北师大版（2024）七年级上册3.3 整式课后复习题

这是一份北师大版（2024）七年级上册3.3 整式课后复习题，共25页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29141" 【题型1 直接代入】 PAGEREF _Tc29141 \h 1
\l "_Tc20236" 【题型2 整体代入-配系数】 PAGEREF _Tc20236 \h 2
\l "_Tc24290" 【题型3 整体代入-奇次项为相反数】 PAGEREF _Tc24290 \h 4
\l "_Tc14492" 【题型4 整体构造代入】 PAGEREF _Tc14492 \h 6
\l "_Tc20651" 【题型5 不含无关】 PAGEREF _Tc20651 \h 9
\l "_Tc5622" 【题型6 化简求值】 PAGEREF _Tc5622 \h 13
\l "_Tc26144" 【题型7 绝对值化简求值】 PAGEREF _Tc26144 \h 15
\l "_Tc31797" 【题型8 非负性求值】 PAGEREF _Tc31797 \h 19
\l "_Tc12846" 【题型9 新定义求值】 PAGEREF _Tc12846 \h 21
【题型1 直接代入】
【例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期中）已知a=x+20，b=x+19，c=x+21，那么式子a+b−2c的值是（ ）
A．−4B．−3C．−2D．−1
【答案】B
【分析】直接将a、b、c的值代入式子中即可求解．
【详解】∵ a=x+20，b=x+19，c=x+21，
∴ a+b−2c，
=x+20+x+19−2x+21
=x+20+x+19−2x−42
=−3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了代入法的计算，主要掌握计算方法是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·浙江·七年级期中）若x=−6，则代数式x2+6x−3的值是（ ）
A．−51B．−75C．−27D．−3
【答案】D
【分析】将x=−6代入x2+6x−3中，求值即可．
【详解】解：将x=−6代入x2+6x−3，
得−62+6×−6−3=36−36−3=−3．
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．
【变式1-2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）已知多项式−x2−3xy2−4的次数是a，二次项系数是b，那么a+b的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据多项式次数：最高项的次数，系数：相应的单项式的系数，求出a,b的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵多项式−x2−3xy2−4的次数是a，二次项系数是b，
∴a=3,b=−1，
∴a+b=3−1=2，
故选：C．
【点睛】本题考查多项式的次数和系数．解题的关键是掌握多项式次数为最高项的次数，系数为相应的单项式的系数．
【变式1-3】（2023春·内蒙古锡林郭勒盟·七年级校考期末）a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，则a2019+b20202019=（ ）
A．−1B．0C．12019D．2020
【答案】A
【分析】根据有理数的意义求出a，b，再代入求值．
【详解】解：∵a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，
∴a=−1，b=0，
∴a2019+b20202019=(−1)2019+020202019=−1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，乘方运算，求出a，b的值是解题的关键．
【题型2 整体代入-配系数】
【例2】（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期末）已知3a−4b=−2，则代数式a9−b+ba−12= ．
【答案】−6
【分析】先把代数式a9−b+ba−12进行化简得到33a−4b，再把3a−4b=−2整体代入即可．
【详解】解：a9−b+ba−12=9a−ab+ab−12b=9a−12b=33a−4b，
将3a−4b=−2代入得到，原式=3×−2=−6．
【点睛】本题考查整体代入法和合并同类项法则，解题的关键是掌握合并同类项法则和整体代入法．
【变式2-1】（2023春·北京朝阳·七年级校考期中）已知3a−7b=−3，则代数式22a+b−1+5a−4b−3b的值是 ．
【答案】−11
【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将3a−7b=−3代入计算即可得．
【详解】解：22a+b−1+5a−4b−3b
=4a+2b−2+5a−20b−3b
=9a−21b−2，
将3a−7b=−3代入得：原式=33a−7b−2=3×−3−2=−11，
故答案为：−11．
【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值、代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．
【变式2-2】（2023春·山西太原·七年级山西实验中学校考期中）若m2+3mn=−5，则9mn−3m2−3mn−5m2= ．
【答案】−10
【分析】将所求式子去括号合并同类项，整理成2(3mn+m2)，再整体代入求解即可．
【详解】∵m2+3mn=−5，
∴9mn−3m2−(3mn−5m2)
=9mn−3m2−3mn+5m2
=6mn+2m2
=2(3mn+m2)
=2×(−5)
=−10．
故答案为：−10．
【点睛】本题考查了整式的加减－化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则，利用整体代入是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·广东阳江·七年级统考期末）若a2+b2=5，则代数式(3a2−2ab−b2)−(a2−2ab−3b2)的值是 ．
【答案】10
【分析】先化简式子，再把已知式子整体代入计算即可.
