数学2.1 有理数课时练习

这是一份数学2.1 有理数课时练习，共19页。

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\l "_Tc31582" 【题型1 辨别正数和负数】 PAGEREF _Tc31582 \h 1
\l "_Tc11545" 【题型2 判断具有相反意义的量】 PAGEREF _Tc11545 \h 3
\l "_Tc9157" 【题型3 正负数表示的意义】 PAGEREF _Tc9157 \h 5
\l "_Tc24538" 【题型4 用正负数表示已知量】 PAGEREF _Tc24538 \h 6
\l "_Tc16449" 【题型5 应用正负数的实际意义解决问题】 PAGEREF _Tc16449 \h 8
\l "_Tc16967" 【题型6 有理数的分类】 PAGEREF _Tc16967 \h 9
\l "_Tc28401" 【题型7 数轴上的整点问题】 PAGEREF _Tc28401 \h 12
\l "_Tc15219" 【题型8 数轴上两点间的距离】 PAGEREF _Tc15219 \h 13
\l "_Tc24159" 【题型9 数轴上点的移动】 PAGEREF _Tc24159 \h 15
\l "_Tc7283" 【题型10 应用数轴解决实际问题】 PAGEREF _Tc7283 \h 16
【知识点1 正数和负数的概念】
大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数
【题型1 辨别正数和负数】
【例1】（2023·浙江·七年级假期作业）把下列各数分别填在相应的括号内：
125，10，−213，0，3.1415，−5，0.6，−113，712．
(1)正数：{ …}；
(2)负数：{ …}；
(3)整数：{ …}．
【答案】(1)125，10，3.1415，0.6，712
(2)−213，−5，−113
(3)10，0，−5
【分析】（1）在有理数中，正数包括正整数、正分数；
（2）在有理数中，负数包括负整数、负分数；
（3）在有理数中，除了分数以外都是整数，包括正整数、负整数和零．
【详解】（1）解：正数：125,10,3.1415,0.6,712…
故答案为：125，10，3.1415，0.6，712
（2）负数：−213,−5,−113…
故答案为：−213，−5，−113
（3）整数：10,0,−5…
故答案为：10，0，−5
【点睛】本题主要考查了有理数．正确把握正数、负数和整数的概念是解题关键．
【变式1-1】（2023·江西宜春·统考模拟预测）下列各数中，负数是（ ）
A．−2B．0C．2D．3
【答案】A
【分析】根据负数的定义即可得出答案．
【详解】解：−2是负数，0既不是正数也不是负数，2和3是正数．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“−”得到负数是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·七年级课时练习）在﹣4、﹣2、0、1、3、4这六个数中，正数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】分析：实数分类为：正数，零，负数，其中数字前面带有符号 “﹣”的数为负数，“0”仅有一个数，其余均为正数,由此可得出判断.
详解：这六个数中，只有“1,3,4”这三个数为正数，故答案为C.
点睛：本题考查对正数的认识：数字前带符号“+”的数即为正数，符号“+”可省略不写，据此可以得出判断；也可以用排除法判断，实数可分为以下三类：正数，0，负数，排除了0和负数，其余的都是正数.
