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人教A版 (2019)必修 第一册5.1.1 任意角教案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1.1 任意角教案，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
1.理解任意角、象限角、相反角等相关概念并会用集合语言表示终边相同的角；
2.会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合; 掌握区间角的集合的书写；
3.通过对任意角相关概念的学习，体会角的概念的必要性，促进对数学知识形成过程的认识，用数学知识认识世界，从而培养善于思考、勤于动手的良好品质，提升数学抽象、直观想象等核心素养．
二、教学重难点
重点：任意角的概念，角的加减与旋转角，象限角的表示.
难点：终边相同角的表示，区间角的集合书写.
三、教学过程
（一）创设情境
情境：现实生活中，你接触过超出0°~360°范围的角吗？请举例说明.
答：1.体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出0°~360°范围的角，而且旋转的方向也不相同.
2.被动轮与主动轮中OA 绕点O 旋转所成的角与O'B 绕点O' 旋转所成的角就会有不同的方向.
3.钟表慢了 2小时，校准后分针转过的角度
师生活动：学生思考，教师多媒体出示出示体操比赛、齿轮传动以及时钟的图片.(体操:“前空翻转体度”，“后空翻转体度”.齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向相反(顺、逆时针).时钟：慢了 2小时，校准后分针转过的角度)
设计意图：创设课堂情境，使学生产生认知上的冲突，说明角的概念的推广的必要性，从而点明本节课的内容，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神.
（二）探究新知
任务1：任意角的概念
思考1：初中学过角的概念是什么？范围是多大?有哪些种类？
情境：定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
角的范围：0°~360°
角的种类：锐角、直角、钝角、平角、周角
设计意图：通过复习初中角的概念，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.通过复习初中角的概念，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.
说一说：用旋转来描述角，需要考虑什么？
答：旋转中心、旋转方向和旋转角度
设计意图：通过探究学习，培养学生数学抽象的核心素养.
思考2：根据情境中的案例，该如何度量生活中超出0°~360°范围的角？
答：上述案例中，角的度数已经不再局限在360°内，所以角的概念需进行推广.
旋转所成的角就会有不同的方向，因此要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广.
总结：(一)角的分类
1.三类不同角：
正角：一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.如：α=60º，α=425º.
负角：一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.如：α=﹣540º，α=﹣120º.
零角：一条射线没作任何旋转.(零角的始边与终边重合)
2.两类特殊角：
相等角：旋转方向相同，旋转量相同，称α=β.
相反角：旋转方向不同，旋转量相同的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为−α.
(二)角的计算
1.角的加法：设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边再旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.
2.角的减法：减去一个角等于加上这个角的相反角.即：α−β=α+(−β).
角的减法转化为角的加法，角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺”
设计意图：让学生尝试定义角的相等和加减法，体会定义的合理性．
任务2：象限角与终边相同的角
我们通常在直角坐标系讨论角，为了方便，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.
注意：如果角的终边落在坐标轴上，则该角称为轴线角.
设计意图：通过探究学习，使学生掌握象限角的判断方法，强化数学抽象的核心素养.
探究： 在直接坐标系中给定一个角有唯一的终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
各抒己见：请同学们先认真思考，再表达出自己的想法
答：不难发现，在图中，如果−32°角的终边是OB，那么328°，−392°，⋯角的终边都是OB，并且与−32°角终边相同的这些角都可以表示成−32°的角与k个(k∈Z)周角的和，如：
328°=−32°+360°(这里k=1)
−392°=−32°−360°(这里k=−1)
设S={β|β=−32°+k∙360°，k∈Z}，则328°， −392°角都是S的元素，−32°角也是S的元素(此时k=0).
因此，所有与−32°角终边相同的角，连同−32°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与−32°角的终边相同.
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合：S={β│β=α+k∙360°，k∈Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
如果角α与角β的终边相同，则：α−β=k∙360°，k∈Z.
在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置.因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.
设计意图：通过思考，进一步理解象限角的概念，让学生明确“锐角”“第一象限角”“小于的角”之间的关系，提高学生解决问题的能力，并让学生观察终边相同的角之间的关系，提高学生的观察、概括能力.
