，.
(1)求的取值范围；
(2)设，求在上的最大值和最小值.
28．（2024高二下·山西朔州·阶段练习）设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2.
（1）若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
（2）若函数g(x)＝f(x)＋，x∈[0，2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围
29．（2024高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数.
(1)设，经过点作函数图像的切线，求切线的方程；
(2)若函数有极大值，无最大值，求实数的取值范围.
30．（2024高三·广东中山·阶段练习）用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
31．（2024高二下·广东汕头·期中）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：），其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为，且，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为（）万元，该容器的总建造费用为万元.
（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的总建造费用最少时的的值.
32．（2023·福建）在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边分别在轴、轴的正半轴上， 点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段上．
(1)若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；
(2)求折痕的长的最大值．
33．（2024高二下·广东揭阳·期末）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴为，短半轴为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
(Ⅰ)求面积关于变量的函数表达式，并写出定义域；
(Ⅱ)求面积的最大值．
34．（2024·广东广州·一模）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：.
(1)根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（的值精确到0.1）；
(2)已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
35．（2024高三·全国·专题练习）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.
(1)比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
(2)第10轮比赛中，记张三取胜的概率为，求出的最大值点.
36．（2024·河北·模拟预测）5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．某科技集团生产A，B两种5G通信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：
(1)利用样本相关系数r说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；
(2)求出y关于x的经验回归方程，并利用该方程回答下列问题：
①若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到0.001亿元）
②该科技集团计划用10亿元对A，B两种部件进行投资，对B部件投资元所获得的收益y近似满足，则该科技集团针对A，B两种部件各应投入多少研发资金，能使所获得的总收益P最大．
附：样本相关系数，
回归直线方程的斜率，截距．
37．（2024高三·全国·专题练习）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）
38．（2024高三上·云南保山·阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，函数在上恒成立，求整数a的最大值.
39．（2024·甘肃临夏·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对于任意正实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
40．（2024·河北唐山·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的最小值．
41．（2024高三上·河南·阶段练习）设且，函数，且为奇函数．
(1)求a；
(2)求的最小值．
42．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)当时，求在上的最大值．
43．（2024高三上·北京东城·开学考试）设函数
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当时，求证：
(3)当时，求函数在上的最小值
44．（2024·北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
45．（2024高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数．
(1)若的单调递增区间为，求的值．
(2)求在上的最小值．
46．（2024高三上·四川泸州·阶段练习）设函数，，其中，．
(1)求的单调区间；
(2)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．
47．（2024高三·全国·课后作业）用铁皮做一个体积为的正三棱柱形有盖箱子，问底面边长为多少时，用料最省？并求出这时所有铁皮的面积（焊缝、拼缝处所耗材料忽略不计）．
48．（2024高三上·山东烟台·期末）某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.
(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的.
49．（2024高三上·全国·开学考试）已知函数，且.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围.
50．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数．
(1)若存在最大值M，证明：；
(2)在（1）的条件下，设函数，求的最小值（用含M，k的代数式表示）
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（一）
求函数的最值
1.求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．
2.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
题型1：求函数的最值（不含参）
1-1．（2024·全国）函数的最小值为 .
1-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
1-3．（2024·江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
1-4．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，则的最大值是 ．
1-5．（2024·全国）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
题型2：求函数的最值（含参）
2-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．讨论函数的最值；
2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
2-3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，其中．
(1)若a=2，求的单调区间；
(2)已知，求的最小值．（参考数据：）
2-4．（2024·天津和平·三模）已知函数，，其中.
(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；
(2)若时，求函数的最小值；
(3)若的最小值为，证明：当时，.
（二）
根据最值求参数
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
题型3：根据最值求参数
3-1．（2024高三上·广西桂林·阶段练习）已知函数在处取最大值，则实数（ ）
A．B．1C．D．2
3-2．（2024高二下·四川绵阳·期中）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，函数在上的最大值为，求实数的值．
3-3．（2024高三上·河南新乡·周测）若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是
3-4．（2024高二·贵州贵阳·阶段练习）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为 .
3-5．（2024·山东·一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是 ．
3-6．（2024高三上·吉林长春·开学考试）函数在内有最小值，则实数的取值范围为 .
3-7．（2024·全国·模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为，则该四棱锥体积的最大值是 ．
3-8．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是 .
