高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第1课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第1课时教案，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.从三角函数的定义出发，借助单位圆关于原点的对称性，能推导π+α的正弦、余弦、正切，发展直观想象、逻辑推理素养；
2.通过类比公式二的推导过程，能自主探究−α，π−α的正弦、余弦和正切，得出公式三、公式四，获得基本思想，积累基本活动经验；
3.通过建立公式一~四之间的联系，能利用公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，会用公式一~四进行简单三角函数式的化简求值，发展数学运算的素养.

二、教学重难点
重点：诱导公式的探究与运用。
难点：π±α的诱导公式的推导及运用．

三、教学过程
（一）回顾旧知，导入新课
回顾：前面学习的诱导公式（一）的内容是什么？它的本质是什么？有什么作用？
答：sinα+2kπ=sinα，k∈Z
csα+2kπ=csα，k∈Z
tanα+2kπ=tanα，k∈Z
本质：终边相同的角的同一三角函数的值相等.
用途：把任意角的三角函数值，转化为0~2π上角的三角函数值.
单位圆
思考：我们是如何研究出这些公式的呢？
三角函数数值的关系
坐标间的关系
角的数量关系
情境：对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中−α、π±α、2π−α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？
枫叶完美对称
辽宁生命之环完美对称
南京眼的桥身完美对称