任务3：象限角和轴线角的集合
思考：请分别写出象限角和轴线角的集合
设计意图：通过思考，让学生观察终边相同的角之间的关系，提高学生的观察、概括能力.
（二）应用举例
例1：在0°~ 360°范围内，找出与−950°12′角终边相同的角，并断定它是第几象限角.
解：因为−950°12′=129°48′−3×360°，
所以在0°~ 360°范围内与−950°12′角终边相同的角是129°48′，
它是第二象限角.
设计意图：通过例题的讲解让学生进一步理解象限角，提高学生解决与分析问题的能力.
例2：写出终边在y轴上的角的集合.
解：在0°~ 360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°.
因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k∙360°，k∈Z}，
而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k∙360°，k∈Z}，
于是，终边在y轴上的角的集合：
S=S1∪S2
={β|β=90°+2k∙180°，k∈Z}∪{β|β =90°+180°+2k∙180°，k∈Z}
={β|β=90°+2k∙180°，k∈Z}∪{β|β =90°+(2k+1)∙180°，k∈Z}
={β|β=90°+n∙180°，n∈Z}.
设计意图：通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的能力.
例3：写出终边在y=x上的角的集合S.S中满足不等式−360°≤β≤720°的元素β有哪些？
解：如图，在直角坐标系中画出直线y=x，
可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°~ 360°范围内，
终边在直线y=x上的角有两个，45°，225°.
因此，终边在直线y=x上的角的集合：
S={β|β=45°+k∙360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k∙360°，k∈Z}
={β|β=45°+n∙180°，n∈Z}.
S中适合不等式−360°≤β≤720°的元素β有：
45°−2×180°=−315°，
45°−1×180°=−135°，
45°+0×180°=45° ，
45°+1×180°=225° ，
45°+2×180°=405° ，
45°+3×180°=585° .
总结：要表示终边在某一位置的角，可以先表示出终边在该位置的0°∼360°间的一个角，然后再加上k·360°.
设计意图：通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的能力.
例4：如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A={α|α=45°+k·360°,k∈Z}.
(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B={α|α=225°+k·360°,k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°，k∈Z}
={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°，k∈Z}
={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.
同理，得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β=60°+n·180°,n∈Z}，故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.
设计意图：通过分析解题思路，给出解答示范，提升学生推理论证的能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
课堂练习
1.下列说法正确的是( )
A. 第二象限角比第一象限角大
B. 60 ∘角与600∘角是终边相同角
C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为π3
2.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A. {α|α=k⋅360∘,k∈Z}B. {α|α=90∘+k⋅180∘,k∈Z}
C. {α|α=k⋅180∘,k∈Z}D. {α|α=k⋅90∘,k∈Z}
3.如果φ是第二象限角，那么φ2和90°−φ都不是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
4.终边为一、三象限角平分线的角的集合是( )
A. {α|α=2kπ+π4,k∈Z}B. {α|α=kπ+π2,k∈Z}
C. {α|α=2kπ+π2,k∈Z}D. {α|α=kπ+π4,k∈Z}
5.若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是( )
A. 30°<α<60° B. 120°<α<180°
C. 120°<α<210° D. 120°+360°·k⩽α⩽210°+360°·k,k∈Z
6.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90∘的角}，那么A，B，C关系是( )
A. B∪C=CB. B=A∩CC. A⫋CD. A=B=C
答：DDBDDA
设计意图：通过习题，让学生进一步巩固本节所学内容，并便于教师对学生掌握情况进行了解.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.
象限角
角的集合表示
第一象限角
{x|k∙360°第二象限角
{x|90°+k∙360°第三象限角
{x|180°+k∙360°第四象限角
{x|270°+k∙360°角α终边的位置
角α的集合表示
在x轴的非负半轴上
{α|α=k∙360°，k∈Z}
在x轴的非正半轴上
{α|α=180°+k∙360°，k∈Z}
在y轴的非负半轴上
{α|α=90°+k∙360°，k∈Z}
在y轴的非正半轴上
{α|α=270°+k∙360°，k∈Z}
在x轴上
{α|α=k∙180°，k∈Z}
在y轴上
{α|α=90°+k∙180°，k∈Z}
在坐标轴上
{α|α=k∙90°，k∈Z}
一、教学目标
1.理解任意角、象限角、相反角等相关概念并会用集合语言表示终边相同的角；
2.会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合; 掌握区间角的集合的书写；
3.通过对任意角相关概念的学习，体会角的概念的必要性，促进对数学知识形成过程的认识，用数学知识认识世界，从而培养善于思考、勤于动手的良好品质，提升数学抽象、直观想象等核心素养．
二、教学重难点
重点：任意角的概念，角的加减与旋转角，象限角的表示.