3-9．（2024·贵州毕节·模拟预测）当时，函数的最小值为1，则 ．
（三）
函数单调性、极值、最值得综合应用
求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
题型4：函数单调性、极值、最值得综合应用
4-1．（2024高三·全国·专题练习）设函数，已知是函数的极值点．
(1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)求在内的最值．
4-2．（2024高三·全国·专题练习）已知．
(1)求函数在内的极值点；
(2)求函数在上的最值．
4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在内的极值；
(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．
4-4．（2024·天津河北·二模）已知，函数，其中e是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.
4-5．（四川省宜宾市2023届高三三模数学（理科）试题）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若，的最小值是，求实数m的所有可能值.
（四）
不等式恒成立与存在性问题
1.求解不等式的恒成立问题，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接求函数的最值；（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
2.在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
题型5：不等式恒成立与存在性问题
5-1．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为
5-2．（2024·浙江金华·模拟预测）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
5-3．（2024高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设函数，．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若在R上恒成立，求实数a的取值范围．
5-4．（2024高三上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
5-5．（2024高三上·福建莆田·开学考试）已知函数，.
(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
5-6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．
(1)求函数的单调区间和极大值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对任意，，都有成立，求实数的取值范围．
月份x
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
研发投入x（亿元）
1
2
3
4
5
收益y（亿元）
3
7
9
10
11
专题14 导数的应用--函数的最值问题5题型
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1.函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
2.不等式的恒成立与能成立问题
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
一、单选题
1．（2024·全国）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
2．（2024·全国）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
3．（2024高二下·全国·专题练习）如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意，，则，求导分析单调性，即可得最大值
【详解】
设底面半径为，高为，则，即，
所以，
则，
令则，令则；令则,
故当，单调递增，当，单调递减,
即时，取得最大值.
故选：A．
4．（2024高三上·河南焦作·期中）在直角坐标系中，一个长方形的四个顶点都在椭圆上，将该长方形绕轴旋转，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设椭圆与长方形在第一象限交点为，即可得圆柱体的母线长为，底面圆的半径为，可得圆柱体的体积为，令，利用导数求的最大值，即可求得答案
【详解】设椭圆与长方形在第一象限交点为，
根据长方形和椭圆的对称性可得，将该长方形绕轴旋转得到的圆柱体的母线长为，底面圆的半径为，
由可得，
所以圆柱体的体积为，
令，则，
令，解得，
所以当，，单调递增；当，，单调递减，
所以当时，有最大值，即此时圆柱体的体积最大，
所以此时圆柱体的母线长为，底面圆的半径为，
故圆柱体的侧面积为
故选：C
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知不等式有实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造两个函数，先利用导数求出单调区间，从而得到在处取到最小值，再利用二次函数的性质知在处取到最大值，从而可求出结果.
【详解】，所以不等式有实数解，即不等式成立，
设， ，
当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，，
又因为，当时，，
因为不等式有实数解，则
故选：C.
【点睛】关键点睛：处理本题的关键在于，通过构造两个函数，利用导数和二次函数的性质，分别求出两个函数的最值，两个函数均在处取到最值，从而得解.
6．（2024·四川成都·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合可得的解，从而可求实数的取值范围.
【详解】由有意义可知，.
由，得.
令，即有.
因为，所以，令，
问题转化为存在，使得.
因为，令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以当时，.
因为存在，使得成立，所以只需且，解得.
故选：.
7．（2024高三·全国·对口高考）已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由函数的极大值与最大值的关系即可求解.
【详解】，令，得，
因为在区间上的最大值就是函数的极大值，
则必有，所以.
故选：C.
8．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知a，，关于x的不等式在R上恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】数形结合，分类讨论不成立，则，要最大，需要，，对于取定的b，要最大需要a更大，所以只需过的切线斜率最大.借助导数求函数的最值.
【详解】如图，

由图象可知，不成立，则，要最大，需要，；
时，时不成立，则；
对于取定的b，要最大需要a更大，所以只需过作的切线，切线斜率即为最大的a.
设切点，则，.
，,
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以在时，取得最大值.
故选：B.
9．（2024高三上·江苏镇江·开学考试）对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造同构函数，分析单调性，转化为恒成立，即，再求解的最小值即可.
【详解】已知，由知.故排除BD.
由得，，
构造函数，是上的增函数，
则由得，即，
令，
，由得，
当，则单调递减，
当，则单调递增，
，
则，又，则.
故选：C.
