广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，文件包含广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题docx、2数学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（课本P23第7题）已知，，求=（ ）
A．（-1，9，-4）B．（5，1，-10）C．（1，-1，4）D．（-5，-1，10）
【答案】D
【解析】【详解】因为，，所以故选：D．
（课本P55第3题改编）若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】由直线经过两点，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，有，又，所以.故选：C.
（改编课本88页练习第1题）圆x2+y2+2x−4y+3=0的圆心和半径分别为（ ）
A. B．， C． D．
【答案】A
【解析】D=2,E=-4,F=3圆心为(−D2,-E2)=（-1，2）,r=D2+E2−4F2=2，故选A
4. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】对于C，因为，，
则在方向上的投影向量为，故选B
5.(改编课本91页例1)直线l：3x+4y−1=0与圆C：(x−2)2+y2=4的位置关系为（ ）
A.相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】A
【解析】 圆C的圆心，半径为
圆心到直线3x+4y−1=0的距离为，则圆与直线相交，故选A
6.（课本P7例2改编）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】因为
所以
，即，故选D
7.（改编课本65页第3题）已知直线l的方程是，下列正确的是（ ）
A. 当时，直线l的斜率为0
B.当时，直线l与y轴的截距为
C. 当且不同时为0，方程表示经过原点的直线
D.当不同时为0，直线l与直线平行
【答案】C
【详解】对于A，当，直线的方程为，即，此时直线l的斜率不存在，A错误；
对于B，当时，直线l化成斜截式为，所以截距为，B错误；
对于C，因为直线过原点，所以，
所以当且不同时为0时，方程表示经过原点的直线,C正确；
对于D，直线l与直线垂直，D错误.故选C
8．（改编课本10页第6题）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论不正确的是（ ）
A．异面直线与所成角为60° B．平面
C．三棱锥的体积不变
D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为
【答案】D
【分析】选项A：利用异面直线的夹角求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可.选项C：利用等体积法求解即可，选项D：利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围.
【详解】
对于A，因为正方体中，故异面直线与夹角为，
故A错正确；
对于B，由正方体的性质可知，，面，
平面，又因为面
，同理可得平面，又因为面，
又因为面,平面，故B正确；
对于C，因为面,面，所以面
所以为定值，故C正确；
对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，
，，，，，则，
所以，
由正方体的性质知：平面的法向量为，
直线与平面所成角正弦值为，
因为，，所以当时取得最大值，若时取得为，所以，故D错误.故选：D
多选题
9．设，向量，，，且，，则下列正确的（ ）
x=2B．y=4C．6D．
【答案】AC 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可.
【详解】
对于A，因为，，，所以，所以，A正确；
对于B，因为，，，所以，所以，B正确；
对于C，，，可得，所以，C正确；
对于D，，D错误 故选：AC.
10．（课本P92例2改编）已知圆，点，下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆外 B．点是的定点
C. 已知，过点B作圆的最短弦长为22
D．过点作圆:的切线，则的方程为
【答案】ABC
【详解】圆的圆心为，半径为，
A选项，AO1=2−02+0−12=5>，得点A在圆外，A正确；
B选项，直线，过定点，B正确；
C选项，当弦垂直于时，弦长最短，BO1=1−02+0−12=2，最短弦长为
对于D，点在圆外，过A点作圆的切线有2条，还有一条直线过点，且与圆
相切，D错误. 故选：ABD
11．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A. 当b=0时，a=1
B．当时，曲线为圆心为，半径为圆的一部分
C．曲线有4条对称轴，且围成的图形面积为
D．当点P在第四象限，的最大值是1
【答案】BCD 【详解】对于A中，当b=0时，a=±1或者a=0，所以A错误，
对于B中，当时，原方程化为，即，
所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分，所以B正确，
对于C中，又由图象关于轴，轴对称，所以曲线如上图所示，
由图象可得，该曲线关于轴，轴，和对称，所以该曲线有4条对称轴，
曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成，
所以面积为，所以C正确；
对于D中，设表示点与点确定的直线的斜率，
设该直线方程为，结合图象，当，即，
则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时，
该切线的斜率是的最大值，由，可得，解得或（舍），则的最大值为1，所以D正确. 故选：BCD.
三．填空题
12．（改编课本P64第2题）
已知直线的方程为那么此直线在轴上的截距为 ．
【答案】-5
【解析】由直线的点斜式方程得直线在轴上的截距为-5.
13.直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为 .
【答案】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得.
【详解】依题意，，
所以点到的距离.故答案为：.
