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    江苏省南通市海安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(Word版附解析)

    江苏省南通市海安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(Word版附解析)第1页
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    江苏省南通市海安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(Word版附解析)

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    这是一份江苏省南通市海安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(Word版附解析),共22页。试卷主要包含了 已知是圆一条弦,,是的中点, 下列结论正确的是, 下列四个命题中,正确的是等内容,欢迎下载使用。
    注意事项
    考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
    1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 若经过,两点的直线的倾斜角为,则( )
    A. -4B. -2C. D. 2
    2. 若直线与平行,则( )
    A. B. C. D. 2
    3. 已知数列满足,且,则( )
    A. B. 0C. 1D. 2
    4. 已知等差数列的首项为10,公差为,则数列的前项和的最大值为( )
    A. B. 30C. 80D. 不存在
    5. 已知双曲线的离心率为2,一个焦点在抛物线的准线上,则的顶点到渐近线的距离为( )
    A. B. C. D. 3
    6. 如图,是某心形二次曲线,则的方程可能为( )
    A. B.
    C. D.
    7. 已知椭圆的一个焦点是,过原点的直线与相交于点,,的面积是20,则( )
    A. 5B. C. D. 10
    8. 已知是圆一条弦,,是的中点.当弦在圆上运动时,直线上总存在两点,使得为钝角,则的取值范围是( )
    A. B.
    C D.
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 下列结论正确的是( )
    A. 直线的倾斜角的取值范围是
    B. 斜率之积为的两直线相互垂直
    C. 在两坐标轴上截距相等的直线斜率为
    D. 直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线
    10. 下列四个命题中,正确的是( )
    A. 要唯一确定圆,只需给出圆上三点
    B. 要唯一确定抛物线,只需给出焦点和准线
    C. 要唯一确定以坐标原点为中心椭圆,只需给出椭圆上两点
    D. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线,只需给出一条渐近线和一个焦点
    11. 设数列的前项和为,则数列为常数列(各项均为同一个常数的数列)的一个充分条件是( )
    A. B.
    C. D. ,
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 已知圆,试写出一个半径为1,且与轴和圆都相切的圆的标准方程:_______________.
    13. 定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等和数列,这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列,,,则公和为_______________.
    14. 已知抛物线的焦点为,为圆上的动点,点,则__________;若为上的动点,则的最小值为__________.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 在平面直角坐标系中,过点的直线与抛物线相交于点,.
    (1)若直线的斜率为1,求;
    (2)求证:.
    16. 已知等差数列的前项和为,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)记,,若,,成等差数列,求并证明为等差数列.