二、填空题
10．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系中，矩形的四个顶点都在椭圆上，将该矩形绕轴旋转一周，得到一个圆柱体，当该圆柱体的体积最大时，其侧面积为
【答案】/
【分析】设椭圆与长方形在第一象限交点为，即可得圆柱体的母线长为，底面圆的半径为，可得圆柱体的体积为，令，利用导数求的最大值，即可求得答案.
【详解】设矩形在第一象限的顶点坐标为，根据长方形和椭圆的对称性可得，
将该矩形绕轴旋转一周得到的圆柱体的母线长，底面圆的半径，
由，可得，
所以圆柱体的体积，
令，则，令，解得，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，有最大值，即此时圆柱体的体积最大，
所以此时圆柱体的母线长，底面圆的半径，
故圆柱体的侧面积为．
故答案为：.
11．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知，则当取得最大值时， ．
【答案】
【分析】设，利用二倍角的正切公式得到，再利用导数即可求出其最值时的值，再代入即可得到答案.
【详解】设，因为，则，则，
则．
设函数，
则．
当时，即，，此时单调递增；
当时，即，，此时单调递减，
所以当时，取得最大值，即取得最大值，
此时．
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角公式构造出关于的函数关系，再利用导数法求出最值即可.
12．（2024高三上·四川成都·开学考试）已知面积为的锐角其内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则边c的最小值为 ．
【答案】2
【分析】利用正余弦定理化简可得，再由面积公式化简得，构造函数利用导数求最小值即可.
【详解】，
,
由正余弦定理可得：，
化简得，
由余弦定理可得，即，
又，故，
所以，其中，
令，，
当时，，则，单调递减，
当时，，则，单调递增，、
所以，所以，
即，当时，等号成立.
故答案为：2
13．（2024高三上·吉林长春·开学考试）函数在内有最小值，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将函数在内有最小值等价转化成函数在内必有极值点，再利用导函数研究极值点的范围即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可得，函数的定义域为，
易知，
若函数在内有最小值，则函数在内必有极值点，
又，不妨设为方程的两个不相等实数根，
则有，不妨令，因此即可；
令，根据零点存在定理可得，
解得；
经检验在内有最小值，所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：函数在某开区间上有最值问题一般情况下是转化成有极值点，再将极值点问题转化成其导函数在该区间内有零点的问题，利用零点存在定理即可实现问题求解.
14．（2024·湖北武汉·三模）已知函数，，则函数的最小值为 .
【答案】/0.5
【分析】对求导，然后令，判断的单调性，得到的值域，从而判断的单调性，即可确定函数的最小值.
【详解】因为，
所以，
记，，
则，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
故当时，函数有最小值为，
故答案为：
15．（2024·安徽安庆·二模）已知，且，则的最小值为 .
【答案】1
【分析】
由，得，构造函数，，用导数得在上为增函数，可得，即，代入后再构造函数，利用导数可求出最小值.
【详解】因为，，所以，所以，且，
所以，
设，，
则，因为，所以，在上为增函数，
因为，所以，则，所以，
所以，
令，则，
令，则，则在上为增函数，
令得，即，
则存在唯一实数，使得，即，
所以当时，，，当时，，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：将变形为，再利用指对同构，设，，将化为是本题解题关键.
16．（2024·海南海口·模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为 .
【答案】
【分析】将变形为，设，对求导可知在上单调递增，所以，则，所以，令，对求导，即可求出的最小值
【详解】由可得：,
所以，，
设，，
所以在上单调递增，所以，
则，所以，
所以，所以，令，
令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
故的最小值为.
故答案为：.
17．（2024高三·福建泉州·阶段练习）已知函数的最小值为0，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】把函数化成分段函数，按分段讨论函数的取值情况作答.
【详解】函数定义域为，，显然，
当时，，当时，函数在上单调递减，，因此，
当时，函数在上单调递减，其取值集合为，
函数在上单调递增，函数值集合为，因此存在，使得，
而，于是，不符合题意，
当时，，令，，当时，，
即在上单调递增，，，即有，
当时，，即，当且仅当时取等号，因此，
当时，，显然当时，，函数在上单调递减，
，不符合题意，
综上得，，
所以则a的取值范围为.
故答案为：
18．（2024高三下·江苏南通·开学考试）若函数的最小值为，则 ．
【答案】
【分析】分类讨论，根据函数的单调性与最值的关系求解.