难点：终边相同角的表示，区间角的集合书写.
三、教学过程
（一）创设情境
情境：现实生活中，你接触过超出0°~360°范围的角吗？请举例说明.
答：1.体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出0°~360°范围的角，而且旋转的方向也不相同.
2.被动轮与主动轮中OA 绕点O 旋转所成的角与O'B 绕点O' 旋转所成的角就会有不同的方向.
3.钟表慢了 2小时，校准后分针转过的角度
师生活动：学生思考，教师多媒体出示出示体操比赛、齿轮传动以及时钟的图片.(体操:“前空翻转体度”，“后空翻转体度”.齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向相反(顺、逆时针).时钟：慢了 2小时，校准后分针转过的角度)
设计意图：创设课堂情境，使学生产生认知上的冲突，说明角的概念的推广的必要性，从而点明本节课的内容，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神.
（二）探究新知
任务1：任意角的概念
思考1：初中学过角的概念是什么？范围是多大?有哪些种类？
情境：定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
角的范围：0°~360°
角的种类：锐角、直角、钝角、平角、周角
设计意图：通过复习初中角的概念，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.通过复习初中角的概念，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.
说一说：用旋转来描述角，需要考虑什么？
答：旋转中心、旋转方向和旋转角度
设计意图：通过探究学习，培养学生数学抽象的核心素养.
思考2：根据情境中的案例，该如何度量生活中超出0°~360°范围的角？
答：上述案例中，角的度数已经不再局限在360°内，所以角的概念需进行推广.
旋转所成的角就会有不同的方向，因此要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广.
总结：(一)角的分类
1.三类不同角：
正角：一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.如：α=60º，α=425º.
负角：一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.如：α=﹣540º，α=﹣120º.
零角：一条射线没作任何旋转.(零角的始边与终边重合)
2.两类特殊角：
相等角：旋转方向相同，旋转量相同，称α=β.
相反角：旋转方向不同，旋转量相同的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为−α.
(二)角的计算
1.角的加法：设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边再旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.
2.角的减法：减去一个角等于加上这个角的相反角.即：α−β=α+(−β).
角的减法转化为角的加法，角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺”
设计意图：让学生尝试定义角的相等和加减法，体会定义的合理性．
任务2：象限角与终边相同的角
我们通常在直角坐标系讨论角，为了方便，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.
注意：如果角的终边落在坐标轴上，则该角称为轴线角.
设计意图：通过探究学习，使学生掌握象限角的判断方法，强化数学抽象的核心素养.
探究： 在直接坐标系中给定一个角有唯一的终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
各抒己见：请同学们先认真思考，再表达出自己的想法
答：不难发现，在图中，如果−32°角的终边是OB，那么328°，−392°，⋯角的终边都是OB，并且与−32°角终边相同的这些角都可以表示成−32°的角与k个(k∈Z)周角的和，如：
328°=−32°+360°(这里k=1)
−392°=−32°−360°(这里k=−1)
设S={β|β=−32°+k∙360°，k∈Z}，则328°， −392°角都是S的元素，−32°角也是S的元素(此时k=0).
因此，所有与−32°角终边相同的角，连同−32°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与−32°角的终边相同.
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合：S={β│β=α+k∙360°，k∈Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
如果角α与角β的终边相同，则：α−β=k∙360°，k∈Z.
在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置.因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.
设计意图：通过思考，进一步理解象限角的概念，让学生明确“锐角”“第一象限角”“小于的角”之间的关系，提高学生解决问题的能力，并让学生观察终边相同的角之间的关系，提高学生的观察、概括能力.
