江苏省南通市海安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(Word版附解析)
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这是一份江苏省南通市海安市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(Word版附解析),共22页。试卷主要包含了 已知是圆一条弦,,是的中点, 下列结论正确的是, 下列四个命题中,正确的是等内容,欢迎下载使用。
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若经过,两点的直线的倾斜角为,则( )
A. -4B. -2C. D. 2
2. 若直线与平行,则( )
A. B. C. D. 2
3. 已知数列满足,且,则( )
A. B. 0C. 1D. 2
4. 已知等差数列的首项为10,公差为,则数列的前项和的最大值为( )
A. B. 30C. 80D. 不存在
5. 已知双曲线的离心率为2,一个焦点在抛物线的准线上,则的顶点到渐近线的距离为( )
A. B. C. D. 3
6. 如图,是某心形二次曲线,则的方程可能为( )
A. B.
C. D.
7. 已知椭圆的一个焦点是,过原点的直线与相交于点,,的面积是20,则( )
A. 5B. C. D. 10
8. 已知是圆一条弦,,是的中点.当弦在圆上运动时,直线上总存在两点,使得为钝角,则的取值范围是( )
A. B.
C D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. 斜率之积为的两直线相互垂直
C. 在两坐标轴上截距相等的直线斜率为
D. 直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线
10. 下列四个命题中,正确的是( )
A. 要唯一确定圆,只需给出圆上三点
B. 要唯一确定抛物线,只需给出焦点和准线
C. 要唯一确定以坐标原点为中心椭圆,只需给出椭圆上两点
D. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线,只需给出一条渐近线和一个焦点
11. 设数列的前项和为,则数列为常数列(各项均为同一个常数的数列)的一个充分条件是( )
A. B.
C. D. ,
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 已知圆,试写出一个半径为1,且与轴和圆都相切的圆的标准方程:_______________.
13. 定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等和数列,这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列,,,则公和为_______________.
14. 已知抛物线的焦点为,为圆上的动点,点,则__________;若为上的动点,则的最小值为__________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中,过点的直线与抛物线相交于点,.
(1)若直线的斜率为1,求;
(2)求证:.
16. 已知等差数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,,若,,成等差数列,求并证明为等差数列.
17. 已知为圆上任意一点,点,线段的垂直平分线与交于点,记点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)过点作直线(与轴不重合)与相交于点,,直线与轴交于点,,求的方程.
18. 已知等轴双曲线的左、右焦点分别,,且焦距为,分别是在第二象限和第一象限上的一点,且.
(1)求的方程;
(2)若直线的斜率为,求直线的斜率;
(3)若四边形的面积为,求直线的方程.
19. 记等差数列的前项和为,公差为.
(1)证明:是关于的不含常数项的二次函数;
(2)等差数列公差为,且.
①求的通项公式;
②记数列前项和为,是否存在,,使得?若存在,求,;若不存在,请说明理由.
2024~2025学年度第一学期期中学业质量监测试卷
高二数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若经过,两点的直线的倾斜角为,则( )
A. -4B. -2C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由两点间斜率公式得到方程,求出答案.
【详解】,故,解得.
故选:D
2. 若直线与平行,则( )
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行列式求解,并代入检验即可.
【详解】由题意可得:,解得,
若,则直线、,两直线平行,
综上所述:.
故选:A.
3. 已知数列满足,且,则( )
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推公式直接代入运算求解.
【详解】因,
令,可得;
令,可得;
令,可得;
令,可得;
故选:C.
4. 已知等差数列的首项为10,公差为,则数列的前项和的最大值为( )
A. B. 30C. 80D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分析的符号性,进而可得前项和的最值.
【详解】由题意可知:,且数列an为递减数列,
当时,;当时,;当时,;
所以数列an的前项和的最大项数为5或6,最大值为.
故选:B.
5. 已知双曲线的离心率为2,一个焦点在抛物线的准线上,则的顶点到渐近线的距离为( )
A B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线准线可得,根据离心率可得顶点和渐近线,即可得结果.
【详解】由题意可知:抛物线的准线为,
则为双曲线的焦点,即,
又因为离心率为,可得,
且,解得,
取渐近线为,即,取顶点为,
所以的顶点到渐近线的距离为.
故选:A.
6. 如图,是某心形二次曲线,则的方程可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用排除法,根据对称性排除CD,令,解方程排除B.
【详解】显然图象关于y轴对称,即把x换成方程不变,可知CD错误;
对于B:令,可得,解得或,不合题意;
故选:A.
