精品解析：山西省大同市平城区恒德学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章第2节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在四面体中，，且，，则（ ）

A. B. C. D.
4. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（ ）

A. 3B. 4C. 6D. 9
6. 已知，双曲线的两个焦点为、，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A B. C. D.
7. 已知实数满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 在轴、轴上的截距分别为，的直线均可用方程表示
B. 方程（，为常数）不能表示垂直于轴的直线
C. 经过点的直线均可用方程（，不同时为0）表示
D. 经过两个不同的点x1,y1，x2,y2的直线均可用方程表示
10. 在正方体中，，，则（ ）
A. 若，则点的轨迹为线段
B. 若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段
C. 若，则三棱锥的体积为定值
D. 若，则与平面所成角的余弦值的最大值为
11. 已知圆，为圆上一点，点，，则（ ）
A. 当最小时，
B 当最大时，
C. 的取值范围为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆的焦距为2，则______．
13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______.
14. 已知为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于一条渐近线的直线交的右支于点，若，则的离心率______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求两焦点分别为，且过点的椭圆的标准方程；
（2）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程.
16. 已知圆和点.
（1）过点作一条直线与圆交于、两点，且，求直线的方程；
（2）过点作圆两条切线，切点分别为、，求所在的直线方程.
17. 如图，在以为顶点圆锥中，点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，为底面圆周上的两点，且为等边三角形，是母线的中点，.
（1）求平面ADE与平面ACE的夹角的余弦值；
（2）设AE与PO交于点，求直线CM与平面ADE所成角的正弦值.
18. 已知点A，B是椭圆的上、下顶点，点满足.
（1）求点的轨迹方程；
（2）是否存在点，使得过点的动直线交椭圆于M，N两点，且BM与BN的斜率之和为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
19. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.