数学人教A版 (2019)4.4.3 不同函数增长的差异教案

这是一份数学人教A版 (2019)4.4.3 不同函数增长的差异教案，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。


一、教学目标
1.能够利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长方式进行比较，体会它们的增长差异；
2.理解“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”的含义；
3.体会函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识基本初等函数与现实世界的密切联系，及其在刻画现实问题中的作用.

二、教学重难点
重点：一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.
难点：函数增长快慢的因素.

三、教学过程
（一）导入新课
师生活动：教师提出问题，引导学生结合初中学习的函数知识进行回顾与思考.
思考：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一:每天回报40元；
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元；
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
教师说明：这个问题涉及了不同函数增长的比较，我们今天就来研究三种不同函数-----一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.
设计意图：通过实际问题引入课题，激发学生的学习兴趣.
（二）探究新知
任务1：探究指数函数与一次函数增长方式的差异.
探究1：画出函数y=2x与y=2x在区间0,+∞上的图象，说明在不同区间内，这两个函数的增长差异.
师生活动：教师提出问题，学生自主探究.作出图象后，师生合作观察、研究函数y=2x与y=2x在区间0,1，1,2和2,3上的增长差异.
答：列表，画图如下：

通过图象可以看到，函数y=2x与y=2x有两个交点1,2，2,4.在区间0,1上，函数y=2x的图象位于y=2x的图象之上，2x>2x；在区间1,2上，函数y=2x的图象位于y=2x的图象之下，2x<2x；在区间2,3上，函数y=2x的图象位于y=2x的图象之上，2x>2x.这表明，虽然这两个函数在0,+∞上都是增函数，但它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度保持不变，而函数y=2x的增长速度在变化.
探究2：为了突出增长的差异，在更大的范围内观察这两个函数的增长情况.
师生活动：教师指导学生列表，画图，师生再次合作观察、研究函数y=2x与y=2x的增长情况.
答：列表，画图如下：

通过图象可以看到，虽然函数y=2x与y=2x在区间0,+∞上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.尽管在x的一定变化范围内，2x会小于2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.
设计意图：通过数形结合，让学生直观感受一次函数和指数函数的增长差异.
总结：一般地，指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异都与上述情况类似，即使k的值远远大于a的值，y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.
注意：指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
师生活动：教师再出示几个函数实例来说明.
设计意图：通过实例，推导出结论，培养学生分析、推理的能力.
任务2：探究对数函数与一次函数增长方式的差异.
探究：画出函数y=lg x，y=110x在区间(0,+∞)上的图象，说明在不同区间内，这两个函数的增长差异.
师生活动：教师提出问题，学生自主探究，教师引导学生进行分析.师生合作观察、研究函数y=lg x，y=110x的增长差异.
答：列表，画图如下：