14.著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为 ．
【答案】 【解】设，
则，
∴的几何意义为点与两定点，之间的距离之和．
如图所示：
设点关于x轴的对称点为，则的坐标为（2，－4）．
则，，要求的最小值，即求的最小值，
又，即的最小值为．故答案为：.
四．解答题
15.（13分）（改编课本P41第2题）如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
（1）求平面的一个法向量．（2）求直线与平面所成的线面角的正弦值；
【答案】(1)； (2)
解：（1）易知，，，. ---------------2分
(1) ，， ---------------3分
设面的法向量为，则 ，
即，取 ，则 ，---------------5分
所以平面的一个法向量为 ---------------6分
(2)，， ---------------7分
设面的法向量为，则 ，
即，取 ，则 ， ---------------9分
设直线与平面所成的线面角为，又--------------10分
则 --------------12分
所以直线与平面所成的线面角的正弦值为 --------------13
16．（15分）（改编课本P12例1）已知正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点.（1）用AB，AC，AD表示AG，EG；(2)求AG⋅AB的值；
【解】（1）在正四面体ABCD中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点，AF=12(AC+AD) ---------------1分
AG=12AF=12×12(AC+AD)=14AC+14AD， ---------------3分
EG=EB+BA+AG=−AB+12CB+14AC+14AD --------------5分
=−AB+12(AB−AC)+14AC+14AD --------------6分
=−12AB−14AC+14AD. --------------7分
正四面体ABCD的棱长为1，
故AB=1，AC=1,AB⋅AC=60°,AB⋅AD=60° --------------9分
则AB⋅AC=ABACcsAB⋅AC=1×1×cs60∘=12-------------11分
AB⋅AD=ABADcsAB⋅AD=1×1×cs60∘=12-------------13分
所以AG⋅AB=(14AC+14AD)⋅AB=14AB⋅AC+14AB⋅AD=14.-------------15分
（改编课本P67第9题）(15分）已知的三个顶点为.(1)求AC边上的高BD所在直线的方程；（5分）
(2)求边上的中线所在直线的方程；（5分）
(3)求三角形ABE的面积.(5分)
【答案】(1)；(2).（3）5
【解析】（1）因为的三个顶点为，
所以直线的斜率为， --------2分
所以边上的高所在直线的斜率为， --------3分
所以直线的方程为 --------4分
化为一般式方程为 --------5分
（2）因为，所以的中点为， --------6分
又因为，所以直线的斜率为 --------8分
所以直线的点斜式方程为 --------9分
化为一般式为. --------10分
（3）由（2）得直线的方程为
则点B到直线的距离为 --------12分
AE= --------13分
所以 --------15分
18．（17分）（改编课本88页第2题）已知圆C经过点，且圆心为C(2，0)．
(1)求圆C的标准方程；（3分）
(2)直线经过点，且与圆C相交所得弦长为，求直线的方程；（6分）
(3)求与圆C关于直线对称的圆D的一般方程．（8分）
答案：(1)(2)或(3)
【详解】（1）设圆C的圆的半径为，
因为圆C经过点，故 --------1分
所以圆C的方程为． --------3分
（2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为-------4分
设直线方程为，即， -------5分
则 -------6分 解得，， -------8分
∴直线的方程为或 ．-------9分
（3）由题意得圆C和圆D的圆心C和圆心D关于直线对称，且半径相同--10分
直线的斜率为K=-1 ------12分
设圆心D，则C,D的中点坐标为，，则------15分 解得------16分
所以圆D的标准方程为，一般方程为-----17分
19.（17分）（改编课本P48第8题）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，G为线段BB1上一点.
求证：EF⊥CF；（2）求点B到平面CEF的距离；
（3）当BG为何值时，平面CGF与平面CEF所成的夹角的余弦值为13.
19.【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz，------1分（不标坐标系扣1分）
则E0,0,12,F12,12,0,C0,1,0,G1,1,12. ------3分
（1）EF=12,12,−12，CF=12,−12,0， ------4分
则EF⋅CF=12×12+12×−12+−12×0=0 ------5分
∴EF⊥CF，∴EF⊥CF ------6分
（2）由（1）得EF=12,12,−12，CF=12,−12,0，
设平面CEF的法向量为m=x,y,z
则 ，即 ，则 ---------8分
所以点B到平面CEF的距离为 ---------10分
（3）设，故，， --------11分
由（1）得CF=12,−12,0 -设面CGF的法向量为
则 ，即 ，则 --------13分
设平面CEF的法向量为，则--------15分
解得 --------16分
则时，平面CGF与平面CEF所成的夹角的余弦值为13. --------17分