【详解】解：(3a2−2ab−b2)−(a2−2ab−3b2)
=3a2−2ab−b2−a2+2ab+3b2
=2a2+2b2
=2(a2+b2)
=2×5
=10
故答案为10
【点睛】考核知识点：整式化简求值.掌握整式的加减法则是关键.
【题型3 整体代入-奇次项为相反数】
【例3】（2023春·湖北襄阳·七年级校联考期中）当x=1时，ax3+bx+6的值为2019.当x=−1时，ax3+bx+6的值为 ．
【答案】-2007
【分析】将x=1代入，得到方程a+b+6=2019，可以求出a+b=2013，将x=−1代入要求的式子中，再把a+b=2013代入即可.
【详解】解：∵当x=1时，ax3+bx+6的值为2019.
∴a+b+6=2019，
∴a+b=2013，
当x=−1时，ax3+bx+6=-a-b+6=-(a+b)+6=-2013+6=-2007.
故答案为：-2007.
【点睛】本题考查的是整式中的根据条件进行求值的问题，解题的关键是把条件和待求式都转化为关于a+b的式子.
【变式3-1】（2023春·四川遂宁·七年级统考期末）当x=−2时，代数式74ax3−4bx+8的值为16，则当x=2时，这个代数式的值是（ ）
A．0B．-16C．32D．8
【答案】A
【分析】由当x=−2时，代数式74ax3−4bx+8的值为16，可得−14a+8b=8，再把x=2代入代数式即可得到答案．
【详解】解：当x=−2时，代数式74ax3−4bx+8的值为16，
∴74a×−23−4b×−2+8=16，
∴−14a+8b+8=16，
∴−14a+8b=8，
当x=2时，
74ax3−4bx+8
=14a−8b+8
=−−14a+8b+8
=−8+8
=0.
故选A．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，掌握“利用整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键．
【变式3-2】（2023春·浙江杭州·七年级杭州育才中学校联考阶段练习）已知代数式ax5+bx3+3x+c，当x＝0时，该代数式的值为﹣1．
（1）求c的值；
（2）已知当x＝1时，该代数式的值为﹣1，试求a+b+c的值；
（3）已知当x＝2时，该代数式的值为﹣10，试求当x＝﹣2时该代数式的值；
（4）在第（3）小题的已知条件下，若有a＝b成立，试比较a+b与c的大小．
【答案】（1）-1；（2）-4；（3）8；（4）a+b>c．
【分析】（1）将x＝0代入代数式求出c的值即可；
（2）将x＝1代入代数式即可求出a+b+c的值；
（3）将x＝2代入代数式求出25a+23b的值，再将x＝﹣2代入代数式，变形后将25a+23b的值代入计算即可求出值；
（4）由25a+23b的值，变形得到32a+8b＝﹣15，将a＝b代入求出a的值，进而求出b的值，确定出a+b的值，与c的值比较大小即可．
【详解】解答：解：（1）把x＝0代入代数式，得到c＝﹣1；
（2）把x＝1代入代数式，得到a+b+3+c＝﹣1，
∴a+b+c＝﹣4；
（3）把x＝2代入代数式，得到25a+23b+6+c＝﹣10，即25a+23b＝﹣10+1﹣6＝﹣15，
当x＝﹣2时，原式＝﹣25a﹣23b﹣6﹣1＝﹣（25a+23b）﹣6﹣1＝15﹣6﹣1＝8；
（4）由（3）题得25a+23b＝﹣15，即32a+8b＝﹣8，
又∵a＝b，
∴40a＝﹣8，
∴a＝﹣15，
则b＝a＝﹣15，
∴a+b＝﹣15﹣15＝﹣25＞﹣1，
∴a+b＞c．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·七年级课时练习）当x＝﹣2021时，代数式ax7+bx5+cx3+3的值为7，其中a、b、c为常数，当x＝2021时，这个代数式的值是 ．
【答案】-1
【分析】由当x＝﹣2021时，代数式ax7+bx5+cx3+3的值为7，可求出关于a、b、c的多项式的值，将x＝2021代入代数式，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵当x＝﹣2021时，代数式ax7+bx5+cx3+3的值为7，
∴（﹣2021）7a+（﹣2021）5b+（﹣2021）3c+3＝7，
∴﹣20217a﹣20215b﹣20213c＝4，
∴20217a+20215b+20213c＝﹣4，
∴当x＝2021时，ax7+bx5+cx3+3＝20217a+20215b+20213c+3＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练正式加减的运算法则及运用整体的思想是解题的关键．
【题型4 整体构造代入】
【例4】（2023春·全国·七年级专题练习）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