【详解】当时，，
，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以解得，与矛盾；
当时，，
(i)若，即，
则有在单调递减，单调递增，
所以解得，与矛盾；
(ii)若，即，
则有在单调递减，单调递增，
所以解得，满足题意；
综上，，
故答案为:.
19．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】根据开区间上连续函数的最值点必为导函数的零点，然后求导，数形结合，根据零点存在性定理建立不等式即可求解
【详解】因为，
且函数在区间上存在最大值，
故只需满足，
所以，
解得．
故答案为：
20．（2024·山西运城·模拟预测）已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围.
【详解】，，
当时，，单调递减；当或时，，单调递增，
∴在处取得极小值，在处取得极大值.
令，解得或，
又∵函数在上存在最小值，且为开区间，
所以，解得.
即的取值范围是.
故答案为：.
21．（2024·贵州黔东南·模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是 .
【答案】
【分析】先考虑恒成立，得到.再考虑恒成立，得到，再解不等式即得解.
【详解】当，且时，由，得.
设，则.
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
所以，得，
等价于，而，
当且仅当时等号成立.
所以，则，
所以，
解得，所以b的最大值是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解不等式的恒成立问题，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接求函数的最值；（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
22．（2024高三下·陕西安康·阶段练习）若不等式 对恒成立，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】观察解析式的结构，用同构思路构造函数，运用导数判断单调性求解.
【详解】令 ，则
，
令，，则 ,
当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以,当x趋近于0时，趋近于，所以，
令，，，则，
当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
若恒成立，即恒成立，所以，所以；
故答案为：.
【点睛】观察函数的解析式的结构是问题的核心，如果是直接求导，则很难计算，一般来说，当导函数的结构很复杂的时候，应该考虑是否存在其他方式解决问题.
三、解答题
23．（2024·北京）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
24．（2004·浙江）设曲线在点处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为．
(1)求切线l的方程；
(2)求的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）求出导函数，由导数的几何意义求得切线方程；
（2）求出切线与坐标的交点坐标，计算出三角形面积后，由导数求得最大值．
【详解】（1），时，
所以切线方程为，即．
（2）在中，令得，令得，
因为，
所以，
，
所以时，，递增，时，，递减，
所以．
25．（2004·湖南）已知函数，其中，e为自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数在区间上的最大值．
【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递减；在上单调递增；
(2)当时，最大值是；当时，最大值是；
当时，在区间上的最大值是.
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数，讨论，在函数的定义域内解不等式和即可．
（2）欲求函数在区间上的最大值，先求在区间上的单调性，讨论的值，分别求出最大值．
【详解】（1），函数定义域为，．
当时，令，得．
若，则，从而在上单调递增；
若，则，从而在上单调递减．
当时，令，得，解得或，有．
若，则或，从而在和上单调递减；
若，则，从而在上单调递增；
（2）由（1）中求得单调性可知，
当时，在区间上单调递增，最大值是．
当时，在区间上单调递增，最大值是．
当时，在区间上单调递增，在区间单调递减，最大值是．
26．（2024高二下·黑龙江大庆·期中）已知函数.
(1)若时，求的单调区间；
(2)求在上的最小值.
【答案】(1)递增区间为，递减区间为；
(2)答案见解析.
【分析】（1）把代入，利用导数求出的单调区间作答.
（2）利用导数分段讨论函数在上的单调性，再求出最小值作答.
【详解】（1）当时，的定义域为，求导得，
当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间为，递减区间为.
（2），函数，求导得，由，得，
当时，，当时取等号，因此函数在上单调递增，，
当时，由，得，由，得，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，，
由，得，当时，，
当时，，当时，，
所以当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为.
27．（2024·江西）已知函数在上单调递减，且满足，.
(1)求的取值范围；
(2)设，求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由题设条件可得，求出导数后就、、、分类讨论后可求其范围.
（2）易得，求出其导数后就、、、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）由，得，
则，，
依题意须对于任意 ，有.
当时，因为二次函数 的图像开口向上，
而 ，所以须 ，即.
当 时，对任意 有 ，符合条件；
当时，对于任意 ，，符合条件；
当 时，因，不符合条件，
故的取值范围为.
（2）因
（i）当时，，
在上取得最小值 ，在上取得最大值，
（ii）当 时，对于任意 有.
在 取得最大值 ，在 取得最小值.
（iii）当时，由 得，
① 若 ，即 时，
在上单调递增，在得最小值；
在 取得最大值.
