精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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高二数学
2024.11
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 圆圆心和半径分别是（ ）
A. ，1B. ，3C. ，2D. ，2
【答案】C
【解析】
【分析】直接由圆的标准方程，确定圆心和半径，即可得到答案．
【详解】由圆的标准方程，得圆心为，半径为2.
故选：C.
2. 经过两点，的直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用经过两点的直线斜率的计算公式，即可求解.
【详解】因为直线经过两点，，所以直线的斜率为，
故选：A.
3. 椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用椭圆的定义表达式，代值计算即得.
【详解】由椭圆方程：，可知，
因，故.
故选：D.
4. 已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可.
【详解】由题意得，解得．
故选：A.
5. 两平行直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由两直线平行求出，再代入两平行直线间距离公式求解即可；
【详解】由题意知，所以，
则化为，
所以两平行直线与之间的距离为．
故选：C．
6. 已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A. 1或B. 1C. 3D. 或3
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆方程可得，确定或，再根据圆关于直线对称可得圆心在直线上即可求解.
【详解】因为是圆的方程，
所以，解得或，
又因为圆的圆心为，
且圆关于直线对称，所以，
即，解得，（舍）或，
故选：C.
7. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线定义及焦点与准线距离列方程求参数即可.
【详解】
过分别向轴和准线做垂线,垂足分别为，
根据抛物线定义，有，
所以.
故选：A
8. 如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，进而可得.可求得，进而求得的范围即可.
【详解】设，
，，
.在△与△中：，
即：，
，
当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，
当与轴重合时，取最小，此时，
经上述分析得：，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的焦点三角形问题，考查焦点三角形内切圆，解题的关键是根据双曲线的性和圆的切线的性质得到的范围，数形结合的思的应用.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，且直线不经过第二象限，则，
B. 方程（）表示的直线都经过点
C. ，直线不可能与轴垂直
D. 直线的横、纵截距相等
【答案】BD
【解析】
【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到的不等式组，求解可判断A，利用直线过定点的求法可判断B，直接举例可判断C，求出直线的横、纵截距可判断D.
【详解】对于A，因为，所以可化为，
若直线不经过第二象限，则即，，故A错误；
对于B，直线方程可整理为，
由得
所以直线恒过定点2,1，故B正确；
对于C，当时，直线方程为，此时与轴垂直，故错误；
对于D，直线的横、纵截距均为，故正确．
故选：BD．
10. 已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C存在点P，使得
C. 直线与曲线C没有交点
D. 点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则
【答案】CD
【解析】
【分析】分的零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由对称性可得A错误；由双曲线的定义可得B错误；由渐近线方程可得C正确；由点到直线的距离公式可得D正确；
【详解】当时，曲线，即；
当时，曲线，即；不存在；
时，曲线，即；
时，曲线，即；
画出图形如下：

对于A，由图可得A错误，故A错误；
对于B，方程是以为上下焦点的双曲线，
当时，曲线C存在点P，使得，故B错误；
对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C没有交点，故C正确；
对于D，设，设点在直线上，点在直线，
则由点到直线的距离公式可得
，，
所以，
又点Q是曲线C上在第三象限内的一点，
代入曲线方程可得，故D正确；
故选：CD.
11. 已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）
A. 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为；
B. 在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3；
C. 阴影部分的面积为；
D. 阴影部分的内外边界曲线长为.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由“水滴”形状性质可得其与轴的上下两交点之间的距离最大，可得A正确；利用圆的参数方程以及三角函数值域可得B正确；由阴影面积形状并利用割补法求出阴影部分面积，可判断C错误；利用弧长公式计算可得D正确.
【详解】对于A，由于，令时，整理得，
解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A，
则点A的坐标为，点，
白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A正确；
对于B，由于，整理得：，
所以，所以到坐标轴的距离为或，
因为，
所以，，
所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；
对于C，由于，令时，整理得，
解得，
因为表示以为圆心，半径为的圆，
则，
且，则在x轴上以及x轴上方，
故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，
根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，
设，则，即所对的圆心角为，
同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为，
阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，
设，可得，所对的圆心角为，
同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为，
故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，
所以它的面积是.
轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，
第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，
且等于，
所以阴影部分的面积为，故C错误；
对于D，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，
轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，
所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：解答本题有三个关键，其一是写出圆的参数方程，设出点的坐标，其二是利用割补法求不规则图形的面积，其三是利用三角函数的值域求出图形与坐标轴的交点的坐标.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由离心率公式可得，根据双曲线的渐近线方程及斜率公式即可求解.
【详解】由题意，即，可得，
所以渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为和，
所以双曲线的两条渐近线所成的锐角为.
故答案为：.
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过点的直线交椭圆于A、B两点，若，则该椭圆的离心率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】设，利用椭圆定义和题设条件推得，再借助于，利用勾股定理计算即可求得离心率.
【详解】
如图，设，因为，所以．
由椭圆定义可知，，
由，可得，所以．
在中，由，可得，
即得，故得．
故答案为：.
14. 已知为曲线上的动点，则的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】化简曲线方程，三角换元，利用三角恒等变换化简后求最值即可.
【详解】曲线即，
由于在曲线上，令，
则，
（其中，，不妨设），
，又，，
当时取得最大值.
故答案为：
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的顶点坐标是为的中点.
（1）求中线方程；
（2）求经过点且与直线平行的直线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解；
（2）先求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
故的方程是，即；
【小问2详解】
因为直线的斜率，
所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.
16. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.
【答案】（1）
（2）23
【解析】
【分析】（1）利用点到直线的距离公式列和离心率列方程求，即可得到双曲线的方程；
（2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可.
【小问1详解】
由题意知，解得，
则，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
记双曲线的左焦点为，则，
可得，
当三点共线时，最小，
且最小值为.故的最小值为.
17. 已知，是抛物线：上的两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．
【答案】（1）．
（2）
【解析】
【分析】（1）由点在曲线上，建立方程组解出对应参数值，得到抛物线方程；
（2）由（1）写出直线方程，联立方程组，用韦达定理建立关系式，再利用基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
∵，是抛物线C：上的两点，
∴，则，整理得，解得，
当时，，解得，不合题意；
当时，，解得，故抛物线C方程为；
【小问2详解】
由（1）知C的焦点为，故直线l的方程为，
联立，得，必有，
设Px1,y1，Qx2,y2，则，
∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．

18. 椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.
①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析，定点；②
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆过的点列方程求解即可；
（2）①先联立方程组得出韦达定理再计算斜率和即可；②结合定点列出面积再换元得出面积的最大值.
【小问1详解】
椭圆：的焦点坐标为，
所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，
∵椭圆过点，
∴，
∴，，
∴椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设直线：（），
由，得，
设Mx1,y1，Nx2,y2，所以，，
所以
，
因为直线和的斜率互为相反数，
所以，所以，
所以，
所以.
即，所以，
因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点
②由①知，，
且，即，
又
令，则，
∴
（当且仅当时取“＝”）
∴
【点睛】关键点点睛：求面积最值的关键点是令换元得出再结合基本不等式计算即可得出最值.
19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”
（1）求点P所在曲线的方程.
（2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.
（ⅰ）求直线的方程.
（ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）存在，
【解析】
【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程；
（2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解；
（ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解.
【小问1详解】
因为点P为圆A的“黄金点”，
所以，即，
所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，
故点P所在曲线的方程为
【小问2详解】
（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则
所以，即点P在圆上，
则P是圆和的交点.
因为P，Q均为圆“”的“钻石点”，
所以直线即为圆和公共弦所在直线，两圆方程相减可得，
故直线的方程为.
( ii )设的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为.
直线的方程为，得的中点坐标为，
点S到直线的距离为，
则，所以圆H的方程为.
假设轴上存在点满足题意，设，.
若轴平分，则，即，
整理得
又，所以代入上式可得，
整理得①，
由可得，
所以，代入①并整理得，
此式对任意的都成立，所以.
故轴上存在点，使得轴平分.
【点睛】关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题.