我们知道，4x−2x+x=4−2+1x=3x．类似的我们可以把a+b看成一个整体，则4a+b−2a+b+a+b=4−2+1a+b=3a+b．请尝试解决：
(1)把a−b2看成一个整体，合并3a−b2−6a−b2+2a−b2=___________；
(2)已知x2−2y=4，求3x2−6y−21的值；
(3)已知a−5b=3，5b−3c=−5，3c−d=10，求a−3c+5b−d−5b−3c的值．
【答案】(1)−a−b2
(2)−9
(3)8
【分析】（1）把a−b2看成一个整体，提取公因式a−b2，即可求解；
（2）把3x2−6y−21整理为3x2−2y−21，再把x2−2y=4代入计算即可；
（3）把3a−b2−6a−b2+2a−b2化为a−5b+5b−3c+3c−d，再把a−5b=3，5b−3c=−5，3c−d=10代入计算即可．
【详解】（1）解：原式=a−b23−6+2
=−a−b2，
故答案为：−a−b2．
（2）解：∵3x2−6y−21=3x2−2y−21，
又∵x2−2y=4，
∴原式=3×4−21
=12−21
=−9；
（3）解：∵a−3c+5b−d−5b−3c
=a−3c+5b−d−5b+3c
=a−5b+5b−3c+3c−d
∴当a−5b=3，5b−3c=−5，3c−d=10时，
原式=3+−5+10
=8．
【点睛】本题考查了整式加减以及代数式求值，合并同类项，添括号与去括号是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·广东河源·七年级校考期末）若x2+2xy=−2，xy−y2=4，则x2+xy+y2的值是 .
【答案】－6
【分析】将已知等式相减计算即可求出值．
【详解】解：∵x2+2xy=−2①，xy−y2=4②，
∴①-②得:x²+2xy-(xy-y²)=-2-4,解得: x2+xy+y2=-6.
故答案为:-6.
【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·重庆·七年级重庆十八中校考期中）已知m2+2mn=13，3mn+2n2=21，则3m2+12mn+4n2−44=
【答案】37
【分析】把3m2+12mn+4n2−44化简为3(m2+2mn)+2(3mn+2n2)−44，然后利用整体代入法，即可得到答案．
【详解】3m2+12mn+4n2−44
=3m2+6mn+6mn+4n2−44
=3(m2+2mn)+2(3mn+2n2)−44，
∵m2+2mn=13，3mn+2n2=21，
∴原式=3×13+2×21−44=39+42−44=37；
故答案为37．
【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是正确进行化简，然后利用整体代入法求解．
【变式4-3】（2023春·广东惠州·七年级统考期中）我们知道，4a﹣3a+a＝（4﹣3+1）a＝2a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则4（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（4﹣3+1）（x+y）＝2（x+y）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请尝试：
（1）把（m﹣n）2看成一个整体，合并2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2的结果是 ；
（2）已知x2﹣4x＝2，求3x2﹣12x﹣152的值；
（3）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，求（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）的值．
【答案】（1）﹣（m﹣n）2；（2）−32；（3）-4
【分析】（1）把（m﹣n）2看成一个整体，合并同类项即可；
（2）将3x2﹣12x﹣152的前两项运用乘法分配律可化为x2﹣4x的3倍，再将x2﹣4x＝2整体代入计算即可；
（3）对（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）去括号，再合并同类项，将a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10三个式子相加，即可得到a﹣d的值，则问题得解．
【详解】（1）2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2＝﹣（m﹣n）2，
故答案为：﹣（m﹣n）2；
（2）3x2﹣12x﹣152
＝3（x2﹣4x）﹣152，
∵x2﹣4x＝2，
∴原式=3×2−152=−32；
（3）（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）
＝2b﹣d﹣2b+c+a﹣c