② 若 ，即 时，
在 取得最大值 ，
在 或 取得最小值，而，，
则当 时，在取得最小值，
当 时，在取得最小值.
28．（2024高二下·山西朔州·阶段练习）设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2.
（1）若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
（2）若函数g(x)＝f(x)＋，x∈[0，2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围
【答案】（1）a＝1；（2）.
【分析】（1）根据＝0，即可求出a的值，然后验证所求a的值满足x＝2是函数y＝f(x)的极值点；
（2）利用最大值求出的取值范围，然后再验证所求的取值范围满足在x＝0处取最大值即可.
【详解】（1）＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，
所以＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以.
（2）由题意知， ，
因为当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)，所以，即，
故得.
反之，当时，对任意x∈[0，2]，
而g(0)＝0，故g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)．
综上所述，a的取值范围为.
29．（2024高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数.
(1)设，经过点作函数图像的切线，求切线的方程；
(2)若函数有极大值，无最大值，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求导得，再由导数的几何意义，即可得到结果；
（2）根据题意，求导得，令，然后分与两种情况，分别讨论，即可得到结果.
【详解】（1）时，
设切点为，则切线斜率为，
切线方程：，
将点带入得：，
此时斜率，所以切线方程为.
（2）函数的定义域为，令，则
（1）当时在单调递增，
注意到时，，注意到时，，
故存在，使得，在时单调递减，在时，单调递增，函数有极小值，无极大值，不符合题意.
（2）当时，令，令，
所以在单调递增，在单调递减.
当时，当时，
所以，
若，则恒成立，在单调递减，无极值和最值.
若，即，此时存在，使得，
且在有单调递减；在有单调递增，此时为的极大值.
注意到时，要使无最大值，则还应满足，
即，同时，
带入整理得.
由于，且在单调递减，故，
即，
综上实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了求切线方程问题以及导数与函数极值，最值的综合问题，难度较大，解决本题的关键在于分情况进行讨论，将问题合理转化.
30．（2024高三·广东中山·阶段练习）用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
【答案】长为m，宽为1m，高为m时，体积最大，最大体积为3
【分析】设出长方体的宽为m，表达出长方体的长和高，从而体积，并根据长宽高均大于0，求出，求导后得到的单调性和极值，最值情况，并确定此时的长、宽、高.
【详解】设长方体的宽为m，则长方体的长为m，故长方体的高为m，
由，解得：，
设长方体的体积为，
故，
则，
令，解得：，
令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，最大值为，
此时长为m，宽为1m，高为m.
31．（2024高二下·广东汕头·期中）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：），其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为，且，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为（）万元，该容器的总建造费用为万元.
（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的总建造费用最少时的的值.
【答案】（1），定义域为；
（2）当时，；当时，.
【分析】（1）利用，可得，则可得关于的函数表达式，
，代入即得解；
（2）求导，分，两种情况讨论，即得解
【详解】（1）设容器的容积为，由题意，知.
又，故.
由于，
解得，
所以，
其定义域为.
（2）由（1）得，.
由于，所以.
当时，.令，则，
所以.
①当，即时，
若，则；若，则；若，则.
所以是该函数的极小值点，也是最小值点.
②当，即时，若，则（仅当时，），所以函数单调递减.
所以是该函数的最小值点.
综上所述，当时，总建造费用最少时；当时，总建造费用最少时.
32．（2023·福建）在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边分别在轴、轴的正半轴上， 点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段上．
(1)若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；
(2)求折痕的长的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)分与分类讨论，根据对称关系即可求解; (2)根据折痕在不同的位置分类讨论即可求解.
【详解】（1）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程;
②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，所以与关于折痕所在的直线对称，有，故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为.
故折痕所在的直线方程, 即，
由①②得折痕所在的直线方程为；
（2）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标分别为，
解，得；解，得，
因为在上,所以，
当时，直线交于
；
②当时，直线与轴、轴的交点落在矩形的边和上，
，
所以，令，解得，此时取得最大值，且；
③当时，直线交于，
所以折痕的长度的最大值为.
33．（2024高二下·广东揭阳·期末）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴为，短半轴为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
(Ⅰ)求面积关于变量的函数表达式，并写出定义域；
(Ⅱ)求面积的最大值．
【答案】（I）
，
其定义域为
（II）梯形面积的最大值为
【详解】试题分析：（1）建立平面直角坐标系，得椭圆标准方程，即满足的方程： (y≥0)，由于，可解得y＝2 (0