精品解析：江苏省南通市通州区、如东县2地2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷

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1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．
3.本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点求斜率的公式列方程，化简求得的值.
【详解】依题意，.
故选：B
2. 抛物线y2＝－12x准线方程是
A. x＝－3B. x＝3C. y＝3D. y＝－3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由抛物线的准线方程分析可得其焦点在x轴负半轴上，且p=6，由准线方程计算可得答案．
【详解】根据题意，抛物线的标准方程为y2=﹣12x，
其焦点在x轴负半轴上，且p=6，
则其准线方程为x=3；
故选B．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及准线方程的求法，关键是掌握由抛物线的标准方程求准线方程的方法．
3. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. 且C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程列出不等式即可求解.
【详解】，即，
因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，
所以，解得.
故选：.
4. 方程的化简结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程.
【详解】根据，
可得点到点的距离差的绝对值等于，
结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线，
，则，，所以，，
故方程为：，
故选：A.
5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径为.
所以圆的半径为，设圆心为，
则，解得，
所以圆的方程为.
故选：A
6. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行的充要条件求出，利用两平行线间距离公式求解.
【详解】由题可得，解得，
所以两直线分别为，，
所以这两条直线间的距离为.
故选：B.
7. 若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆心到直线的距离为定值，列方程来求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值，
即为定值，所以.
故选：C
8. 设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用点差法、联立方程组的方法来求得正确答案.
【详解】双曲线对应，，
设，则，
两式相减并化简得，
由于，所以，
而B选项中，点，对应，所以B选项错误.
C选项中，点，对应，所以C选项错误.
A选项，点，对应，所以，
则直线的方程为，
由消去并化简得，，
所以方程组无解，所以A选项错误.
D选项，点，对应，所以，
则直线的方程为，
由消去并化简得，
，所以D选项正确.
故选：D
【点睛】关键点睛：
中点坐标与代数运算结合的应用：利用中点坐标公式结合代数运算进行求解，可以有效判断给定点是否为中点，正确设定中点的坐标并代入验证，是解题的关键.
消去法运用：在代入方程并进行化简时，消去法是确保推导过程严谨的重要方法，通过逐步消去不相关的变量，最终确定符合条件的解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 直线在轴上的截距为-2
C. 直线过定点
D. 三条直线交于同一点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线的倾斜角，截距、定点、交点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，直线的斜率为，倾斜角为，A选项错误.
B选项，由直线，令，解得，所以B选项正确.
C选项，由得，
由，解得，所以定点为，C选项正确.
D选项，由解得，
，所以三条直线过同一点−2,3，D选项正确.
故选：BCD
10. 已知圆与圆，则（ ）
A. 过点作圆的切线只有条，则
B. 若圆与圆有且只有条公切线，则
C. 当时，两圆的一条公切线方程为
D. 当时，两圆的公共弦长为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，分析可知圆心的圆心在圆上，将圆心的坐标代入圆的方程，求出的值，可判断A选项；对于B，分析可知，两圆相交，根据圆与圆的位置关系求出的取值范围，可判断B选项；对于C，判断直线与两圆的位置关系，可判断C选项；对于D，求出两圆的公共弦长，可判断D选项.
【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为，
圆C2:x−22+y−m2=4m>0的圆心为，半径为，
对于A选项，若点作圆的切线只有条，则圆心的圆心在圆上，
则有，因为，解得，A对；
对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交，
且，
由题意可得，即，
因为，解得，B错；
对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
故当时，两圆的一条公切线方程为，C对；
对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交，
将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
所以，两圆的公共弦长为，D错.
故选：AC.
11. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线关于原点对称B. 直线与曲线有3个公共点
C. 点的纵坐标的取值范围是D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据对称性、直线与曲线的交点、判别式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，曲线，
点都满足方程，
所以曲线关于原点对称，A选项正确
由消去并化简得，
解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B选项正确.
由整理得，
令，则有非负根，
而其对称轴，
所以，，
解得，所以C选项错误.
令，则，代入，
化简得，
由于的开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，
由解得（负根舍去），
所以的最大值为，所以的最大值为，D选项正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：
利用方程形式判断对称性：首先观察曲线方程的形式，结合对称性条件判断曲线是否对称，这是快速确定对称性的重要步骤.
结合交点方程进行分析：通过消去并化简方程，得出直线与曲线的交点个数，结合符号分析确保每一个解都被考虑.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题设可知，椭圆与双曲线的焦点都在轴上，则有且，解之即得所求
【详解】依题意，椭圆与双曲线的焦点都在轴上
则且
解之得，（舍）
故答案：
13. 已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，
，
根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，
即的最小值是，
所以周长的最小值为.
