数学人教A版 (2019)5.1.2 弧度制教案设计

这是一份数学人教A版 (2019)5.1.2 弧度制教案设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。


一、教学目标
1.理解并掌握弧度制的定义，并能熟练的进行角度制与弧度制的换算，提升学生的数学运算素养；
2.掌握运用弧度制表示的弧长公式，扇形面积公式；
3.通过弧度制的学习使学生理解并认识到，角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立，割裂的关系，提升学生逻辑推理素养.

二、教学重难点
重点：理解弧度的定义，熟练掌握弧度与角度的换算.
难点：理解弧度的定义，孤度制的产生过程和所蕴含的数学思想.

三、教学过程
（一）创设情境
生活中在度量时，会用到不同的单位制.比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制；度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.

思考：角的度量单位是什么呢？换算的进制是多少呢？它是否也能用不同的单位制呢？是否可以用十进制的实数来度量角的大小呢？
师生活动：教师展示生活中常见的度量工具，提出问题，引导学生思考角度的单位除了度还有哪种形式，引入本节课的内容.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：回顾角度制的概念.
思考：学过哪些度量角的单位？
答：度、分、秒.
思考：1°是如何定义的呢？
答：将一个圆的圆周分成360等份，每一份的圆弧所对的角叫做1°的角，即规定圆周的1360所对的角为1度的角.这种度量角的单位制叫做角度制.
思考：度、分、秒又如何换算呢？
答：度与分、分与秒之间一律采用六十进制.即1°=60′，1′=60″.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过回顾之前的知识，为本节课要突破和学习的重点知识内容做准备.
任务2：探究弧度制的概念
探究：弧度制是用弧长来度量圆心角的吗？弧长可以度量角吗？
答：如图5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB所形成角α.在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应圆心角α.
设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧长为l.
思考：圆心角α确定时，弧长l确定吗？弧长和圆心角有什么关系呢？
答：由初中所学知识可知：l=nπr180.于是lr=nπ180.
探究：如图5.1-10，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），OQ=r1在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1，l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？
答：当圆心角α不变时，lr=nπ180为定值.
所以，圆心角α所对的弧长与半径的比值只与角的大小有关.也就是说，这个比值随α确定而唯一确定.
所以可以用圆的弧长与半径的比值度量圆心角，而这种度量像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小.这就是度量角的另一种单位制——弧度制.
规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
思考：2弧度角怎样表示呢，5弧度角呢，α弧度角呢？
答：根据上述规定，在半径为r的圆中，弧长为l所对的圆心角为αrad，那么α=lr.
其中，α的正负由角α的终边旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.
口诀：逆正顺负.
思考：任意角α的弧度数怎么表示呢？
答：当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或小于−2π的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角.
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是个负数，零角的弧度数是 0.
任务3：探究角度制与弧度制的相互换算
思考：角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间如何换算呢?
答：因为周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，所以
360°=2πrad，180°=πrad
180°=πrad
1°=π180rad≈0.01745rad
1rad=180π0≈57.3°
思考：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？终边在坐标轴上的角如何表示？
答：与角α终边相同的角：β丨β=α+2kπ，k∈Z，
终边在x轴上：α丨α=kπ，k∈Z，
终边在y轴上：α丨α=π2+kπ，k∈Z.
探究：填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.
思考：任意一个实数都可以表示角吗？这种表示是唯一的吗？
答：对于任意一个实数α满足ir=α，那么l=αr，此时α绝对值的大小确定，再由α的旋转方向确定α的正负符号，所以任意一个实数都可以表示唯一确定的角.这样就在角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系.
（三）应用举例
例1：（1）把135°、240°、60°30′化成弧度.
（2）将3.14rad、π4rad、5π3rad换算成角度.
解：（1）135°=135×π180=3π4rad
240°=240×π180=4π3rad
因为60°30′=1352，
所以60°30′=1352×π180rad=38πrad.
（2）3.14rad=3.14×180π≈179.909°
π4rad=π4×180π=45°