    17. 已知为圆上任意一点,点,线段的垂直平分线与交于点,记点的轨迹为.
    (1)求的方程;
    (2)过点作直线(与轴不重合)与相交于点,,直线与轴交于点,,求的方程.
    18. 已知等轴双曲线的左、右焦点分别,,且焦距为,分别是在第二象限和第一象限上的一点,且.
    (1)求的方程;
    (2)若直线的斜率为,求直线的斜率;
    (3)若四边形的面积为,求直线的方程.
    19. 记等差数列的前项和为,公差为.
    (1)证明:是关于的不含常数项的二次函数;
    (2)等差数列公差为,且.
    ①求的通项公式;
    ②记数列前项和为,是否存在,,使得?若存在,求,;若不存在,请说明理由.
    2024~2025学年度第一学期期中学业质量监测试卷
    高二数学
    注意事项
    考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
    1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 若经过,两点的直线的倾斜角为,则( )
    A. -4B. -2C. D. 2
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由两点间斜率公式得到方程,求出答案.
    【详解】,故,解得.
    故选:D
    2. 若直线与平行,则( )
    A. B. C. D. 2
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据直线平行列式求解,并代入检验即可.
    【详解】由题意可得:,解得,
    若,则直线、,两直线平行,
    综上所述:.
    故选:A.
    3. 已知数列满足,且,则( )
    A. B. 0C. 1D. 2
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据递推公式直接代入运算求解.
    【详解】因,
    令,可得;
    令,可得;
    令,可得;
    令,可得;
    故选:C.
    4. 已知等差数列的首项为10,公差为,则数列的前项和的最大值为( )
    A. B. 30C. 80D. 不存在
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据题意分析的符号性,进而可得前项和的最值.
    【详解】由题意可知:,且数列an为递减数列,
    当时,;当时,;当时,;
    所以数列an的前项和的最大项数为5或6,最大值为.
    故选:B.
    5. 已知双曲线的离心率为2,一个焦点在抛物线的准线上,则的顶点到渐近线的距离为( )
    A B. C. D. 3
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据抛物线准线可得,根据离心率可得顶点和渐近线,即可得结果.
    【详解】由题意可知:抛物线的准线为,
    则为双曲线的焦点,即,
    又因为离心率为,可得,
    且,解得,
    取渐近线为,即,取顶点为,
    所以的顶点到渐近线的距离为.
    故选:A.
    6. 如图,是某心形二次曲线,则的方程可能为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】利用排除法,根据对称性排除CD,令,解方程排除B.
    【详解】显然图象关于y轴对称,即把x换成方程不变,可知CD错误;
    对于B:令,可得,解得或,不合题意;
    故选:A.
    7. 已知椭圆的一个焦点是,过原点的直线与相交于点,,的面积是20,则( )
    A. 5B. C. D. 10
    【答案】D
    【解析】
    【分析】求出,由三角形的面积得到面积为10,设,则,将代入中得,求出,得到.
    【详解】由题意得,故,故,
    因为的面积为20,所以面积为10,
    设,则,解得,
    将代入中得,
    故,则.
    故选:D
    8. 已知是圆的一条弦,,是的中点.当弦在圆上运动时,直线上总存在两点,使得为钝角,则的取值范围是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】分析可知点的轨迹是以O0,0为圆心,半径的圆C,且以为直径的圆与圆C相交,以外切为临界求解即可.
    【详解】由题意可知:圆的圆心为O0,0,半径,
    因为,则,
    可知点的轨迹是以O0,0为圆心,半径的圆C,
    设的中点为,
    因为为钝角,可知以为直径的圆与圆C相交,