＝a﹣d，
∵a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，
∴a﹣2b+c﹣d+2b﹣c＝3+3﹣10，
∴a﹣d＝﹣4，
∴（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）＝﹣4．
【点睛】本题考查了合并同类项，整式的化简求值，关键是运用整体思想来解决．
【题型5 不含无关】
【例5】（2023春·江西新余·七年级统考期末）已知多项式4x2+ax−y+6−4bx2−x+5y−1．
(1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值；
(2)在（1）的条件下，先化简多项式3a2−ab+b2−2a2+3ab+b2，再求它的值；
(3)在（1）的条件下，求b+a2+2b+11×2a2+3b+12×3a2+⋯+10b+19×10a2的值．
【答案】(1)b=1,a=−1
(2)a2−6ab+2b2；9
(3)56910
【分析】（1）根据去括号，合并同类项，进行计算，根据题意，令含x的项系数为0，得出a,b的值；
（2）根据去括号，合并同类项，进行化简，然后将a,b的值代入进行计算；
（3）先去括号，裂项相减，合并同类项，然后将a,b的值代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：4x2+ax−y+6−4bx2−x+5y−1
=4x2+ax−y+6−4bx2+x−5y+1
=4−4bx2+a+1x−6y+7，
∵多项式的值与字母x的取值无关，
∴4−4b=0,a+1=0，
解得：b=1,a=−1；
（2）解：3a2−ab+b2−2a2+3ab+b2
=3a2−3ab+3b2−2a2−3ab−b2
=a2−6ab+2b2，
当b=1,a=−1时，原式=−12−6×−1×1+2×12 =1+6+2=9，
（3）解：b+a2+2b+11×2a2+3b+12×3a2+⋯+10b+19×10a2
=b+2b+3b+⋅⋅⋅+10b+a2+a2−12a2+12a2−13a2+⋅⋅⋅+19a2−110a2
=55b+2−110a2
=55b+1910a2；
当b=1,a=−1时，原式= 55+1910=56910．
【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，正确的去括号与合并同类项是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·四川眉山·七年级统考期末）已知：A=a2−ab−3b2，B=2a2+ab−6b2．
(1)计算2A−B的表达式；
(2)若代数式2x2+ax−y+6−2bx2−3x+5y−1的值与字母x的取值无关，求代数式2A−B的值．
【答案】(1)−3ab
(2)9
【分析】（1）根据题意列出式子，再去括号合并同类项即可得到答案；
（2）先去括号，再合并同类项进行化简，再根据“代数式2x2+ax−y+6−2bx2−3x+5y−1的值与字母x的取值无关”可求出a、b的值，从而得到答案．
【详解】（1）解：2A−B=2a2−ab−3b2−2a2+ab−6b2
=2a2−2ab−6b2−2a2−ab+6b2
=−3ab；
（2）解：2x2+ax−y+6−2bx2−3x+5y−1
=2x2+ax−y+6−2bx2+3x−5y+1
=(2−2b)x2+(a+3)x−6y+7，
∵代数式2x2+ax−y+6−2bx2−3x+5y−1的值与字母x的取值无关，
∴2−2b=0，a+3=0，
∴a=−3，b=1，
∴2A−B=−3ab=−3×−3×1=9．
【点睛】本题主要考查了整式的加减—去括号、合并同类项，整式的加减中的无关型问题，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·湖南永州·七年级统考期中）已知代数式A=3x2−4x+2
(1)若B=x2−2x−1，
①求A−2B；
②当x=−2时，求A−2B的值；
(2)若B=ax2−x−1（a为常数），且A与B的和不含x2项，求整式4a2+5a−2的值．
【答案】(1)①x2+4；②8
(2)19
【分析】（1）根据整式的加减运算化简求值即可；
（2）根据整式的加减运算顺序即可求解；
（3）根据和中不含x2项即是此项的系数为0即可求解．
【详解】（1）①A−2B=(3x2−4x+2)−2(x2−2x−1)
=3x2−4x+2−2x2+4x+2
=x2+4，
②由①知A−2B=x2+4，
当x=−2时，A−2B=(−2)2+4=4+4=8；
（2）∵A=3x2−4x+2，B=ax2−x−1
∴A+B=(3x2−4x+2)+(ax2−x−1)
=3x2−4x+2+ax2−x−1
=(3+a)x2−5x+1，
∵A与B的和不含x2项，
∴3+a=0，
即a=−3，
∴4a2+5a−2=4×(−3)2+5×(−3)−2
