高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4.1 对数函数的概念教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4.1 对数函数的概念教案，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.通过具体实例，感受对数函数的实际背景，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，体会对数增长的特点和对数函数是一类重要的函数模型；
2.掌握对数函数的概念，并会判断一些函数是否是对数函数；
3.了解对数函数与指数函数之间的联系，培养观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力,渗透类比等基本数学思想方法。
二、教学重难点
重点：理解对数函数的概念和意义，明确对数函数的定义域．
难点：理解对数函数的概念．

三、教学过程
（一）创设情境
复习回顾：
1.对数的概念
一般地，如果ax＝N，(a>0且a≠1)，则数x叫以a为底N的对数记作x＝lgaN，其中a叫底数，N叫真数.
2.指数函数的概念
一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数.
其中指数x是自变量，定义域是R.
特征：①a>0，且a≠1；
②ax的系数为1；
③自变量x的系数为1.
设计意图：回顾旧知，为本节课的学习打好基础.
探究新知
任务1：对数函数的概念
思考：在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律.反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？
设计意图：通过生活实例引出问题激发学生学习的热情.
问题1 已知死亡生物体内碳14含量y，能否确定它的死亡时间x？
师生活动 学生独立思考，作答，全班交流.教师引导学生回顾碳14指数衰减函数，使学生明确：可以利用碳14含量去判断该生物体死亡的时长.
思考 已测得碳14含量y为12，则死亡时间x为多少?
师生活动 学生独立思考，并进行求解，得出相应的答案.
思考 已测得碳14含量y为13，则死亡时间x为多少?
师生活动 学生再进行求解，得出相应的答案.
思考 每一个碳14含量y∈(0,1]都能推出应的死亡时间x吗？x是否唯一？
师生活动 学生独立思考、作答，教师根据学生的回答情况适时点评，并通过动画让学生直观感受给定一个碳14的含量y都的唯一的死亡时间x与之对应，为下一步判断x是y的函数做铺垫，对教学难点进行分解.
思考 死亡时间x是碳14含量y的函数吗?如果是，请用函数的语言准确表达?
师生活动 学生独立思考、作答，教师引导学生从函数的概念出发进行分析，并根据学生的回答情况适时点评及完善.
设计意图：通过一个问题四个追问，培养学生分析问题、解决问题的能力.在此基础上联系指数与对数的关系，借助指数函数解决对数的问题，为下面从特殊推广到一般，由指数函数引出对数函数做铺垫.
探究 根据指数式与对数式的互化，由一般的指数函数y=ax(a>0且a≠1)得x=lgay,x是y的函数吗?如果是，请说明理由.
思考1你能指出它的定义域、值域、对应关系分别是什么？
思考2函数y=lgax中底数a的取值范围是什么？请说明理由.
概念：一般地，函数y=lgax(a>0且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量是x，定义域为(0,+∞).
师生活动 学生独立思考、作答，再进行交流，教师引导学生从函数概念出进行分析，与学生互动交流，完善学生的认识.
设计意图: 从特殊到一般，抽象出对数函数的概念.
任务2：对数函数的特征
探究：类比指数函数的特征，你能概括出对数函数的特征吗？
要求：1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
总结：对数函数的特征
特征：①a>0，且a≠1；
②lgax的系数为1；
③真数为自变量x，且x>0.
师生活动： 学生思考并分组讨论，以小组为单位进行展示汇报.
设计意图： 根据指数函数的特征，类比得到对数函数的特征，培养学生的归纳、概括理解能力。
（三）应用举例
例1 下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝lgax2(a>0，且a≠1)；(2)y＝lg2x－1；
(3)y=2lg8x； (4)y＝lg5x.
解：(1)真数的位置不是自变量x，不是对数函数；
(2)对数式lg2x后又减1，不是对数函数；
(3)对数式lg8x的系数不是1，不是对数函数；
(4)符合对数函数的定义，是对数函数.
例2 已知函数f(x)为对数函数，且点A(8,−3)和点B(n,2)在函数f(x)的图象上，则n=______.
解：设对数函数为f(x)=lgax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=−3,即lga8=−3,所以a−3=8,
则a=8−13=12.
所以对数函数f(x)=lg12x
由f(n)=lg12n=2,则n=(12)2=14.
总结：判断一个函数是对数函数的方法
①a>0，且a≠1；
②lgax的系数为1；
③真数为自变量x，且x>0.
三个条件同时成立时为对数函数.
例3 求下列函数的定义域.
(1)y=lg3x2 (2)y=lga(4−x)
解: (1)∵x2>0,即x≠0,
∴函数y=lg3x2的定义域是{x|x≠0}.
(2)∵4−x>0,即x0．
其中所有正确研究结果的序号是 ．
解：在①中，因为f(x)=lg1−x1+x，所以1−x1+x>0，得函数的定义域为(−1,1)，所以①是正确的；
在②中，f(x)=lg1−x1+x=−lg1+x1−x=−f(−x)，所以函数f(x)为奇函数，所以②是错误的；
在③中，对于任意x∈(−1,1)，有f2xx2+1=lg1−2xx2+11+2xx2+1=lgx2−2x+1x2+2x+1=lg(x−1)2(x+1)2，
又2f(x)=2lg1−x1+x=lg(x−1)2(x+1)2，所以③是正确的；
对于④函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，
即说明f(x)是单调递增函数，但f(x)=lg1−x1+x=lg−1+21+x是减函数，故④是错误的．
故答案为①③．
4.已知f(x)=lg2(1+x)+lg2(1−x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以说明；
(3)求f( 22)的值．
解：(1)由1+x>01−x>0得x>−1x