    且O0,0到直线的距离,可知,
    以外切为临界,可得,可得,
    若使得存在两点,满足题意,则,
    所以AB的取值范围是.
    故选:B.
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 下列结论正确的是( )
    A. 直线的倾斜角的取值范围是
    B. 斜率之积为的两直线相互垂直
    C. 在两坐标轴上截距相等的直线斜率为
    D. 直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】对于A:根据倾斜角定义分析判断;对于B:根据直线垂直分析判断;对于C:举反例说明即可;对于D:根据直线的一般方程分析判断.
    【详解】对于A:直线的倾斜角的取值范围是,故A错误;
    对于B:斜率之积为的两直线相互垂直,故B正确;
    对于C:例如直线,此时在两坐标轴上截距均0,相等,但斜率不为,故C错误;
    对于D:直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线,故D正确;
    故选:BD.
    10. 下列四个命题中,正确的是( )
    A. 要唯一确定圆,只需给出圆上三点
    B. 要唯一确定抛物线,只需给出焦点和准线
    C. 要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆,只需给出椭圆上两点
    D. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线,只需给出一条渐近线和一个焦点
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】对于A:根据三角形外接圆分析判断;对于B:根据抛物线的定义分析判断;对于C:根据椭圆形状分析判断;对于D:根据双曲线的性质分析判断.
    【详解】对于A:根据三角形的外接圆的唯一性可知:A正确;
    对于B:根据抛物线的定义可知:给出焦点和准线即可确定抛物线,故B正确;
    对于C:给出两点不能确定椭圆,例如给定长轴顶点,此时椭圆有无数个,故C错误;
    对于D:因为中心为坐标原点,若给出一条渐近线和一个焦点,
    可以求出a,b,c,且可以确定焦点位置,即可得双曲线方程,可以确定双曲线,故D正确;
    故选:ABD.
    11. 设数列的前项和为,则数列为常数列(各项均为同一个常数的数列)的一个充分条件是( )
    A. B.
    C. D. ,
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】A选项,利用得到,为常数列,A正确;B选项,推出,,不妨设,举出反例;CD选项,均可得到,为充分条件.
    【详解】A选项,当时,,当时,,
    故an的通项公式为,为常数列,故A正确;
    B选项,,,不妨设,则此时an不为常数列,B错误;
    C选项,,,两者相减得,
    故,即,故an为常数列,故C正确;
    D选项,时,,即,
    又,故在上恒成立,an为常数列,故D正确;
    故选:ACD
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 已知圆,试写出一个半径为1,且与轴和圆都相切的圆的标准方程:_______________.
    【答案】(答案不唯一,符合题意即可)
    【解析】
    【分析】所求圆的圆心为,则,结合两圆位置关系列式求解即可.
    【详解】因为圆的圆心为,半径,
    设所求圆的圆心为,则,
    且或,
    若,,解得,
    可得圆心为,所求圆的方程为;
    若,,无解,不合题意;
    若,,解得或,
    可得圆心为或,
    所求圆的方程为或;
    若,,解得,
    可得圆心为,所求圆的方程为;
    故答案为:(答案不唯一,符合题意即可).
    13. 定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等和数列,这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列,,,则公和为_______________.
    【答案】7
    【解析】
    【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列,结合周期性分析求解.
    【详解】由题意可知:(公和),则,
    可得,可知数列是以2为周期的周期数列,
    可得,,所以公和.
    故答案为:7.
    14. 已知抛物线的焦点为,为圆上的动点,点,则__________;若为上的动点,则的最小值为__________.
    【答案】 ①. ##0.5 ②. 5
    【解析】
    【分析】根据题意可得圆的方程为,结合两点间距离公式运算求解即可得;由结合几何性质可得,再结合抛物线的定义分析求解.
    【详解】由题意可知:抛物线的焦点为F1,0,准线为,
    设,圆,即为,
    则;
    因为,则,
    当且仅当三点共线时,等号成立,
    设点到准线的距离为,
    则,当且仅当为坐标原点时,等号成立,
    综上所述:,
    当且仅当为坐标原点,为0,3时,等号成立,
    所以的最小值为5.
    故答案为:;5.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 在平面直角坐标系中,过点的直线与抛物线相交于点,.
    (1)若直线的斜率为1,求;
    (2)求证:.
    【答案】(1)
    (2)证明过程见解析
    【解析】
    【分析】(1)直线的方程为,联立,求出两根之和,两根之积,利用弦长公式得到;
    (2)当直线的斜率为0时,不合要求,设直线的方程为,与联立得,得到两根之和,两根之积,计算出,得到,得到垂直关系.
    【小问1详解】
    直线的方程为,
    联立得,
    设Ax1,y1,Bx2,y2,则,
    则;
    【小问2详解】
    当直线的斜率为0时,与抛物线只有1个交点,不合要求,舍去,
    设直线的方程为,
    与联立得,
    设Ax1,y1,Bx2,y2,则,
    则,
    故,
    故.
    16. 已知等差数列的前项和为,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)记,,若,,成等差数列,求并证明为等差数列.
    【答案】(1)
    (2),证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据已知条件求出和,从而得到的通项公式.
    (2)求出后代入表达式,再根据,,成等差数列求出,最后通过计算是否为常数来证明为等差数列.
    【小问1详解】
    已知,根据等差数列通项公式可得.
    又因为,根据等差数列前项和公式,
    可得,即.
    联立方程组,可得,即.
    将代入,可得.
    所以数列的通项公式为.
    【小问2详解】
    由,,
    可得.
    所以.
    因为,,成等差数列,则.
    .
    .
    .
    故:.解得.
    当时,.
    ,为常数.故bn为等差数列.
    17. 已知为圆上任意一点,点,线段的垂直平分线与交于点,记点的轨迹为.
    (1)求的方程;
    (2)过点作直线(与轴不重合)与相交于点,,直线与轴交于点,,求的方程.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆,进而可得方程;
    (2)设直线,,根据向量可得,结合韦达定理运算求解.
    【小问1详解】
    由题意可知:的圆心为,半径为4,且,