=4×9−15−2
=36−15−2
=19．
【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握多项式加减的运算法则，合并同类项的法则．
【变式5-3】（2023春·湖南永州·七年级校考期中）若多项式2x2−ax+3y−b+bx2+2x−6y+5的值与字母x无关，试求多项式6a2−2ab−b2−2a2−3ab+4b2的值．
【答案】12
【分析】先将多项式进行合并，根据值与字母x无关，得到含x的项的系数均为0，求出a,b的值，再去括号，合并同类项进行多项式的化简，然后代值计算即可．
【详解】解：2x2−ax+3y−b+bx2+2x−6y+5=2+bx2+2−ax−3y+5，
∵多项式2x2−ax+3y−b+bx2+2x−6y+5的值与字母x无关，
∴2+b=0，2−a=0，
解得b=−2，a=2；
∴6a2−2ab−b2−2a2−3ab+4b2
=6a2−12ab−6b2−2a2+3ab−4b2
=4a2−9ab−10b2
=4×22−9×2×−2−10×−22
=16+36−40
=12．
【点睛】本题考查整式加减中的无关型问题以及化简求值．解题的关键是熟练掌握整式加减的运算法则，正确的进行计算．
【题型6 化简求值】
【例6】（2023春·甘肃定西·七年级校考期中）先化简，再求值：
(1)−6x+3(3x2−1)−(9x2−x+3)，其中x=−13；
(2)3x2−5x+12x−y+2x2+2y，其中x=−2，y=12．
【答案】(1)−5x−6，−133
(2)x2−112x+3y，332
【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
（2）原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式=−6x+9x2−3−9x2+x−3
=−5x−6，
当x=−13时，原式=−5×−13−6=−133；
（2）原式=3x2−5x+12x−y+2x2+2y
=3x2−5x−12x+y−2x2+2y
=x2−112x+3y，
当x=−2，y=12时，
原式=(−2)2−112×(−2)+3×12=332．
【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-1】（2023春·江苏徐州·七年级校考期中）（1）先化简，再求值3a2+2ab−5a2+b2−2ab+3b2，其中a=−1，b=1；
（2）先化简，再求值：4xy−x2−y2−2x2+3xy−12y2，其中x=−2，y=12．
【答案】（1）−2a2+4b2，2；（2）10xy+x2，−6
【分析】（1）合并同类项化简后，再代入a、b的值进行计算即可；
（2）先去括号，再合并同类项，然后代入x、y的值进行计算即可．
【详解】解：（1）3a2+2ab−5a2+b2−2ab+3b2=−2a2+4b2，
当a=−1，b=1时，原式=−2×−12+4×12=−2+4=2；
（2）4xy−x2−y2−2x2+3xy−12y2
=4xy−x2−y2−2x2−6xy+y2
=4xy−x2+y2+2x2+6xy−y2
=10xy+x2，
当x=−2，y=12时，原式=10×−2×12+−22=−10+4=−6．
【点睛】本题主要考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握运算法则，准确进行计算，是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）先化简，再求值：4xy−2(x2+52xy−y2)+2(x2+3xy+1)−3，其中x=−2，y=12．
【答案】2y2+5xy−1，−112
【分析】根据整式的加减混合运算，代入求值即可求解．
【详解】解：4xy−2(x2+52xy−y2)+2(x2+3xy+1)−3
=4xy−2x2−2×52xy+2y2+2x2+2×3xy+2−3
=2y2+5xy−1，
当x=−2，y=12时，原式=2y2+5xy−1=2×122+5×(−2)×12−1=−112．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握其运算法则是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·河南漯河·七年级校考期末）先化简，再求值：2xy−3−53x2y+23xy−xy−3x2y+2xy，其中x是−2的倒数，y是最大的负整数．
【答案】2x2y+3xy，1
【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用倒数的性质及最大负整数为−1确定出x与y的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：2xy−3−53x2y+23xy−xy−3x2y+2xy
