2023-2024学年河北省石家庄市裕华区东南实验中学九年级（上）质检数学试卷（11月份）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市裕华区东南实验中学九年级（上）质检数学试卷（11月份），共19页。试卷主要包含了选择题，四象限，简答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝x+3B．y＝C．y＝D．y＝
2．（3分）已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是（ ）
A．该函数图象经过点（﹣1，1）
B．该函数图象位于第二、四象限
C．y的值随着x值的增大而增大
D．该函数图象关于原点成中心对称
3．（3分）反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜3B．m＞3C．m＜﹣3D．m＞﹣3
4．（3分）在△ABC中，若，则∠C的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
5．（3分）如图中△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（5，1）B．（4，2）C．（5，2）D．（5，3）
6．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠BAC＝20°，则∠ADC的大小是（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
8．（3分）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.6米，最深处水深0.1米，则此输水管道的半径是（ ）米．
A．1B．0.8C．0.6D．0.5
9．（3分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB＝40°，则∠CDA的度数为（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
10．（3分）如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若∠A＝30°，⊙O的半径等于6，则弧AC的长为（ ）
A．6πB．4πC．5πD．8π
11．（3分）如图，小红要制作一个母线长为7cm，底面圆半径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是（ ）
A．36πcm2B．42πcm2C．72πcm2D．84πcm2
12．（3分）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置．若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10πcmB．10πcmC．15πcmD．20πcm
13．（3分）如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（ ）
A．12海里B．6海里C．12海里D．24海里
14．（3分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1﹣k2的值为8，则△OAB的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．﹣4
15．（3分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝110°，OA＝18，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共9分）
16．（3分）反比例函数y＝的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达式为 ．
17．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝24，AC＝7，则△ABC的外接圆的半径为 ．
18．（3分）⊙O的直径为10，⊙O的两条平行弦AB＝8，CD＝6，那么这两条平行弦之间的距离是 ．
三、简答题（19题6分，其它题各10分，共46分）
19．（6分）如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠C＝30°．
（1）求∠ABD的度数．
（2）若⊙O的半径r＝4，求BD的长．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式＞kx+b的解集；
（3）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，求点P的坐标．
21．（10分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E．
（1）若＝．求证：AB＝AC；
（2）若D、E为半圆的三等分点，且半径为2，图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π和根号）
22．（10分）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～4的整数），函数y＝（x＞0）的图象为曲线L．
（1）则T4的坐标是 ．
（2）若曲线L过T3时，求出k的值，并说明此时曲线L是否过T2．
（3）若曲线L使得T1～T4这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，k的取值范围是 ．
23．（10分）已知，在半圆O中，直径AB＝10，点C，D在半圆O上运动，弦CD＝5．
（1）如图1，当时，求证：△CAB≌△DBA；
（2）如图2，若∠DAB＝22.5°，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积；
（3）如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：
①点M的运动路径的总长 ；
②点M到AB的距离的最小值是 ．
2023-2024学年河北省石家庄市裕华区东南实验中学九年级（上）质检数学试卷（11月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共45分）
1．【分析】根据反比例函数的定义解答即可．
【解答】解：A、y＝x+3是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝是正比例函数，故此选项不符合题意；
C、y＝不是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、y＝是反比例函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，正确掌握相关函数的定义是解题的关键．
2．【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．
【解答】解：A、（﹣1，1））代入y＝得：左边＝右边，故本选项正确，不符合题意；
B、该函数图象位于第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
C、当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项不正确，符合题意；
D、该函数图象关于原点成中心对称，故本选项正确，不符合题意；
