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    四川省成都列五中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
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    四川省成都列五中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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    二、多项选择题:9.BD 10.AC 11.ABD
    填空题:本题共3小题,每小题5分,共计15分.
    12. 13. 14.
    四、解答题:本题共5小题,共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.解:(1)设事件A表示“甲考生获得决赛资格”,设事件B表示“乙考生获得决赛资格”,
    由题意可知事件A、B相互独立.因为两轮选拔之间相互独立,
    所以,.………………………………………………4分
    则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为:
    所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率.……………………7分
    (2)设事件C表示“丙考生获得决赛资格”,则.…………………………9分
    因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格”
    所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为
    …………………13分
    16.(本小题满分15分)
    解:(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7,
    所以,解得,……………………………………2分
    所以前两组的频率之和为,即,所以.…………4分
    (2)众数为
    平均数为,
    前两个分组频率之和为0.3,前三个分组频率之和为0.75,
    所以分位数在第三组,且为.………………………………8分
    (3)第四、第五两组志愿者分别有20人,5人,采用分层抽样的方法从中抽取5人,
    则第四组抽4人,记为,第五组抽1人,记为,……………………………10分
    则从这5人中选出2人,有共10种结果,…………………………………………………………………………………12分
    两人来自不同组有共4种结果,……………………………14分
    所以两人来自不同组的概率为.………………………………………………15分
    17.(本小题满分15分)
    解:(1)当直线斜率不存在时,,此时点到直线的距离1,符合要求;…2分
    当直线斜率存在时,设,即,
    则有,解得,故;
    综上所述,直线的方程为或;………………………………………………5分
    (2)当直线在两坐标轴上截距都为0时,设直线的方程为,因为直线过点,所以,解得,此时直线的方程为…………………………………7分
    当直线在两坐标轴上截距不为0时,由已知设直线的方程,因为直线过点,所以,此时直线的方程为
    综上所述,直线的方程为或;………………………………10分
    (3)如图,设,则,,
    即,
    由,则,
    故当时,有.………15分
    18.解:(1)因为,,,所以四边形为矩形,
    在中,,,,
    则,,,
    又平面平面,平面,平面平面,
    平面;……………………………………………………………………5分
    (2)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,
    ,,可得,
    则,,,,,
    设平面的法向量为,,,
    由,令,则,即,
    设平面的法向量为,,
    由,令,则,,即,
    则,
    二面角的正弦值为; ……………………………11分
    (3)由点为靠近点的的四等分点,故,
    则,
    又平面的法向量为,
    故直线与平面所成的角的正弦值为:

    即直线与平面所成的角的余弦值为.……………17分
    19.(本小题满分17分)
    解:(1)连接,因为为棱台,所以四点共面,
    又因为四边形为菱形,所以,
    因为平面,平面,所以,
    又因为,且平面,
    所以平面,因为平面,所以;……………5分
    (2)取中点,连接,
    因为底面是菱形,且,所以是正三角形,
    所以,即,由于平面,以为原点,
    分别以为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
    因为,,
    则,
    设,则,,
    ,,
    设平面的法向量为,
    则有,令,则,,即,
    由平面,则,即有,
    解得,即;…………………………………………………………………11分
    (3)假设点存在,设点的坐标为,其中,可得,
    设平面的法向量,则,
    令,即,所以,
    又由平面的法向量为,所以,解得,
    由于二面角为锐角,则点在线段上,所以,即,
    故棱上存在一点E,当时,二面角的余弦值为.…………17分
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