=2xy−−5x2y+2xy−xy+3x2y+2xy
=2xy+5x2y−2xy+xy−3x2y+2xy
=2x2y+3xy，
∵x是−2的倒数，y是最大的负整数，
∴x=−12，y=−1，
则原式=2×−122×−1+3×−12×−1
=1．
【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，以及倒数，最大的负整数是−1，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【题型7 绝对值化简求值】
【例7】（2023春·河南南阳·七年级校考期末）若−3【答案】−x−8
【分析】由−30，3x+9>0，4−2x>0，再化简绝对值，合并同类项即可．
【详解】解：∵−3∴x−2<0，x+3>0，3x+9>0，4−2x>0，
∴x−2+x+3−3x+9−4−2x
=2−x+x+3−3x−9−4+2x
=−x−8．
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，熟练的化简绝对值是解本题的关键．
【变式7-1】（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab<0．
(1)原点在第_________部分（填序号）；
(2)化简式子：a−b−c−a−a；
(3)若c−5+a+12=0，且BC=2AB，求点B表示的数．
【答案】(1)②
(2)a+b−c
(3)点B表示的数为1
【分析】（1）根据题意，结合数轴，得出a<0，b>0，再根据数轴，即可得出答案；
（2）根据（1），可知a<0，b>0，进而得出c>0，再根据有理数的加减法，得出a−b<0，c−a>0，再根据绝对值的意义，化简即可；
（3）根据绝对值和平方的非负性，得出c−5=0，a+1=0，解出a、b的值，再根据数轴，得出5>b>−1，再根据数轴上两点之间的距离，得出BC=5−b，AB=b−−1=b+1，再根据题意，得出关于b的方程，解出即可得出点B表示的数．
【详解】（1）解：∵点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab<0，
∴a<0，b>0，
∴原点在点A和点B之间，
又∵从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，
∴原点在第②部分；
故答案为：②
（2）解：∵a<0，b>0，
∴a−b<0，c>0，
∴c−a>0，
∴a−b−c−a−a
=b−a−c−a−−a
=b−a−c+a+a
=a+b−c；
（3）解：∵c−5+a+12=0，
又∵c−5≥0，a+12≥0，
∴c−5=0，a+1=0，
∴c=5，a=−1，
∵B对应的数是b，5>b>−1，
∴BC=5−b，AB=b−−1=b+1，
又∵BC=2AB，
∴5−b=2×b+1，即3b=3，
解得：b=1，
∴点B表示的数为1．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的意义、绝对值和平方的非负性、整式的加减法、数轴上两点之间的距离，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答．
【变式7-2】（2023春·江西抚州·七年级统考期末）同学们都知道，3−1表示3与1的差的绝对值，可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理a+5也可理解为a与−5两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成：
(1)x−6可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离；
(2)若x−2+x+4=8，则x=_________________；
(3)已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，化简：a−b+c−b+a+c+b+c．
【答案】(1)x，6
(2)−5或3
(3)−b−3c
【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可；
（2）根据题意分x≤−4，−4（3）首先根据a，b，c三个数在数轴上的位置判断绝对值内式子的正负，进而去掉绝对值，然后合并即可．
【详解】（1）x−6可理解为x与6在数轴上所对应的两点之间的距离，
故答案为：x，6．
（2）当x≤−4时，
x−2+x+4=8
2−x−x−4=8，解得x=−5
当−4x−2+x+4=8
2−x+x+4=8，即6≠8，不符合题意，应舍去，
当x≥2时，
x−2+x+4=8
x−2+x+4=8，解得x=3
综上所述，x的值为−5或3，
故答案为：−5或3．
（3）有a，b，c三个数在数轴上的位置可得，
ca，
