高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时教案设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.借助单位圆的对称性，推导出正弦、余弦的第五、六组的诱导公式，培养数学抽象的核心素养；
2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，提升数学运算的核心素养；
3.解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题，强化逻辑推理的核心素养．

二、教学重难点
重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．
难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．

三、教学过程
（一）创设情境
回顾：关于α+2kπ(k∈Z)、π+α、−α、π−α的四组诱导公式
公式一：sin(α+k∙2π)=sinα,cs(α+k∙2π)=csα；tan(α+k∙2π)=tanα，其中k∈Z.
公式二：sinπ+α=−sinα ,csπ+α=−csα ,tanπ+α=tanα.
公式三：sin−α=−sinα ,cs−α=csα ,tan−α=−tanα.
公式四：sinπ−α=sinα ,csπ−α=−csα ,tanπ−α=−tanα.
这四组公式是“不变名的诱导公式”，它们的记忆规律是：函数名不变，符号看象限.
回顾这四组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以及角终边关于坐标轴的对称性得到的，那么单位圆中是否还存在其他特殊的对称关系？今天我们对诱导公式继续进行探究.
设计意图：通过复习上一节学习的诱导公式，用类比的方法、联系的观点引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力．
（二）探究新知
任务1：探究角α与角π2−α的三角函数值的关系
探究：如图所示，在平面直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1(x1,y1)，作点P1关于直线y=x的对称点P2(x2,y2).设以OP2为终边的角为β，
（1）P2(x2,y2)的坐标如何表示？
（2）角β，α的之间有什么关系?
（3）角β，α的三角函数值之间有什么关系?
答：P2(y1，x1)；β=(π2−α)+2kπ,k∈Z；
sin β=cs α,cs β =sin α.
因为点P2是点P1关于直线 y=x的对称点，所以x2=y1， y2=x1.根据三角函数的定义，得 sinα=y1， csα=x1，所以:
sin π2 −α =cs α,cs π2 −α =sin α.
师生活动：给出问题后，学生先独立思考，然后教师使用信息技术进行演示并讲解．
设计意图：“任务1”与第一课时的“探究1”一脉相承，研究方法相同，不同之处在于对称轴变为直线y=x，增加了推导的难度．将难点细化为问题串，引导学生逐个攻破，经历推导公式的过程，培养了学生的化归思想．
总结
公式五：sin π2 −α =cs α,cs π2 −α =sin α.
思考：诱导公式五有什么特点，如何记忆？
答：左右两边是异名的三角函数，右边的符号由π2 −α是第一象限角来确定.
任务2：探究角α与角π2+α的三角函数值的关系
探究：如图，作P2关于y轴的对称点，又能得到什么结论？
如果我们在先将点P1关于直线y=x对称得到点P2后，再将点P2关于y轴对称得点P3，则以OP3为终边的角为γ的三角函数与角α的三角函数又有什么关系？
答：γ=(π2+α)+2kπ,k∈Z，不妨取γ=π2+α
∵P3(−y1，x1)
∴有 sinπ2+α=x=csα， csπ2+α=−y=−sinα
思考：如图，在平面直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1，把OP1逆时针旋转π2交单位圆于点P3.

思考： 设以OP3为终边的角为β，角β，α的三角函数值之间有什么关系?
答：设P1(x1,y1)， P3(x2,y2)，因为把OP1逆时针旋转π2交单位圆于点P3，所以 ∠xOP1=∠yOP3，由相似可知x2=-y1， y2=x1.
根据三角函数的定义，得sinα=-y1， csα=x1，
故 sinπ2+α=y2=x1=csα， csπ2+α=x2=−y1=−sinα
总结：
公式六：sinπ2+α=csα；csπ2+α=−sinα.
思考：诱导公式六有什么特点，如何记忆？
左右两边是异名的三角函数，右边的符号由π2 +α是第一象限角来确定.
师生活动： 先由学生根据已有的经验，画出图形，得出两个角的终边与单位圆交点坐标之间的关系，从而得到公式．
设计意图： “任务2”与前面探究相比，采用的研究方法一样，通过引导学生进行更进一步的探索，任务1中对P1作了一次对称变换，对于任务2可以通过对P1作两次变换解决．通过对比感受数学的简洁美．
思考：你能用代数代换的角度，用前面的公式直接推导出公式六吗？
∵π2+α+π2−α=π
∴π2+α=π−π2−α
∴sinπ2+α=sin[π−π2−α]=sinπ2−α=csα
∴csπ2+α=cs[π−π2−α]=−csπ2−α=−sinα
总结：
公式五： sin π2−α=cs α,cs π2−α=sin α
公式六：sinπ2+α=csα；csπ2+α=−sinα.
公式五和公式六可概括为：函数名改变，符号看象限.
总结：
公式一：sin(α+k∙2π)=sinα,cs(α+k∙2π)=csα；tan(α+k∙2π)=tanα，其中k∈Z
公式二：sinπ+α=−sinα ,csπ+α=−csα ,tanπ+α=tanα.
公式三：sin−α=−sinα ,cs−α=csα ,tan−α=−tanα.
公式四：sinπ−α=sinα ,csπ−α=−csα ,tanπ−α=−tanα.
公式五： sin π2−α=cs α,csπ2−α =sin α
公式六：sinπ2+α=csα；csπ2+α=−sinα.
思考：1.说说诱导公式有怎样的结构？
公式一——公式四是同名函数间的变换，其中的两个角的终边或重合，或关于原点、坐标轴对称；
公式五——公式六是正余弦函数间的互变，其中的两个角的终边或关于直线y=x对称，或旋转了90∘.
2.说说你想如何记忆这些公式？
方法一：图形记忆

方法二：奇变偶不变，符号看象限
将α角看成一个锐角，涉及到π的整数倍（π2的偶数倍）时，函数名不变，涉及到π2的奇数倍（比如1倍）时，函数名互变，后面的符号由前面函数的正负来确定.
（三）应用举例
例1 (1)sin(3π2−α)=−csα; (2)cs(3π2+α)=sinα.
证明：(1)sin(3π2−α)=sin[π+(π2−α)]=−sin(π2−α)=−csα;
(2)cs(3π2+α)=cs[π+(π2+α)]=−cs(π2+α)=sinα.
例2 化简sin2π−αcsπ+αcsπ2+αcs11π2−αcsπ−αsin3π−αsin−π−αsin(9π2+α).
解：原式=(−sinα)−csα−sinαcs[5π+(π2−α)](−csα)sin(π−α)[−sin(π+α)]sin[4π+(π2+α)]=−sin2αcsα[−cs(π2−α)](−csα)sinα[−(−sinα)]sin(π2+α)=−sinαcsα=−tanα
总结：用诱导公式进行化简的注意点：
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用.
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围.
(3)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.
(4)常见的互余的角：π3−α与π6+α，π4+α与π4−α等，常见的互补的角：π6+α与5π6−α，π3+α与2π3−α，π4+α与3π4−α等.
例3 已知sin530−α=15,且−2700