2023-2024学年安徽省马鞍山市和县九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年安徽省马鞍山市和县九年级（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列事件，是随机事件的是（ ）
A．一个三角形的内角和为181°
B．掷一枚骰子，向上一面点数大于0
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．3人分成两组一定有2人分在一组
3．（4分）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+4
4．（4分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．最大值是2
5．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
6．（4分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠AOC＝90°，∠ACB＝25°，则∠BOC的度数是（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
7．（4分）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
8．（4分）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），将△ABC绕点A逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（3，﹣3）D．（2，﹣4）
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，△APQ的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，点F在边AC上，并且CF＝4，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A．1.8B．2.4C．3.2D．3.6
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）若关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
12．（5分）如图，2×2的正方形网格中，格点O是半径为2的圆的圆心，则图中两个小扇形（阴影部分）的面积之和为 （结果保留π）．
13．（5分）若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的两个根分别是﹣1和3（a，m，b均为常数，a≠0），则抛物线y＝a（x+m+4）2+b与x轴的交点坐标是 ．
14．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣a，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点（1，4），则b＝ ；
（2）该抛物线经过点A（2，﹣a），已知点B（1，﹣a），C（2，4），若抛物线与线段BC有交点，则a的取值范围为 ．
三、解答题（共9题，共90分）
15．（8分）按要求解方程：x2+3x+1＝0（公式法）．
16．（8分）在如图所示的直角坐标系中，画图并解答下列问题：
（1）分别写出A、B两点的坐标；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；
（3）求△ABC的面积．
17．（8分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）若x＝1是方程的一个根，求实数m的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
19．（10分）国际数学家大会（ICM），是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．李颖和汪洋两人想通过玩游戏的方式，了解关于国际数学家大会的一些常识，他们给一个不透明的袋子里装了四个分别标有A、B、C、D的小球，这些小球除所标字母不同外其他都相同，汪洋先从四个小球中随机摸出一个，李颖再从剩下的三个小球中随机摸出一个，然后两人按照如下所示各自搜索并回答自己所摸小球上字母对应的问题．
A．第几届国际数学家大会是在中国举行的？
B．首届国际数学家大会是在哪一年举行的？
C．哪一届国际数学家大会在世界上创造了四个第一？
D．2022年的国际数学家大会的举行日期是什么时候？
（1）汪洋随机摸出的一个小球是小球A的概率为 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法求游戏结束后，两人恰好回答完A、B两个问题的概率．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分∠CAB．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．
21．（12分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
22．（12分）定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”．
（1）如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等；
（2）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系．
23．（14分）如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．解：选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．解：A、一个三角形的内角和为181°，是不可能事件，不符合题意；
B、掷一枚骰子，向上一面点数大于0，是必然事件，不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，符合题意；
D、3人分成两组一定有2人分在一组，是必然事件，不符合题意；
故选：C．
3．解：把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2+4．
故选：A．
4．解：由y＝（x﹣1）2+2得，开口向上，故选项A错误，不符合题意；
对称轴为直线x＝1，故选项B错误，不符合题意；
顶点坐标为（1，2），故选项C正确，符合题意；
最小值为2，故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
5．解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，
所以+＝＝﹣．
故选：D．
6．解：∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝40°，
故选：C．
7．解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
8．解：∵A（﹣1，0），
∴点B点坐标（3，3），
∴△ABC绕点A逆时针旋转第一次旋转90°后，B（﹣4，4），
△ABC绕点A逆时针旋转第二次旋转90°后，B（﹣5，﹣3），
△ABC绕点A逆时针旋转第三次旋转90°后，B（2，﹣4），
△ABC绕点A逆时针旋转第四次旋转90°后，B（3，3），
∵2023÷4＝505⋯3，
∴△ABC绕点A逆时针旋转第2023次旋转90°后，B（2，﹣4），
故选：D．