∴a−b>0，c−b<0，a+c<0，b+c<0
∴a−b+c−b+a+c+b+c
=a−b+b−c−a−c−b−c
=−b−3c．
【点睛】本题考查数轴、绝对值、解一元一次方程、合并同类项，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
【变式7-3】（2023春·湖北黄石·七年级统考期末）p、q、r、s是数轴上的四个数：若p−r=3，p−s=9，则r−s的值为 ．
【答案】6或12/12或6
【分析】根据绝对值的性质，分别求出p−r和p−s的值，再进行运算即可．
【详解】解：∵p−r=3，p−s=9，
∴p−r=3①或p−r=−3②，
p−s=9①或p−s=−9④，
①−③得：p−r−p+s=−r+s=−6，
即r−s=6，
∴此时r−s=6；
①−④得：p−r−p+s=−r+s=12，
即r−s=−12，
∴此时r−s=12；
②−③得：p−r−p+s=−r+s=−12，
即r−s=12，
∴此时r−s=12；
②−④得：p−r−p+s=−r+s=6，
即r−s=−6，
∴此时r−s=6；
综上分析可知，r−s的值为6或12．
故答案为：6或12．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意进行分类讨论．
【题型8 非负性求值】
【例8】（2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期末）已知A=2a2+b2−5ab,B=a2−3ab+2，
(1)化简：A−2B+4；
(2)若a+2+(b−1)2=0，求A−2B+4的值．
【答案】(1)b2+ab；
(2)−1
【分析】（1）把A与B代入A−2B+4中，去括号合并即可得到结果；
（2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【详解】（1）∵A=2a2+b2−5ab,B=a2−3ab+2，
∴A−2B+4
=2a2+b2−5ab−2a2−3ab+2+4
=2a2+b2−5ab−2a2+6ab−4+4
=b2+ab；
（2）∵a+2≥0,b−12≥0
又∵a+2+(b−1)2=0，
∴a=−2，b=1
当a=−2，b=1时，
原式=12+−2×1=−1．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解本题的关键．
【变式8-1】（2023春·辽宁阜新·七年级阜新实验中学校考期末）已知A=2x2+3xy−2x，B=x2−xy+y2．
(1)求2A−4B，且当x，y满足x−12+y+2=0时，求2A−4B的值；
(2)若2A−4B的值与x的取值无关，求y的值．
【答案】(1)10xy−4x−4y2，−40
(2)y=25
【分析】（1）先直接把A，B代入代入计算即可求出2A−4B，再根据非负性求出x、y的值，再代入计算即可；
（2）直接将10xy−4x−4y2转化为10y−4x−4y2计算y即可．
【详解】（1）解∶∵A=2x2+3xy−2x，B=x2−xy+y2，
∴2A−4B
=22x2+3xy−2x−4x2−xy+y2
=4x2+6xy−4x−4x2+4xy−4y2
=10xy−4x−4y2，
∵x−12+y+2=0，
∴x−1=0且y+2=0，
∴x=1，且y=−2，
把x=1，且y=−2代入，
原式=10×1×−2−4×1−4×−22
=−40；
（2）解：∵2A−4B的值与x的取值无关，
∴2A−4B=10xy−4x−4y2
=10y−4x−4y2，
∴10y−4=0，
∴y=25．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·湖北咸宁·七年级统考期中）若x+y+3+xy−22=0，则（4x﹣2xy+3）﹣（2xy﹣4y+1）的值为 ．
【答案】﹣18
【分析】根据非负数的性质求出x＋y＝－3，xy＝2，然后去括号、合并同类项，将式子变形后整体代入计算即可．
【详解】解：由x+y+3+xy−22=0得：x＋y＋3＝0，xy−2＝0，
∴x＋y＝－3，xy＝2，
∴4x−2xy+3−2xy−4y+1
＝4x−2xy+3−2xy+4y−1
=4x+y−4xy+2
=4×−3−4×2+2
=−12−8+2
=−18．
故答案为：−18．
【点睛】本题考查了非负数的性质，整式的化简求值，利用非负数的和为零得出x＋y，xy的值是解题关键．
【变式8-3】（2023春·甘肃天水·七年级校考期末）先化简再求值：5ab2−2a2b−3ab2−22ab2+a2b，其中a,b满足a+1+(b−2)2=0．
【答案】−4ab2−8a2b，0
【分析】先去括号，合并同类项，得到化简的结果，再利用非负数的性质求解a，b的值，再代入计算即可．
【详解】解：5ab2−2a2b−3ab2−22ab2+a2b
=5ab2−2a2b−3ab2−4ab2−2a2b
=5ab2−2a2b−3−3ab2−2a2b