任务3：象限角和轴线角的集合
思考：请分别写出象限角和轴线角的集合
设计意图：通过思考，让学生观察终边相同的角之间的关系，提高学生的观察、概括能力.
（二）应用举例
例1：在0°~ 360°范围内，找出与−950°12′角终边相同的角，并断定它是第几象限角.
解：因为−950°12′=129°48′−3×360°，
所以在0°~ 360°范围内与−950°12′角终边相同的角是129°48′，
它是第二象限角.
设计意图：通过例题的讲解让学生进一步理解象限角，提高学生解决与分析问题的能力.
例2：写出终边在y轴上的角的集合.
解：在0°~ 360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°.
因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k∙360°，k∈Z}，
而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k∙360°，k∈Z}，
于是，终边在y轴上的角的集合：
S=S1∪S2
={β|β=90°+2k∙180°，k∈Z}∪{β|β =90°+180°+2k∙180°，k∈Z}
={β|β=90°+2k∙180°，k∈Z}∪{β|β =90°+(2k+1)∙180°，k∈Z}
={β|β=90°+n∙180°，n∈Z}.
设计意图：通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的能力.
例3：写出终边在y=x上的角的集合S.S中满足不等式−360°≤β≤720°的元素β有哪些？
解：如图，在直角坐标系中画出直线y=x，
可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°~ 360°范围内，
终边在直线y=x上的角有两个，45°，225°.
因此，终边在直线y=x上的角的集合：
S={β|β=45°+k∙360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k∙360°，k∈Z}
={β|β=45°+n∙180°，n∈Z}.
S中适合不等式−360°≤β≤720°的元素β有：
45°−2×180°=−315°，
45°−1×180°=−135°，
45°+0×180°=45° ，
45°+1×180°=225° ，
45°+2×180°=405° ，
45°+3×180°=585° .
总结：要表示终边在某一位置的角，可以先表示出终边在该位置的0°∼360°间的一个角，然后再加上k·360°.
设计意图：通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的能力.
例4：如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A={α|α=45°+k·360°,k∈Z}.
(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B={α|α=225°+k·360°,k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°，k∈Z}
={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°，k∈Z}
={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.
同理，得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β=60°+n·180°,n∈Z}，故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.
设计意图：通过分析解题思路，给出解答示范，提升学生推理论证的能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
课堂练习
1.下列说法正确的是( )
A. 第二象限角比第一象限角大
B. 60 ∘角与600∘角是终边相同角
C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为π3
2.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A. {α|α=k⋅360∘,k∈Z}B. {α|α=90∘+k⋅180∘,k∈Z}
C. {α|α=k⋅180∘,k∈Z}D. {α|α=k⋅90∘,k∈Z}
3.如果φ是第二象限角，那么φ2和90°−φ都不是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
4.终边为一、三象限角平分线的角的集合是( )
A. {α|α=2kπ+π4,k∈Z}B. {α|α=kπ+π2,k∈Z}
C. {α|α=2kπ+π2,k∈Z}D. {α|α=kπ+π4,k∈Z}
5.若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是( )
A. 30°<α<60° B. 120°<α<180°
C. 120°<α<210° D. 120°+360°·k⩽α⩽210°+360°·k,k∈Z
6.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90∘的角}，那么A，B，C关系是( )
A. B∪C=CB. B=A∩CC. A⫋CD. A=B=C
答：DDBDDA
设计意图：通过习题，让学生进一步巩固本节所学内容，并便于教师对学生掌握情况进行了解.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.
象限角
角的集合表示
第一象限角
{x|k∙360°
{x|90°+k∙360°
{x|180°+k∙360°
{x|270°+k∙360°
角α的集合表示
在x轴的非负半轴上
{α|α=k∙360°，k∈Z}
在x轴的非正半轴上
{α|α=180°+k∙360°，k∈Z}
在y轴的非负半轴上
{α|α=90°+k∙360°，k∈Z}
在y轴的非正半轴上
{α|α=270°+k∙360°，k∈Z}
在x轴上
{α|α=k∙180°，k∈Z}
在y轴上
{α|α=90°+k∙180°，k∈Z}
在坐标轴上
{α|α=k∙90°，k∈Z}
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