9．解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；
②当2＜x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）
＝﹣x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选：A．
10．解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小），
∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴，
∵CF＝4，AC＝12，BC＝16，
∴AF＝4，AB＝＝20，
∴＝，
∴FM＝6.4
∵PF＝CF＝4，
∴PM＝2.4
∴点P到边AB距离的最小值是2.4．
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11．解：∵关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故答案为：a≠1．
12．解：由题意，得
两个扇形的半径都是1，
由直角三角形两锐角互余，得两个扇形的圆心角的和等于90°，
两个扇形的面积的和等于圆的面积的，即小扇形的面积的和是π×22＝π，
故答案为：π．
13．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的两个根分别是﹣1和3且a≠0，
∴二次函数y＝a（x+m）2+b与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∵抛物线y＝a（x+m+4）2+b是由抛物线y＝a（x+m）2+b向左平移4个单位得到的，
∴抛物线y＝a（x+m+4）2+b与x轴的交点坐标是（﹣5，0），（﹣1，0），
故答案为：（﹣5，0），（﹣1，0）．
14．解：（1）将（1，4）代入y＝ax2+bx﹣a得，
4＝a+b﹣a，
解得b＝4，
故答案为：4．
（2）将A（2，﹣a）代入y＝ax2+bx﹣a得，
﹣a＝4a+2b﹣a，
解得b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣a
＝a（x﹣1）2﹣2a，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2a），
当a＞0时，抛物线开口向上，顶点在点B下方，
∵抛物线经过（2，﹣a），
∴点C在抛物线上方，
∴抛物线与线段BC无交点，
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵﹣2a＞﹣a，
∴抛物线顶点在点B上方，
当点C在抛物线上或抛物线上方时满足题意，
即4≥﹣a，
解得a≥﹣4，
故答案为：﹣4≤a＜0．
三、解答题（共9题，共90分）
15．解：x2+3x+1＝0，
这里a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5＞0，
∴，
∴，．
16．解：（1）A（2，0），B（﹣1，﹣4）；
（2）如图，△AB1C1为所作，
（3）△ABC的面积＝4×4﹣﹣﹣＝．
17．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
18．（1）解：将x＝1代入原式，得1+（m+3）+m+1＝0；
解得m＝﹣；
（2）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）＝（m+1）2+4＞0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
19．解：（1）∵有A、B、C、D4个小球，
∴汪洋随机摸出的一个小球是小球A的概率为．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好回答完A、B两个问题的情况有2种，
∴两人恰好回答完A、B两个问题的概率为．
20．（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠DAE，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠AEO，
∴AC∥OE，
∵∠C＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是半圆O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OEB＝90°，∠B＝30°，AB＝12，
∴，OB＝2OE，
∵OE＝OD，
∴OD＝BD，
∴OA＝OE＝OD＝BD＝4，
∴AD＝8，
∵AD是半圆O的直径，
∴∠C＝∠DFA＝90°，
∴DF∥BC，
∴∠B＝∠FDA＝30°，
∴，
∴CF＝AC﹣AF＝2，
21．解：（1）依题意得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；
（2）依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x2＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
（3）设每月总利润为w元，
依题意得w＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣5＜0，此图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
22．解：（1）△ABD和△ACE全等，理由：
∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）DC和BE的位置及大小关系为：DC＝BE，DC⊥BE，理由：
∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠EBC+∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠DCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴DC⊥BE．
23．解：（1）设y＝ax（x﹣4），
把A点坐标（3，3）代入得：
a＝﹣1，
函数的解析式为y＝﹣x2+4x，
答：二次函数的解析式是y＝﹣x2+4x．
（2）解：0＜m＜3，PC＝PD﹣CD，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+4x上，C在OA上，A（3，3），
∴P（m，﹣m2+4m），C（m，m）
∴PC＝PD﹣CD＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，
＝﹣+，
∵﹣1＜0，开口向下，
∴有最大值，
当D（，0）时，PCmax＝，
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．
（3）当0＜m＜3时，仅有OC＝PC，
∴，
解得，
∴；
当m≥3时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣3m，
OC＝，
由勾股定理得：OP2＝OD2+DP2＝m2+m2（m﹣4）2，
①当OC＝PC时，，
解得：或m＝0（舍去），
∴；
②当OC＝OP时，，
解得：m1＝5，m2＝3，
∵m＝3时，P和A重合，即P和C重合，不能组成三角形POC，
∴m＝3舍去，
∴P（5，﹣5）；
③当PC＝OP时，∠POC＝∠C＝45，P在x轴上，即B点，
此时m＝4，
∴P（4，0），
答：存在，P的坐标是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．