7. 已知椭圆的一个焦点是,过原点的直线与相交于点,,的面积是20,则( )
A. 5B. C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】求出,由三角形的面积得到面积为10,设,则,将代入中得,求出,得到.
【详解】由题意得,故,故,
因为的面积为20,所以面积为10,
设,则,解得,
将代入中得,
故,则.
故选:D
8. 已知是圆的一条弦,,是的中点.当弦在圆上运动时,直线上总存在两点,使得为钝角,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知点的轨迹是以O0,0为圆心,半径的圆C,且以为直径的圆与圆C相交,以外切为临界求解即可.
【详解】由题意可知:圆的圆心为O0,0,半径,
因为,则,
可知点的轨迹是以O0,0为圆心,半径的圆C,
设的中点为,
因为为钝角,可知以为直径的圆与圆C相交,
且O0,0到直线的距离,可知,
以外切为临界,可得,可得,
若使得存在两点,满足题意,则,
所以AB的取值范围是.
故选:B.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. 斜率之积为的两直线相互垂直
C. 在两坐标轴上截距相等的直线斜率为
D. 直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A:根据倾斜角定义分析判断;对于B:根据直线垂直分析判断;对于C:举反例说明即可;对于D:根据直线的一般方程分析判断.
【详解】对于A:直线的倾斜角的取值范围是,故A错误;
对于B:斜率之积为的两直线相互垂直,故B正确;
对于C:例如直线,此时在两坐标轴上截距均0,相等,但斜率不为,故C错误;
对于D:直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线,故D正确;
故选:BD.
10. 下列四个命题中,正确的是( )
A. 要唯一确定圆,只需给出圆上三点
B. 要唯一确定抛物线,只需给出焦点和准线
C. 要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆,只需给出椭圆上两点
D. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线,只需给出一条渐近线和一个焦点
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A:根据三角形外接圆分析判断;对于B:根据抛物线的定义分析判断;对于C:根据椭圆形状分析判断;对于D:根据双曲线的性质分析判断.
【详解】对于A:根据三角形的外接圆的唯一性可知:A正确;
对于B:根据抛物线的定义可知:给出焦点和准线即可确定抛物线,故B正确;
对于C:给出两点不能确定椭圆,例如给定长轴顶点,此时椭圆有无数个,故C错误;
对于D:因为中心为坐标原点,若给出一条渐近线和一个焦点,
可以求出a,b,c,且可以确定焦点位置,即可得双曲线方程,可以确定双曲线,故D正确;
故选:ABD.
11. 设数列的前项和为,则数列为常数列(各项均为同一个常数的数列)的一个充分条件是( )
A. B.
C. D. ,
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项,利用得到,为常数列,A正确;B选项,推出,,不妨设,举出反例;CD选项,均可得到,为充分条件.
【详解】A选项,当时,,当时,,
故an的通项公式为,为常数列,故A正确;
B选项,,,不妨设,则此时an不为常数列,B错误;
C选项,,,两者相减得,
故,即,故an为常数列,故C正确;
D选项,时,,即,
又,故在上恒成立,an为常数列,故D正确;
故选:ACD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 已知圆,试写出一个半径为1,且与轴和圆都相切的圆的标准方程:_______________.
【答案】(答案不唯一,符合题意即可)
【解析】
【分析】所求圆的圆心为,则,结合两圆位置关系列式求解即可.
【详解】因为圆的圆心为,半径,
设所求圆的圆心为,则,
且或,
若,,解得,
可得圆心为,所求圆的方程为;
若,,无解,不合题意;
若,,解得或,
可得圆心为或,
所求圆的方程为或;
若,,解得,
可得圆心为,所求圆的方程为;
故答案为:(答案不唯一,符合题意即可).
13. 定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等和数列,这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列,,,则公和为_______________.
【答案】7
【解析】
【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列,结合周期性分析求解.
【详解】由题意可知:(公和),则,
可得,可知数列是以2为周期的周期数列,
可得,,所以公和.
故答案为:7.
14. 已知抛物线的焦点为,为圆上的动点,点,则__________;若为上的动点,则的最小值为__________.
【答案】 ①. ##0.5 ②. 5
【解析】
【分析】根据题意可得圆的方程为,结合两点间距离公式运算求解即可得;由结合几何性质可得,再结合抛物线的定义分析求解.
【详解】由题意可知:抛物线的焦点为F1,0,准线为,
设,圆,即为,
则;
因为,则,
当且仅当三点共线时,等号成立,
设点到准线的距离为,
则,当且仅当为坐标原点时,等号成立,
综上所述:,
当且仅当为坐标原点,为0,3时,等号成立,
所以的最小值为5.