前面利用圆的几何性质，还得到了同角三角函数之间的基本关系，我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质，由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.
那么除了公式一，我们还可以利用圆的几何性质来推导出三角函数的哪些公式呢？
师生活动：教师带领学生回顾上节课的知识，提出问题，引导学生思考并引入本节课学习内容.
设计意图：通过回顾上节课的知识内容，提出问题，帮助学生巩固之前学过的知识，加强记忆，为学习新的内容打下坚实的基础，实现新旧知识的有效衔接，促进知识的迁移；同时借助生活中的建筑和自然界的枫叶对称性来让学生将知识与现实生活进行联系.
（二）探究新知
任务一：探究角π+α与α的三角函数值间的关系
探究：如图5.3-1，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1x1，y1
作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？
角β，α的三角函数值之间有什么关系？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：β=α+π+2kπ，其中k∈Z.
sinβ=sinα+π；csβ=csα+π；tanβ=tanα+π
思考：角π+α的终边与角α的终边有什么关系？
答：终边关于原点对称.
提示：角π+α还可看作是角α的终边按逆时针旋转角π得到.
思考：设角α的终边与单位圆相交于点P1x1，y1，那么角π+α与角α的三角函数有什么关系呢？
答：设P2x2，y2.因为P2是点P1关于原点的对称点.所以x2=−x1，y2=−y1.
根据三角函数的定义，得：
sinα=y1，csα=x1，tanα=y1x1，
sinπ+α=−y1，csπ+α=−x1，tanπ+α=y1x1，
所以可得公式二：sinπ+α=−sinα，csπ+α=−csα，tanπ+α=tanα.
任务二：探究角−α与α的三角函数值间的关系
探究：如果作P1x1，y1关于x轴的对称点P3x3，y3，以OP3为终边的角−α与角α的三角函数值有什么关系？
答：此时我们易得：P1x1，y1，P3x3，y3=x1，−y1
根据三角函数的定义，得：sinα=y1，csα=x1，tanα=y1x1，
sin−α=y3，cs−α=x3，tan−α=−y3x3，
所以可得公式三：
sin−α=−sinα，cs−α=csα，tan−α=−tanα.
任务三：探究角π−α与α的三角函数值间的关系
探究：作P1x1，y1关于y轴的对称点P4x4，y4，以OP4为终边的角π−α与角α三角函数有什么关系？
答：易得：P1x1，y1，P4x4，y4=−x1，y1
根据三角函数的定义，得：
sinα=y1，csα=x1，tanα=y1x1，
sinπ−α=y4，csπ−α=x4，tanπ−α=y4x4，
所以可得公式四：sinπ−α=sinα，csπ−α=−csα，tanπ−α=−tanα.
探究：你能用公式二和公式三推导出公式四吗？
答：sinπ−α=sinπ+−α=−sin−α=sinα，
csπ−α=csπ+−α=−cs−α=−csα，
tanπ−α=tanπ+−α=tan−α=−tanα.
总结：
公式一：sinα+2kπ=sinα，csα+2kπ=csα，tanα+2kπ=tanα.大化小，负化正
公式二：sinπ+α=−sinα，csπ+α=−csα，tanπ+α=tanα.大化小，锐角
公式三：sin−α=−sinα，cs−α=csα，tan−α=−tanα.负化正
公式四：sinπ−α=sinα，csπ−α=−csα，tanπ−α=−tanα.大化小，锐角
讨论：观察四组公式，如何用一句话来概括?
答：函数名不变，符号看象限
①“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；
②“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由新角所在象限确定符号.如sinπ+α，把α看成锐角，则π+α在第三象限，所以取负值，故sinπ+α=−sinα.
设计意图：利用单位圆的性质，推导公式二、三、四，，培养学生几何直观、数学抽象素养．
（三）应用举例
例1 利用公式求下列三角函数值：
（1）cs225°；（2）sin8π3；（3）sin−16π3； （4）tan−2040°
解：（1）cs225°=cs180°+45°=−cs45°=−22；
（2）sin8π3=sin2π+2π3=sin2π3=sinπ−π3=sinπ3=32；
（3）sin−16π3=−sin16π3=−sin5π+π3=−−sinπ3=32；
（4）tan−2040°=−tan2040°=−tan6×360°−120° =tan120° =tan180°−60° =−tan60° =−3
思考：由例 1，你对公式一~公式四的作用有什么进一步的认识?你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗?
答：利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
例2：若sinπ+α=12，α∈−π2，0，求tanπ−α.
解：因为sinπ+α=−sinα，根据条件得：sinα=−12，
又α∈−π2，0，所以csα=1−sin2α=32.
所以tanα=sinαcsα=−1232=−33.
总结：已知三角函数值求相关角的三角函数值
1.先利用诱导公式化简；
2.再根据题目条件求相关的三角函数值；
3.再利用对应的诱导公式求值.
例3 化简cs180°+αsinα+360°tan−α−180°cs−180°+α.
解：tan−α−180°=tan−α+180°=−tanα+180° =−tanα
cs−180°+α=cs−180°−α=cs180°−α =−csα
所以，原式=−csαsinα−tanα−csα=−csα
总结：利用诱导公式化简的一般思路：
切化弦，负化正、大化小；异名化同名，异角化同角.
设计意图：通过例题，让学生掌握公式二、三、四的运用.
（四）课堂练习
1.sin240∘=( )
A. −12B. 12C. 32D. − 32
解：sin240∘=sin180∘+60∘=−sin60∘=− 32．
故选：D.
2.sin−22π3=( )
A. 32B. − 32C. 12D. −12
解：sin (−22π3)=sin (−22π3+8π)
=sin (2π3)=sin (π−π3)=sin π3= 32．
故选：A．
3.化简： 1+2sin280∘⋅cs440∘sin260∘+cs800∘=( )
A. 1B. 0C. −1D. 2
解： 1+2sin280∘⋅cs440∘sin260∘+cs800∘
= 1+2sin360∘−80∘cs360∘+80∘sin180∘+80∘+cs720∘+80∘ = 1−2sin80∘cs80∘−sin80∘+cs80∘ = sin80∘−cs80∘2−sin80∘+cs80∘，
因为sin80∘>cs80∘，
所以原式=sin80∘−cs80∘−sin80∘+cs80∘=−1．
故选：C
4.求证：tan(2π−α)cs(−4π−α)cs(6π−α)sin(α−2π)cs(α−4π)=−1．
证明：左边=tan (−α)cs (−α)cs (−α)sin αcs α
=−tan αcs αcs αsin αcs α=−sin αcs α⋅cs αsin α=−1=右边，
所以原等式成立．
故tan(2π−α)cs(−4π−α)cs(6π−α)sin(α−2π)cs(α−4π)=−1．
5.解答下列问题：
已知角α是第三象限角，且f(α)=sin (−α+3π)cs (2π−α)tan (α+π)tan (−α−π)sin (−π−α)．
(1)化简f(α)；
(2)若sin (α−π)=15，求f(α)的值；
(3)若α=−2310°，求f(α)的值．
解：(1)f(α)=sin (−α+3π)cs (2π−α)tan (α+π)tan (−α−π)sin (−π−α)=sin αcs αtan α−tan αsin α=−cs α．
(2)∵sin (α−π)=15，
∴sin α=−15，
∵α是第三象限角，
∴csα=−1−sin2α=−265，
∴f(α)=−csα=265．
(3)∵α=−2310°=−(6×360°+150°)，
∴csα=cs(−150°)=cs150°=−32，
∴f(α)=−csα=32.
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固二、三、四，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？