高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切第1课时教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切第1课时教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时 两角差的余弦公式

一、教学目标
1．理解两角差的余弦公式的推导过程，掌握两角差的余弦公式的内容；
2．能够运用两角差的余弦公式进行三角函数的化简、求值和证明；
3．引导学生运用多种方法推导公式，培养学生的创新意识和探索精神，通过对公式的推导，培养学生的逻辑推理能力、分析问题能力和解决问题能力；
4．在公式运用过程中，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法．

二、教学重难点
重点：借助图形，与之前所学内容相结合，掌握两角差的余弦公式的内容及应用.
难点：掌握数形结合的学习方法，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通，提升直观想象与数学运算的核心素养.

三、教学过程
（一）创设情境
公式一：sinα+k∙2π=sinα，csα+k∙2π=csα，tanα+k∙2π=tanα
公式二：sinπ+α=−sinα，csπ+α=−csα，tanπ+α=tanα.
公式三：sin−α=−sinα，cs−α=csα，tan−α=−tanα．
公式四：sinπ−α=sinα，csπ−α=−csα，tanπ−α=−tanα．
公式五：sinπ2−α=csα，csπ2−α=sinα．
公式六：sinπ2+α=csα，csπ2+α=−sinα．
观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的差的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？
师生活动：教师带领学生观察诱导公式，引导学生思考两个任意角的差的三角函数与这两个任意角的三角函数之间的关系，引出本节课内容，方便学生理解.
设计意图：通过诱导公式思考两个任意角的差的三角函数与这两个任意角的三角函数之间的关系，引出本节课的内容.使学生体会到知识点之间的联系，将知识融会贯通. 提升学生举一反三的能力和逻辑推理的核心素养.
（二）探究新知
任务1：探究csα−β与角α，β的余弦之间的关系．
思考1：当α≠2kπ+β，k∈Z时，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α−β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1，A1，P，请问这三个点的坐标是什么呢？
答：P1csα，sinα，A1csβ，sinβ，Pcsα−β，sinα−β.
思考2：连接A1P1，AP，你能表示出这两条线段的长度吗？他们的长度之间有什么大小关系呢？
提示：两点间的距离公式：平面上任意两点P1x1，y1，P2x2，y2间的距离公式P1P2=x2−x12+y2−y12．
圆的旋转对称性：任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫作圆的旋转对称性．
答：根据两点间的距离公式可知：AP=csα−β−12+sin2α−β；A1P1=csα−csβ2+sinα−sinβ2.
若把扇形OAP 绕着点O 旋转β角，则点 A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知， EQ \\ac(⁀,AP)与 EQ \\ac(⁀,A1P1)重合，从而 EQ \\ac(⁀,AP)= EQ \\ac(⁀,A1P1)，所以 EQ \\ac(⁀,AP) = EQ \\ac(⁀,A1P1)
师生活动：首先，教师借助单位圆作角α，β，α−β，然后，引入两点间的距离公式和圆的旋转对称性，通过问答的方式引导学生思考，逐步完成这部分的教学.
设计意图：通过数形结合的方式，帮助学生更加直观地理解这部分内容.在作图的过程中，培养学生直观想象的核心素养.通过两点间的距离公式计算出A1P1和AP的长度，培养学生数学运算的核心素养.通过圆的旋转对称性推导出A1P1，AP的长度大小关系，培养学生逻辑推理的核心素养.
思考3：你能总结出csα−β与角α，β的余弦之间的关系吗？
答：当α≠2kπ+β，k∈Z时，
A1P1=csα−β−12+sin2α−β；AP=csα−csβ2+sinα−sinβ2．
又已知A1P1=AP，
所以csα−β−12+sin2α−β=csα−csβ2+sinα−sinβ2，
化简得，csα−β=csαcsβ+sinαsinβ.
当α=2kπ+β，k∈Z时，上式显然成立，
所以对于任意角，有csα−β=csαcsβ+sinαsinβ.
师生活动：教师带领学生计算当A1P1=AP时，csα−β与角α，β的余弦之间的关系，分α≠2kπ+β，k∈Z与α=2kπ+β，k∈Z两种情况进行讨论，最后得出结论.
设计意图：通过计算当A1P1=AP时，csα−β与角α，β的余弦之间的关系，培养学生数学运算的核心素养.最后由学生自己总结出最终结论，加深学生对本节内容的理解.
总结：差角的余弦公式：
对于任意角α，β有csα−β=csαcsβ+sinαsinβ．Cα−β此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α−β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作Cα−β．
公式特征：
(1)公式中的α，β是任意角；
(2)公式的结构特点：左边是“两角差的余弦值”，右边是“这两角余弦积与正弦积的和”；
(3)公式两边符号相反．
（三）应用举例
例1：利用公式Cα−β证明：(1)csπ2−α=sinα；(2)csπ−α=−csα．
证明：(1)csπ2−α=csπ2csα+sinπ2sinα=0+1×sinα=sinα．
(2)csπ−α=csπcsα+sinπ=−1×csα+0=−csα．
总结：在利用公式Cα−β进行证明或计算时，关键是牢记差角的余弦公式：csα−β=csαcsβ+sinαsinβ．记忆规律为“余余正正，符号相反”．“余余正正”表示展开的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相反.
例2：已知sinα=45，α∈π2，π，csβ=−513，β是第三象限角，求csα−β的值.
解：由sinα=45，α∈π2，π，得csα=−1−sin2α=−1−452=−35．
又由csβ=−513，β是第三象限角，得sinβ=−1−cs2β=−1−−5132=1213．
csα−β=csαcsβ+sinαsinβ=−35×−513+45×−1213，
求得csα−β=−3365．
总结：解决此类问题的方法步骤：
第一步，确定解题依据的是哪个公式(本节用到的都是两角差的余弦公式)；
第二步，牢记公式内容，与公式相比较，观察题目的形式特点，确定需要求出哪些值；
第三步，根据第二步得到的方案先求值，再代入，解决问题.
例3：已知sinα=35，则csπ4−α的值可能为 ( )
A.−25B.−210C.7210D.−7210
解：∵sinα=35，∴csα=±45，当csα=45 时，csπ4−α=csπ4csα+sinπ4sinα=22×45+22×35=7210，当csα=−45 时，csπ4−α=csπ4csα+sinπ4sinα=22×−45+22×35=−210，故答案为BC.
例4：已知α，β∈0，π2，且sinα=45，csα+β=−1665，求csβ的值．
解：因为α，β∈0，π2，所以0