不正确的只有选项C．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），当k＞0，反比例函数图象在一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，每个象限内，y随x的增大而增大．
3．【分析】根据反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣3＞0，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，
∴m﹣3＞0，
解得：m＞3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣3＞0是解题的关键．
4．【分析】根据绝对值、偶次方的非负性分别求出∠A、∠B，再根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵|csA﹣|+2（1﹣tanB）2＝0，
∴csA﹣＝0，2（1﹣tanB）2＝0，
∴csA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、三角形内角和定理、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．【分析】作AB和AC的垂直平分线，它们的交点为△ABC外接圆圆心，然后写出圆心坐标即可．
【解答】解：△ABC外接圆圆心的坐标为（5，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质，正确地作出圆心的坐标是解题的关键．
6．【分析】把点A（﹣2，y1），B（﹣1，，y2），C（1，y3）代入反比例函数的关系式求出y1，y2，y3，比较得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，，
∴y1＝3，y2＝6，y3＝﹣6，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
7．【分析】连接BC，利用AB是直径得出∠ABC＝70°，进而利用圆周角解答即可．
【解答】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用AB是直径得出∠ABC＝70°．
8．【分析】过O作OD⊥AB，与圆O交于点D，与弦AB交于点C，连接OA，由垂径定理得到C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，设圆的半径为r，由OD﹣CD表示出OC，在直角三角形AOC中，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解，即可得到r的值．
【解答】解：过O作OD⊥AB，与圆O交于点D，与弦AB交于点C，连接OA，
根据题意得：AB＝0.6米，CD＝0.1米，
∴米，
在Rt△AOC中，设OA＝OD＝r米，则OC＝OD﹣CD＝（r﹣0.1）米，
根据勾股定理得：AC2+OC2＝OA2，
即r2＝（r﹣0.1）2+0.32，
解得：r＝0.5，
则此输水管道的半径是0.5米．
故选：D．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
9．【分析】连接OC，根据垂径定理求出＝，求出∠AOC＝∠AOB，根据圆周角定理得出∠CDA＝∠AOC，再求出答案即可．
【解答】解：连接OC，
∵OA⊥BC，OA过圆心O，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠CDA＝∠AOC＝20°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
10．【分析】连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠D，根据圆周角定理求出∠AOC，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OA、OC，
∵AB⊥CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠DAE＝60°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝120°，
∴弧AC的长＝＝4π，
故选：B．
【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式l＝是解题的关键．
11．【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥侧面展开图扇形的面积为：×2π×6×7＝42π（cm2），
则所需纸板的面积是42πcm2，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
12．【分析】顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心，AC为半径，旋转的角度是180﹣60＝120，所以根据弧长公式可得．
【解答】解：∵BC＝7.5cm，
∴AC＝15cm，
＝10πcm，
故选：A．
【点评】本题考查了弧长的计算以及旋转的性质，熟记弧长公式l＝是解题的关键．
13．【分析】作CE⊥AB交AB 的延长线于E，根据三角形的外角性质求出∠ACB＝30°，得到BC＝AB＝12，根据正弦的定义列式计算即可．
【解答】解：作CE⊥AB交AB 的延长线于E，
由题意得，AB＝24×＝12，∠CBE＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴BC＝AB＝12，
在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，
∴CE＝BC×sin∠CBE＝12×＝6（海里），
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．【分析】根据反比例函数k的几何意义得出△AOB的面积为（﹣）＝（k1﹣k2），再根据k1﹣k2＝2即可得出．
【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，
∴△AOB的面积为（﹣）＝（k1﹣k2），
∵k1﹣k2＝8，
∴△AOB的面积为×8＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数k的几何意义，熟练利用反比例函数k的几何意义计算三角形面积是解题的关键．
15．【分析】连接OD、BD，根据点C为OB的中点可得∠CDO＝30°，继而可得△BDO为等边三角形，求出扇形BOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去空白部分BDC即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接OD、BD，
∵点C为OB的中点，
∴，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°，
∴△BDO为等边三角形，OD＝OB＝18，OC＝CB＝9，
∴，
∴，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形BOD﹣S△COD）
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．
二、填空题（每题3分，共9分）
16．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（m，），
∴＝m．
∴m＝8，