【变式1-3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）把下列各数填入相应的括号内．12,−56，1，5.2，﹣2.3，0.5%
正数：{ }； 整数：{ }；
分数：{ }； 负数：{ }．
【答案】12，1，5.2，0.5%；1；12，﹣56，5.2，﹣2.3，0.5%；﹣56，-2.3
【分析】根据有理数的分类，把相应的数填写到相应的括号中．
【详解】解：正数：{12，1，5.2，0.5%}；
整数：{1}；
分数：{12，﹣56，5.2，﹣2.3，0.5%}；
负数：{﹣56，-2.3}．
故答案为：12，1，5.2，0.5%；1；12，﹣56，5.2，﹣2.3，0.5%；﹣56，-2.3．
【点睛】本题考查了有理数的分类．有理数分为整数和分数；正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数．非负整数包括正整数和0．
【知识点2 具有相反意义的量】
一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示．
【题型2 判断具有相反意义的量】
【例2】（2023春·广西崇左·七年级校考阶段练习）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（ ）
A．收入200元与支出20元B．超过0.05mm与不足0.03m
C．增大2L与减少2kgD．上升10m和下降7m
【答案】C
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此对各选项进行判断即可．
【详解】解；A、收入200元与支出20元，是一组互为相反意义的量，故A不符合题意；
B、超过0.05mm与不足0.03m，是一组互为相反意义的量，故B不符合题意；
C、增加2L与减少2kg，不是相反意义的量，故C符合题意；
D、上升10m与下降7m，是一组互为相反意义的量，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
【变式2-1】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）下列是具有相反意义的量是（ ）
A．身高增加1cm和体重减少1kgB．顺时针旋转90°和逆时针旋转45°
C．向右走2米和向西走5米D．购买5本图书和借出4本图书
【答案】B
【分析】相反意义的量主要记住两个因素，第一，同一属性，第二，意义相反．
【详解】解：A、身高和体重不是相反的量，不符合题意；
B、顺时针旋转与逆时针旋转是具有相反意义的量，符合题意；
C、向右和向西不是相反的量，不符合题意；
D、购买和借出不是相反的量，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查相反意义的量，解题关键：掌握相反意义的量的两个关键因素，必须是同一属性，意义相反．
【变式2-2】（2023春·重庆渝北·七年级校联考阶段练习）下列各组叙述中，互为相反意义的量是（ ）
A．篮球比赛胜5场与负5场
B．上升的反义词是下降
C．增产10吨粮食与减产−10吨粮食
D．向东走3千米，再向南走2千米
【答案】A
【分析】根据相反意义的量的含义直接进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、篮球比赛胜5场与负5场，是相反意义的量，选项说法正确，符合题意；
B、上升的反义词是下降是正确的，但上升和下降中没有具体数量，故不是相反意义的量，选项说法错误，不符合题意；
C、减产−10吨粮食就是增产10吨粮食，故不是相反意义的量，选项说法错误，不符合题意；
D、和向东走具有相反意义的是向西走，故不是相反意义的量，选项说法错误，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查相反意义的量，解题的关键是明确什么事相反意义的量．
【变式2-3】（2023春·七年级单元测试）下列意义叙述不正确的是（ ）
A．若上升5m记作+5m，则0m指不升不降
B．鱼在水中的高度为−2m表示鱼在水下2m
C．温度上升−5∘C，指温度下降5∘C
D．盈利−1000元表示赚了1000元
【答案】D
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示，结合选项即可选出正确答案．
【详解】解：A．若上升5m记作+5m，则0m指不升不降，说法正确，不符合题意；
B．鱼在水中的高度为−2m表示鱼在水下2m，说法正确，不符合题意；
C．温度上升−5∘C，指温度下降5∘C，说法正确，不符合题意；
D．盈利−1000元表示亏了1000元，说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查具有相反意义的量，熟记和理解概念是解题关键．
【题型3 正负数表示的意义】
【例3】（2023春·内蒙古包头·七年级统考期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若盈余2万元记作+2万元，则−2万元表示（ ）
A．亏损−2万元B．盈余2万元C．亏损2万元D．不盈余不亏损
【答案】C
【分析】结合题意运用正负数的意义进行求解．
【详解】解：∵与盈余意义相反的量是亏损，
∴盈余2万元记作+2万元，，则−2万元表示亏损2万元，
故选：C．
【点睛】此题考查了运用正负数的概念和正负数的意义解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
【变式3-1】（2023春·浙江台州·七年级校考阶段练习）如果＋3圈 表示 顺时针转3圈，那么 －6圈 表示 （ ）
A．增加6圈B．增加－6圈C．减少6圈D．逆时针转6圈
【答案】D
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义：顺时针旋转为正，逆时针旋转为负，再根据题意作答．
【详解】如果＋3圈表示顺时针转3圈，那么－6圈表示逆时针转6圈；故选D.
【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
【变式3-2】（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示的是某用户微信支付情况，−100表示的意思是（ ）
A．发出100元红包B．收入100元C．余额100元D．抢到100元红包
【答案】A
【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可．
【详解】解：由题意可知，−100表示的意思是发出100元红包．
故选：A．
【点睛】考查用正负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提．
【变式3-3】（2023春·山东潍坊·七年级统考期中）先向南走5m，再向南走-4m的意义是（ ）
A．先向南走5m，再向南走4m
B．先向南走5m，再向北走-4m
C．先向北走-5m，再向南走4m
D．先向南走5m，再向北走4m
【答案】D
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答即可．
【详解】解：先向南走5m，再向南走-4m的意义是：先向南走5m，再向北走4m，
故选D.