观察图象可知，虽然函数y=lg x，y=110x在区间(0,+∞)上都单调递增，但增长速度存在明显的差异：函数y=110x的增长速度保持不变，而y=lg x的增长速度在变化.随着x的增大，函数y=110x的图象离x轴越来越远，函数 y=lg x的图象越来越平缓，趋向于与x轴平行.
思考：如果将y=lg x放大1 000倍，再对函数y=1 000lg x和y=110x的增长情况进行比较，仍有上述规律吗？
答：仍保持上述规律，如下图所示：
设计意图：类比前面的探究过程继续学习，学生易于接受，并能够较快得出正确的结论，提高学生类比学习的能力.
师生活动：师生共同总结一次函数和对数函数增长方式的差异.
总结：一般地，虽然对数函数y=lgax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区间(0,+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y=lgax(a>1)的增长速度越来越慢.即使k的值很小，在一定范围内，lgax可能会大于kx,但由于lgax的增长最终会慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有lgax注意：对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.
设计意图：培养学生归纳总结的能力.
任务3：探究一次函数、对数函数、指数函数的增长差异
师生活动：教师出示问题，学生自主探究.
探究1：画出一次函数y=2x，对数函数y=lg x，指数函数y=2x的图象，并比较它们增长的差异.
答：作图如下：
随着x的增大，
①y=2x在(0,+∞)上保持固定的增长速度；
②y=2x在(0,+∞)上增长速度越来越快；
③y=lg x在(0,+∞)上增长速度越来越慢.
探究2：试概括一次函数y=kx(k>0)，对数函数y=lgax(a>1)和指数函数y=bxb>1的增长差异.
答：在区间(0,+∞)上，随着x的增大，
①y=kx(k>0)保持固定的增长速度；
②y=lgax(a>1)增长得越来越慢；
③y=bx(b>1)增长得越来越快.
探究3：讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
答：直线上升→匀速增长；
对数增长→缓慢增长；
指数爆炸→增长越来越快.
应用说明：1.当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；
2.当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型；
3.当变化趋势稳定、平稳，选用一次函数模型.
设计意图：通过对本节课进行总结性探究，加深学生对一次函数、对数函数、指数函数增长差异的认识.
（三）应用举例
例1：在同一坐标系内画出下列函数的大致图象，并比较它们的增长情况.
y=0.1ex−100，x∈1,+∞；
y=20lnx+100，x∈1,+∞；
y=20x，x∈1,+∞.
师生活动：教师出示例题，让学生自主解答，并比较它们的增长情况.
解：三个函数的大致图象如下图所示.
由图象可以看到，函数y=0.1ex−100以“爆炸”式的速度增长；函数y=20lnx+100增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数y=20x以固定的速度增长.
设计意图：通过例题让学生进一步熟悉不同函数的增长情况.
例2：函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两个函数的图象交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2020)，g(2020)的大小．
分析：（1）随着自变量x的增大，图象位于上方对应的函数是指数函数f(x)=2x，另一个图象对应的函数就是幂函数g(x)=x3；（2）结合图象易得出答案.
解：（1）当x充分大时，位于上方的图象对应的函数是指数函数f(x)=2x，另一个函数就是幂函数g(x)=x3， ∴曲线C1对应的函数为g(x)=x3，曲线C2对应的函数为f(x)=2x．
（2）∵f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
∴1∴x1<6从图象上可以看出，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，
∴f(2020)>g(2020).又g(2020)>g(6)，
∴f(2020)>g(2020)>g(6)>f(6)．
例3：某公司2024年上半年五个月的收入情况如下表所示：
根据上述数据，在建立该公司2024年月收入y(万元)与月份x的函数模型时，给出两个函数模型y=x12与y=2x3供选择．
(1)你认为哪个函数模型较好？并说明理由．
(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
分析：(1) 确定自变量与函数值之间的关系，将这些点描到坐标系中，发现这些点更与哪一个函数吻合是解决本题的关键．
(2)选择出好的模型之后利用方程思想求出相应的自变量，注意指数式与对数式的互相转化．
解：(1)画出散点图，如图：
由图可知点(2,1.4),(3,2.56),(4,5.31),(5,11),(6,21.30)基本上是落在函数y=2x3的图像的附近，
因此用函数y=2x3这一模型较好．
(2)当2x3>100时，2x>300 ，∴lg2x>lg300，即xlg2>2+lg3，
∴x>2+lg3lg2≈2+≈8.23，
故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元．
设计意图：通过例题，帮助学生进一步理解不同函数模型的增长差异，并发展学生的数学建模、解模及数学运算等核心素养.
（四）课堂练习
1.下列函数中随着x(x>1)的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A. y=4lgxB. y=x4C. y=4 xD. y=4×3x
解：当x>1时，随着x的增大，指数函数增长最快，幂函教其次，对数函数最慢，
故函数y=4×3x的增长速度最快．
故选D．
2.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好( )
A. 指数函数：y=2tB. 对数函数：y=lg2t
C. 幂函数：y=t3D. 二次函数：y=t2
解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1,2)点，∴图象由指数函数来模拟比较好，
故选：A．
3.当a>1时，有下列结论：①指数函数y=ax，当a越大时，其函数值的增长越快;
②指数函数y=ax，当a越小时，其函数值的增长越快;
③对数函数y=lgax，当a越大时，其函数值的增长越快;
④对数函数y=lgax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
解：当a>1时，
结合指数函数及对数函数的图象可知，
指数函数y=ax，当a越大时，其函数值的增长越快，
对数函数y=lga x，当a越小时，其函数值的增长越快，
故①④正确．
故选：B
4.下表为2018年−2022年的中国数字经济规模(单位：万亿元):
则下列所给函数模型中比较适合这一数据关系的是( )
A. y=2x+30B. y=30+lg2(x+1)
C. y=28×(98)xD. y=2x+30
解：对于y=2x+30，当x=5时，y=40，与50.2相差较大;
对于y=30+lg2(x+1)，当x=5时，y<33，与50.2相差较大;
对于y=2x+30，当x=5时，y=62，与50.2相差较大;
根据数据可得中国数字经济规模每年比上一年增长12%左右，所以y=28×(98)x比较合适．
故选C．
5.函数f(x)=lgx，g(x)=0.3x−1的图象如图所示．
(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数;
(2)比较两函数增长速度的差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解：(1)由函数图象特征及变化趋势，
知曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x−1，
曲线C2对应的函数为f(x)=lgx.
(2)当x∈(0,x1)时，g(x)>f(x);当x∈ (x1,x2)时，g(x)f(x)．
g(x)呈直线增长，其增长速度不变，
f(x)随着x的增大而逐渐增大，其增长速度越来越慢，
x∈(0,x1)时，g(x)增长速度慢于f(x);
当x∈ (x1,x2)时，g(x)开始增长速度比fx慢，后来超过了f(x)增长速度;
当x∈(x2,+∞)时，g(x)增长速度比fx快.
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.月份
2
3
4
5
6
月收入(万元)
1.4
2.56
5.31
11
21.3
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
中国数字经济规模y
31.3
35.8
39.2
45.5
50.2