∴反比例函数解析式为：y＝．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数m是解题的关键．
17．【分析】由勾股定理先求出斜边的长度，然后由圆周角定理推论，得到AB是直径，即可求出半径．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴AB是⊙O直径，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝72+242，
∴AB＝25（负值舍去），
∴△ABC的外接圆半径是：r＝AB＝12.5，
故答案为：12.5．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理的有关知识，关键是掌握圆中直角对的弦是直径．
18．【分析】根据勾股定理可将圆心O到两条弦的距离求出，再根据两条弦在⊙O的同旁和两旁，分两种情况进行讨论．
【解答】解：由勾股定理得：圆心O到弦AB的距离d1＝＝3，
圆心O到弦CD的距离d2＝＝4．
（1）弦AB和CD在⊙O同旁，d＝d2﹣d1＝1；
（2）弦AB和CD在⊙O两旁，d＝d2+d1＝7．
故这两条平行弦之间的距离是1或7．
【点评】解决本题时应注意分类进行讨论．
三、简答题（19题6分，其它题各10分，共46分）
19．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠C＝30°，然后根据直角三角形的性质求解∠ABD的度数；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠A＝90°，
∵∠A＝∠C＝30°，
∴∠ABD＝90°﹣30°＝60°；
（2）∵∠A＝30°，∠ADB＝90°，
∴AB＝2BD，
∵⊙O的半径r＝4，AB是⊙O直径，
∴AB＝2r＝8，
∴BD＝4．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
20．【分析】（1）可先把A代入反比例函数解析式，求得m的值，进而求得n的值，把A，B两点分别代入一次函数解析式即可．
（2）利用图象法解决问题即可；
（3）令x＝0求出y的值，确定出C坐标，得到OC的长，三角形ABP面积由三角形ACP面积与三角形BCP面积之和求出，由已知的面积求出PC的长，即可求出OP的长．
【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y＝上，
∴m＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
又∵点B（﹣3，n）在y＝上，
∴n＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣3，﹣2），
把A（2，3）和B（﹣3，﹣2）两点的坐标代入一次函数y＝kx+b得
解得，
∴一次函数的解析为y＝x+1．
（2）观察图象可知：0＜x＜2或x＜﹣3；
（3）对于一次函数y＝x+1，令x＝0求出y＝1，即C（0，1），OC＝1，
根据题意得：S△ABP＝PC×2+PC×3＝5，
解得：PC＝2，
所以，P（0，3）或（0，﹣1）．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．【分析】（1）先根据AB为直径得∠AEC＝∠AEB＝90°，由弧DE＝弧BE，得∠BAE＝∠CAE，根据ASA判定△AEB≌△AEC，再根据全等三角形的性质得出AB＝AC；
（2）连接OE，作EF⊥OB于点F，由D、E为半圆的三等分点，可证明△OBE为等边三角形，由S阴影＝S扇形BOE﹣S△BOE即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∵＝，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（ASA），
∴AB＝AC；
（2）解：如图，连接OE，作EF⊥OB于点F，
∵D、E为半圆的三等分点，
∴∠BOE＝60°，
∴△OBE为等边三角形，
∴OF＝OB＝1，
∴EF＝＝，
∴S阴影＝S扇形BOE﹣S△BOE＝﹣×2×＝π﹣．
故答案为：π﹣．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、扇形的面积公式以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．解题时注意面积法的运用．
22．【分析】（1）根据每个台阶的高和宽分别是1和2，即可求解；
（2）根据每个台阶的高和宽分别是1和2，即可求得T2、T3的坐标，据此即可解答；
（3）分别求得过点T1和T4时，过点T2和T3时的k值，即可求解．
【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T4（2，4），
故答案为：（2，4）；
（2）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），
把T3（4，3）代入解析式，求得k＝12，
∴，
当x＝6时，y＝2，
∴此时曲线L过点T2；
（3）当函数过点T1（8，1）和T4（2，4）时，k＝8，
当函数过点T2（6，2）和T3（4，3）时，k＝12，
∴若曲线L使得T1～T4这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是：8＜k＜12，
故答案为：8＜k＜12．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出各点的坐标是解决本题的关键．
23．【分析】（1）先根据圆周角定理证明∠CAB＝∠DBA，再证明△CAB≌△DBA（SAS）即可；
（2）过D作DH⊥AB于H连接OD，先证明∠DOB＝45°，再求出DH的长，再根据S阴影部分＝S扇形DOB+S△AOD即可；
（3）根据题意，结合垂径定理与勾股定理得出M在以O为圆心、OM为半径的弧上运动，从而，当C与A重合或者D与B重合时，点M到AB的距离的最小值，求出M运动轨迹所对的圆心角，根据弧长公式求解即可；再利用特殊直角三角形三边关系求出最短距离即可．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠CAD＝∠DBC，
∵＝，
∴∠DAB＝∠CBA，AC＝BD，
∴∠CAD+∠DAB＝∠DBC+∠CBA．
即∠CAB＝∠DBA，
在△CAB和△DBA中，
，
∴△CAB≌△DBA（SAS）；
（2）解：过D作DH⊥AB于H连接OD，如图2：
∵半圆O中，直径AB＝10，
∴OA＝OD＝5，
∵∠DAB＝∠ADO＝22.5°，
∴∠DOB＝∠OAD+∠ADO＝45°，
∴DH＝OD＝，S扇形DOB＝＝，
∴S△AOD＝OA•DH＝，
∴S阴影部分＝S扇形DOB+S△AOD＝+；
（3）解：①连接OM、OD，如图3.1所示：
∵M是CD中点，
∴OM是弦CD的中垂线，
在Rt△DOM中，∠OMD＝90°，DM＝CD＝，OD＝5，则OM＝，
∠DOM＝30°，
∴M在以O为圆心、OM为半径的弧上运动，如图3.2所示：
从而，当C与A重合或者D与B重合时，∠POR＝180°﹣2×30°＝120°，
∴点M的运动路径的总长为：•2π•OM＝×2π×＝，
故答案为：；
②当C与A重合或者D与B重合时，点M到AB的距离取得最小值，
在Rt△OPN中，∠ONP＝90°，∠PON＝30°，OP＝OM＝，
则点M到AB的距离的最小值为PN＝OP＝×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查圆的综合问题，解题过程中涉及到圆周角定理、全等三角形的判定与性质、扇形面积、垂径定理、勾股定理和特殊直角三角形三边关系，解题的关键是准确把握圆的相关几何性质．