    则,
    可知点的轨迹是以为焦点的椭圆,则,
    所以的方程为.
    【小问2详解】
    因为点在椭圆内部,可知直线与椭圆必相交,

    设直线,,则,
    联立方程,消去x可得,
    则,
    又因为,
    若,则,即,
    可得,解得,
    所以的方程为,即.
    18. 已知等轴双曲线的左、右焦点分别,,且焦距为,分别是在第二象限和第一象限上的一点,且.
    (1)求的方程;
    (2)若直线斜率为,求直线的斜率;
    (3)若四边形的面积为,求直线的方程.
    【答案】(1)
    (2)3 (3)
    【解析】
    【分析】(1)根据题意结合等轴双曲线的定义列式求,即可得方程;
    (2)设直线,Ax1,y1,Bx2,y2,根据向量平行可得,结合韦达定理可得,代入运算求解即可;
    (3)根据双曲线方程利用两点间距离公式和倾斜角推得,,结合面积关系可得,即可得结果.
    【小问1详解】
    由题意可知:,解得,
    所以双曲线的方程为.
    【小问2详解】
    由(1)可知:,

    设直线,Ax1,y1,Bx2,y2,
    联立方程,消去可得,
    则,可得,
    因为,
    若,则,
    即,整理可得,
    又因为,
    可得,解得,
    此时即为,解得或(舍去),
    此时,即,
    所以直线的斜率.
    【小问3详解】
    设Ax1,y1,Bx2,y2,
    则,即,
    可得,
    设直线的倾斜角为,则,
    可得,解得,
    同理可得,
    此时梯形的高为,
    可知梯形的面积,
    整理可得,解得或(舍去),
    可知或,则直线的斜率,
    所以直线的方程,即.
    点睛】关键点点睛:第三问根据双曲线方程和倾斜角推得,,这样方便计算面积.
    19. 记等差数列的前项和为,公差为.
    (1)证明:是关于的不含常数项的二次函数;
    (2)等差数列的公差为,且.
    ①求的通项公式;
    ②记数列的前项和为,是否存在,,使得?若存在,求,;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)证明见详解
    (2)①或;②存在,
    【解析】
    【分析】(1)根据题意结合等差数列的求和公式分析证明;
    (2)①根据(1)中结果,结合等差数列通项公式运算求解即可;②根据等差数列求和公式结合分组求和求,分类讨论,分析数据的整数型求解即可.
    【小问1详解】
    因为等差数列的公差为
    由题意可得:,
    则二次项系数,且常数项为0,
    所以是关于的不含常数项的二次函数.
    【小问2详解】
    ①由题意可知:,


    可得,解得,或,
    若,则;
    若,则,
    综上所述:或;
    ②因为,
    当时,若,,则,不合题意;
    当时,
    若为偶数,则

    因为为偶数,则或,
    若,则,即,不合题意;
    若,则,
    整理可得,
    可知,代入检验可得仅成立;
    若为奇数,则

    因为为奇数,则或,
    若,则,即,不合题意;
    若, 则,
    整理可得,
    显然为偶数,方程无解,不合题意;
    综上所述:.
    【点睛】关键点点睛:本题解题的关键时分析数据的整数性,分类讨论的特征解题.

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