故答案为:;5.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中,过点的直线与抛物线相交于点,.
(1)若直线的斜率为1,求;
(2)求证:.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【解析】
【分析】(1)直线的方程为,联立,求出两根之和,两根之积,利用弦长公式得到;
(2)当直线的斜率为0时,不合要求,设直线的方程为,与联立得,得到两根之和,两根之积,计算出,得到,得到垂直关系.
【小问1详解】
直线的方程为,
联立得,
设Ax1,y1,Bx2,y2,则,
则;
【小问2详解】
当直线的斜率为0时,与抛物线只有1个交点,不合要求,舍去,
设直线的方程为,
与联立得,
设Ax1,y1,Bx2,y2,则,
则,
故,
故.
16. 已知等差数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,,若,,成等差数列,求并证明为等差数列.
【答案】(1)
(2),证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据已知条件求出和,从而得到的通项公式.
(2)求出后代入表达式,再根据,,成等差数列求出,最后通过计算是否为常数来证明为等差数列.
【小问1详解】
已知,根据等差数列通项公式可得.
又因为,根据等差数列前项和公式,
可得,即.
联立方程组,可得,即.
将代入,可得.
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由,,
可得.
所以.
因为,,成等差数列,则.
.
.
.
故:.解得.
当时,.
,为常数.故bn为等差数列.
17. 已知为圆上任意一点,点,线段的垂直平分线与交于点,记点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)过点作直线(与轴不重合)与相交于点,,直线与轴交于点,,求的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆,进而可得方程;
(2)设直线,,根据向量可得,结合韦达定理运算求解.
【小问1详解】
由题意可知:的圆心为,半径为4,且,
则,
可知点的轨迹是以为焦点的椭圆,则,
所以的方程为.
【小问2详解】
因为点在椭圆内部,可知直线与椭圆必相交,
设直线,,则,
联立方程,消去x可得,
则,
又因为,
若,则,即,
可得,解得,
所以的方程为,即.
18. 已知等轴双曲线的左、右焦点分别,,且焦距为,分别是在第二象限和第一象限上的一点,且.
(1)求的方程;
(2)若直线斜率为,求直线的斜率;
(3)若四边形的面积为,求直线的方程.
【答案】(1)
(2)3 (3)
【解析】
【分析】(1)根据题意结合等轴双曲线的定义列式求,即可得方程;
(2)设直线,Ax1,y1,Bx2,y2,根据向量平行可得,结合韦达定理可得,代入运算求解即可;
(3)根据双曲线方程利用两点间距离公式和倾斜角推得,,结合面积关系可得,即可得结果.
【小问1详解】
由题意可知:,解得,
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由(1)可知:,
设直线,Ax1,y1,Bx2,y2,
联立方程,消去可得,
则,可得,
因为,
若,则,
即,整理可得,
又因为,
可得,解得,
此时即为,解得或(舍去),
此时,即,
所以直线的斜率.
【小问3详解】
设Ax1,y1,Bx2,y2,
则,即,
可得,
设直线的倾斜角为,则,
可得,解得,
同理可得,
此时梯形的高为,
可知梯形的面积,
整理可得,解得或(舍去),
可知或,则直线的斜率,
所以直线的方程,即.
点睛】关键点点睛:第三问根据双曲线方程和倾斜角推得,,这样方便计算面积.
19. 记等差数列的前项和为,公差为.
(1)证明:是关于的不含常数项的二次函数;
(2)等差数列的公差为,且.
①求的通项公式;
②记数列的前项和为,是否存在,,使得?若存在,求,;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见详解
(2)①或;②存在,
【解析】
【分析】(1)根据题意结合等差数列的求和公式分析证明;
(2)①根据(1)中结果,结合等差数列通项公式运算求解即可;②根据等差数列求和公式结合分组求和求,分类讨论,分析数据的整数型求解即可.
【小问1详解】
因为等差数列的公差为
由题意可得:,
则二次项系数,且常数项为0,
所以是关于的不含常数项的二次函数.
【小问2详解】
①由题意可知:,
即
,
可得,解得,或,
若,则;
若,则,
综上所述:或;
②因为,
当时,若,,则,不合题意;
当时,
若为偶数,则
,
因为为偶数,则或,
若,则,即,不合题意;
若,则,
整理可得,
可知,代入检验可得仅成立;
若为奇数,则
,
因为为奇数,则或,
若,则,即,不合题意;
若, 则,
整理可得,
显然为偶数,方程无解,不合题意;
综上所述:.
【点睛】关键点点睛:本题解题的关键时分析数据的整数性,分类讨论的特征解题.
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