故答案为：
14. 在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据“曼哈顿距离”列方程，结合绝对值的知识求得点的轨迹所围成图形的面积.根据已知条件列不等式，求得的范围，进而求得离心率的取值范围.
【详解】设Px,y，则，
若，则；若，则；
若，则；若，则，
由此画出点的轨迹如下图所示（正方形），
由图可知点的轨迹所围成图形的面积为.
椭圆，对应，，
要使椭圆上有且仅有8个点满足，
根据对称性，由方程组有两个解，且，
所以，整理得，
Δ=16a4−12a2a2+1=4a2a2−3>0，
解得，
所以.
故答案为：
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点.
（1）求的标准方程；
（2）若为上一点，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）根据椭圆的定义求得，从而求得的面积.
【小问1详解】
依题意，设椭圆方程为，
所以，解得.
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由于，，根据抛物线的定义有：
，整理得，
所以的面积为.
16. 已知圆经过点，且与圆相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由弦长来求得直线的方程.
【小问1详解】
圆的圆心为，半径，
直线的方程是，所以圆的圆心可设为，
则，则，
半径，
所以圆的方程为.
【小问2详解】
由，令，解得，
，所以直线符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由于，所以到直线的距离为，
所以，解得，
直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
17. 已知双曲线的左、右焦点分别为.
（1）若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长；
（2）若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）联立直线的方程和双曲线的方程，利用根与系数关系求得线段的长.
（2）根据对称性进行转化，设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，向量的坐标运算求得正确答案.
【小问1详解】
由消去并化简得，
设，则，
所以.
【小问2详解】
依题意，双曲线上存在两点，，满足，
设直线与双曲线的另一个交点为，根据对称性可知，
双曲线对应，
则，依题意可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
则1−2k2≠0Δ=48k4+41−2k26k2+2>0，
即k≠±22k2+1>0>0⇒k≠±22.
设，则①，②，
由得，
所以③，
由①③解得，代入②得：
，由于，
所以，整理得，解得.
【点睛】思路点睛：
联立方程求解交点：首先通过联立直线和双曲线方程，利用代数方法求解交点的位置，这一步是解答线段长度和直线斜率问题的基础.
结合对称性分析直线斜率：通过设定双曲线上存在的对称点，结合对称性推导出直线的斜率，从而确定直线方程的具体形式.
18. 若动点到点的距离比它到直线的距离小1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过轨迹上一点作直线交轴正半轴于点，且.若直线，直线与轨迹有且仅有一个公共点，证明直线AE过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点坐标为
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义求得正确答案.
（2）先求得点坐标，然后根据直线平行求得点坐标，再根据直线的方程求得定点坐标.
【小问1详解】
依题意可知，动点到点的距离等于它到直线的距离，
所以的轨迹是抛物线，且，所以轨迹的方程为.
【小问2详解】
设，则，由于在轴的正半轴，
所以，则，，
设，的方程为，
由，消去得，
，由，
，解得，则，
所以直线的方程为，
整理得，所以直线过定点0,1.
【点睛】思路点睛：通过抛物线定义求轨迹：首先利用动点的轨迹符合抛物线的定义，结合焦点和准线，求解轨迹的方程,这是确保解题正确的基础.
利用直线相交条件确定定点：通过设定直线与轨迹有且仅有一个公共点的条件，结合消去法，确定直线过定点并求定点坐标.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为．
（1）求的方程；
（2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.

①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值；
②记的面积分别为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得的方程.
（2）①设出直线方程并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简求得为定值.
②先求得的表达式，利用换元法，结合函数的单调性来求得的取值范围.
【小问1详解】
依题意，，解得，
所以的方程为.
【小问2详解】
①设直线的方程为，，
由，消去并化简得，
则Δ=4t2+121+t2=16t2+12>0，
，则，
所以
.
②由题得，，
又，所以，
由椭圆的对称性可知，
所以，
因为直线的方程为，所以，
因为，所以直线的方程为，
将其代入，解得，
所以，
所以，
令，则，
所以，
函数在上单调递增，
所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以，即，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】思路点睛：
利用已知条件求椭圆方程：首先利用短轴长和离心率，通过焦距和半长轴长度，得出椭圆的标准方程，这是确定椭圆方程的基础.
结合根与系数关系证明斜率的定值：设定直线的方程，结合椭圆方程，通过根与系数关系证明斜率的定值，这是确保直线和椭圆之间关系的有效方法.
利用函数单调性求取值范围：通过设定面积的函数表达式，结合椭圆的对称性和函数的单调性，得出面积的取值范围.