5π3rad=5π3×180π=300°.
总结：角度与弧度的换算
①角度转弧度：弧度=角度×π180
②弧度转角度：角度=弧度×180π
例2：利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（1）l=αR；（2）S=12αR2；（3）S=12lR.
其中R是圆的半径，α0＜α＜2π为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.
证明：由公式α=lr可得：l=αR
下面证明（2）（3）.
半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是l=nπR180，S=nπR2360
将n°转化为弧度得：α=nπ180，所以S=12αR2
将l=αR代入上式得：S=12lR.
总结：扇形的弧长和面积公式的求解策略：
（1）记公式：弧度制下扇形的面积公式是S=12αR2=12lR
（其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π）.
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、而积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
例3：(1)时间经过4ℎ(时)，时针、分针各转了多少度?各等于多少弧度?
(2)有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次.你认为这种说法是否正确?请说明理由．
提示：从午夜零时算起，假设分针走了tmin会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，利用分针与时针转动的速度，建立t关于n的函数解析式，并求解.
解：(1)经过4小时，时针转了−30°×4=−120°，分针转了−4×360°=−1440°，
−120°=−120×π180=−2π3弧度；
−1440°=−1440×π180=−8π弧度.
(2)分针每比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了tmin会和时针重合，并且是第n此重合，则：
2π60⋅t−2π12×60⋅t=2πn；
∴n=11720t，n∈N∗；
最后一次相遇经过了24×60=1440min；
∴此时n=22，即时针和分针相遇22次；
∴重合24次的说法不正确．
例4：已知扇形的周长为30．
(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角α，弧长l及面积S；
(2)求该扇形面积S的最大值及此时扇形的半径．
解：设扇形的弧长为l，半径为r，
(1)则l+2r=30，r=10，则弧长l=10，则圆心角α= lr=1010=1，
所以扇形的面积S=12×10×10=50；
(2)由题设可得l=30−2r，
则扇形的面积为S=12lr=12×(30−2r)r=−r2+15r，
则当r=−b2a=152时，扇形面积取得最大值，
即S=−1522+15×152=2254，此时扇形半径为152．
设计意图：通过例题，让学生体会弧度制与角度制的相互转化，学会公式解决简单的实际问题.
（四）课堂练习
1.3π4对应的角度为( )
A. 75°B. 125°C. 135°D. 155°
解：∵1rad=180π°，∴3π4=(3π4×180π)°=135°，故选C．
2.角90°化为弧度制等于( )
A. π3B. π2C. π4D. π6
解：90°=π×90°180∘=π2．故选：B．
3.圆O的半径为R，A，B是圆弧上的两个点，则下列命题不正确的是( )
A. 若线段AB=R，则∠AOB=1弧度
B. 若圆弧上劣弧AB的长为R，则∠AOB=1弧度
C. 若AB是直径，则∠AOB=π弧度
D. 若线段AB= 3R，则∠AOB=23π弧度
解：∵圆O的半径为R，AB=R，∴∠AOB=π180°×60°=π3弧度，故A错误；
∵圆弧上劣弧AB的长为R，∴∠AOB=RR=1弧度，故B正确；
∵AB是直径，∴∠AOB=π180°×180°=π弧度，故C正确；
∵线段AB= 3R，则∠AOB=π180°×120°=2π3弧度，故D正确．
故选A．
4.一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形圆心角的弧度数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
解：设扇形的半径为r，圆心角为α，
根据扇形面积公式S=12lr得6=12×6×r，∴r=2．
又扇形弧长公式l=rα，∴α=lr=3．
5.已知扇形的圆心角为π3，半径为2，则扇形的弧长为( )．
A. π3B. 2π3C. π6D. 4+2π3
解：∵扇形的圆心角为α=π3，半径为r=2，∴扇形的弧长l=αr=π3×2=2π3．故选：B．
6.已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r.
(1)若α=60°，r=3，求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大?并求出最大面积．
解：设扇形的弧长为l．
(1)∵α=60°=π3，r=3，∴l=|α|r=π3×3=π．
(2)由题设条件知，l+2r=16，l=16−2r(0因此扇形的面积S=12lr=12(16−2r)r=−r2+8r=−(r−4)2+16，
∴当r=4时，S有最大值16，此时l=16−2r=8，α=lr=2，
∴当α=2时，扇形的面积最大，最大面积是16．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固角度制与弧度制的换算和弧长公式、扇形面积公式，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
角度制与弧度制的换算180°=πrad
1°=π180rad≈0.01745rad
1rad=180π0≈57.3°
弧长公式及扇形面积公式的推导及应用.
弧长公式：l=αR 扇形面积公式：S=12lR.
度
0°
30°
45°
120°
135°
150°
360°
弧度
π3
π2
π
3π2