【点睛】此题考查了正数和负数，关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【题型4 用正负数表示已知量】
【例4】（2023·浙江·七年级假期作业）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家. 若气温上升7℃，记作：+7℃，那么气温下降10℃可记作（ ）
A．7℃B．10℃C．D．−7℃
【答案】C
【分析】主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若上升记为正，则下降就记为负，直接得出结论即可．
【详解】解：若气温上升7℃，记作：+7℃，那么气温下降10℃，可记作：−10℃，
故选：C．
【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
【变式4-1】（2023春·七年级单元测试）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作−500年，那么公元2023年应记作（ ）
A．−2023年．B．+1523年．C．+2023年．D．+2523年．
【答案】C
【分析】根据相反意义的量进行求解即可．
【详解】解：∵公元前500年记作−500年，
∴公元前为“−”，
∴公元后为“+”，
∴公元2023年就是公元后2023年，
∴公元2023年应记作+2023年．
故选：C．
【点睛】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．
【变式4-2】（2023·山东烟台·一模）如果节约4吨水记为+4吨，那么浪费3吨水记为（ ）
A．+3吨B．-3吨C．+7吨D．-7吨
【答案】B
【分析】根据正负数可以表示具有相反意义的量解答即可．
【详解】解：∵节约记为“正”，∴浪费记为“负”，∴浪费3吨水记为－3吨．
故选：B．
【点睛】本题考查了正负数在实际中的应用，属于应知应会题型，熟知具有相反意义的量可以用正负数表示是关键．
【变式4-3】（2023春·湖北襄阳·七年级统考期末）随着季节的变化，某种蔬菜的价格也在发生变化．每千克涨1元记作+1元/千克，那么每千克降0.6元记作（ ）
A．+0.6元/千克B．+0.4元/千克C．−0.4元/千克D．−0.6元/千克
【答案】D
【分析】根据正数和负数代表的含义即可解答．
【详解】每千克涨1元记作+1元/千克，那么每千克降0.6元记作−0.6元/千克，
故选：D．
【点睛】本题考查正数和负数代表的含义，解题的关键是正确掌握正数和负数的意义．
【题型5 应用正负数的实际意义解决问题】
【例5】（2023春·全国·七年级专题练习）大米包装袋上有(10±0.2)kg的标识，则下面几袋大米重量合格的是（ ）
A．9.6kgB．9.7kgC．10.2kgD．10.3kg
【答案】C
【分析】根据正负数的意义求出质量合格的取值范围，然后判断即可．
【详解】解：∵10-0.2=9.8，
10+0.2=10.2，
∴质量合格的取值范围是9.8kg～10.2kg．
所以，四个选项中只有10.2kg合格．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【变式5-1】（2023春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）某工厂生产一批零件，要求对零件的标准是30±0.05mm为合格，该工厂生产出了一个29.9mm的零件，则该零件___________（填“合格”或“不合格”）.
【答案】不合格
【分析】根据题意，判断29.9mm的零件，不在30±0.05mm范围之内，进而即可求解．
【详解】解：∵要求对零件的标准是30±0.05mm为合格，
∴29.9mm的零件不在合格的范围内，即该零件不合格，
故答案为：不合格．
【点睛】本题主要考查正负数的意义，理解题意，得出零件的标准合格范围是关键．
【变式5-2】（2023春·河南郑州·七年级统考期中）某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm），则这种零件的标准尺寸是_____（mm），合格产品的零件尺寸范围是_____～_____（mm）．
【答案】 10 9.95 10.05
【分析】根据零件的直径尺寸是10±0.05（mm），意思是这种零件的标准尺寸是10mm，最大尺寸是（10＋0.05）mm，最小尺寸是（10−0.05）mm，计算后则可得出结果．
【详解】解：“正”和“负”相对，所以，某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm），
则这种零件的标准尺寸是10（mm），合格产品的零件尺寸范围是9.95～10.05（mm）．
故答案为：10，9.95，10.05．
【点睛】本题主要考查正负数的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，并能准确理解题意．
【变式5-3】（2023·全国·七年级专题练习）如图，加工一根轴，图纸上注明它的直径是Φ45−0.04+0.03．其中，Φ45表示直径是45mm，+0.03表示合格品的直径最大只能比规定的直径大0.03mm，–0.04表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.04mm，现有四根轴的直径尺寸（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．45.02B．45.01C．44.98D．44.93
【答案】D
【分析】根据题意可得出合格的范围，从而可判断出直径是否合格．
【详解】由题意得：合格范围为：45–0.04=44.96到45+0.03=45.03，而44.93