=5ab2−2a2b+9ab2+6a2b
=5ab2−8a2b+9ab2
=5ab2−8a2b−9ab2
=−4ab2−8a2b；
∵a+1+(b−2)2=0，
∴a+1=0，b−2=0，
解得：a=−1，b=2，
∴原式=−4×−1×22−8×−12×2
=16−16
=0．
【点睛】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，熟练的掌握去括号，合并同类项是解本题的关键．
【题型9 新定义求值】
【例9】（2023春·广东河源·七年级统考期末）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b=a−2b，例如：2⊕3=2−2×3=−4．
(1)求−3⊕2的值；
(2)先化简，再求值：x−2y⊕x+2y，其中x=−1，y=2．
【答案】(1)−7
(2)−x−6y，−11
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，再求出x，y，然后代入计算即可．
【详解】（1）∵a⊕b=a−2b，
∴−3⊕2=−3−2×2=−3−4=−7；
（2）由题意，得
x−2y⊕x+2y=x−2y−2x+2y=x−2y−2x−4y=−x−6y
当x=−1，y=2时，
原式=−−1−6×2=1−12=−11．
【点睛】本题考查了新定义，整式的加减，有理数的混合运算，理解新定义掌握运算法则是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）定义一种新的运算a∗b=a+bab，则3∗−2的值为 ．
【答案】−16
【分析】根据题目所给的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：3∗−2=3+−23×−2=−16，
故答案为：−16．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则．
【变式9-2】（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）定义一种新运算“⊕”，a⊕b=2a−3b，比如：1⊕−3=2×1−3×−3．
(1)求−2⊕3的值；
(2)若A=3x−2⊕x+1，B=−32x+1⊕−1−2x，求A−B的值．
【答案】(1)−13
(2)−12
【分析】（1）直接利用运算符号的意义计算进而得出答案；
（2）直接利用运算符号的意义求出A，B，再计算A−B即可．
【详解】（1）解：原式=2×(−2)−3×3，
=−4−9
=−13；
（2）A=2(3x−2)−3(x+1)
=6x−4−3x−3
=3x−7，
B=2(−32x+1)−3(−1−2x)
=3x+5，
则A−B=3x−7−3x+5=−12．
【点睛】此题主要考查了整式的加减，正确理解运算符号的意义是解题关键．
【变式9-3】（2023春·北京东城·七年级统考期末）给出定义如下：我们称使等式a−b=ab+1的成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为a,b．如：3−12=3×12+1，5−23=5×23+1，所以数对3,12，5,23都是“相伴有理数对”．
(1)数对−2,13，−12,−3中，是“相伴有理数对”的是 ___________；
(2)若x+1,5是“相伴有理数对”，则x的值是 ___________；
(3)若a,b是“相伴有理数对”，求3ab−a+12a+b−5ab+1的值．
【答案】(1)−12,−3
(2)−52
(3)12
【分析】（1）根据相伴有理数的定义求解即可
（2）根据相伴有理数的定义求解即可
（3）先化简3ab−a+12a+b−5ab+1=12ab−12（a−b）+1，再根据相伴有理数的定义a−b=ab+1，即可求解
【详解】（1）由题意可得：
当a=−2，b=13时，
∵a−b=−2−13=−73，ab+1=−2×13+1=13，
∴a−b≠ab+1，
所以−2,13不是“相伴有理数对”，
当a=−12，b=−3时，
∵a−b=−12−−3=52，ab+1=−12×−3+1=52，
∴a−b=ab+1，
∴−12,−3是“相伴有理数对”，
故答案为：−12,−3；
（2）∵x+1,5是“相伴有理数对”，
∴x+1−5=x+1×5+1，
解得：x=−52，
故答案为：−52；
（3）∵3ab−a+12a+b−5ab+1
=3ab−a+12a+12b−5ab2+1
=12ab−12（a−b）+1，
a,b是“相伴有理数对”，
∴a−b=ab+1
∴原式=12ab−12（ab+1）+1
=12ab−12ab−12+1
=12．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算和整式的加减中的化简求值，理解新定义、熟练掌握整式的运算法则是解决问题的关键.