初中数学北师大版（2024）七年级上册4.4 角的比较课堂检测

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册4.4 角的比较课堂检测，共40页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31502" 【题型1 角的相关概念辨析】 PAGEREF _Tc31502 \h 1
\l "_Tc276" 【题型2 角的单位换算】 PAGEREF _Tc276 \h 4
\l "_Tc1464" 【题型3 钟表上有关角的计算】 PAGEREF _Tc1464 \h 7
\l "_Tc7001" 【题型4 与方向角有关的计算】 PAGEREF _Tc7001 \h 9
\l "_Tc30909" 【题型5 角的计数问题】 PAGEREF _Tc30909 \h 13
\l "_Tc10985" 【题型6 角的比较】 PAGEREF _Tc10985 \h 17
\l "_Tc1483" 【题型7 与角平分线相关的角的运算】 PAGEREF _Tc1483 \h 21
\l "_Tc28585" 【题型8 与角n等分线相关的角的运算】 PAGEREF _Tc28585 \h 27
\l "_Tc5745" 【题型9 在三角板中的角的运算】 PAGEREF _Tc5745 \h 34
【知识点1 角的概念及其表示方法】
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
【题型1 角的相关概念辨析】
【例1】完成以下各题．
(1)写出图中能用一个字母表示的角；
(2)写出图中以A为顶点的角；
(3)图中共有几个角？
【答案】(1)能用一个字母表示的角有2个：∠B，∠D
(2)以A为顶点的角有6个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE
(3)图中所有的角有11个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE，∠D，∠ACD，∠ACB，∠BCD，∠B
【分析】（1）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；
（2）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；
（3）根据角的概念即可得到答案．
【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：∠B，∠D；
（2）以A为顶点的角有6个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE；
（3）图中所有的角有11个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE，∠D，∠ACD，∠ACB，∠BCD，∠B．
【点睛】本题主要考查了角的概念．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角的边越长，角越大
【答案】C
【分析】根据角的动态定义和角的静态定义解答．
【详解】解：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意；
B、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意；
C、角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故此选项符合题意；；
D、角度的大小与边的长短无关，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了角的动态定义，解题关键是熟练掌握角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．角的静态定义：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边．
【变式1-2】如图所示，图中可以用一个字母表示的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案．
【详解】解：能用一个字母表示的角有2个：∠A，∠C；
故选B．
【点睛】本题考查了角的概念，能数出符合的所有角是解题的关键．
【变式1-3】如图，

(1)用不同的方法表示图中以D为顶点的角；
(2)写出以B为顶点的角与边；
(3)画出DA′，使∠ADA′成平角，写出它的边．
【答案】(1)∠ADB或∠1或∠D
(2)角为∠CBD（或∠B或∠2），边是BD，BC
(3)图见解析，边是DA，DA′
【分析】（1）根据角的表示方法即可得到答案；
（2）根据角的表示方法和边的定义即可得到答案；
（3）根据平角的定义和边的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：由图可得：
用三个字母表示以D为顶点的角为：∠ADB，
用一个字母表示以D为顶点的角为：∠D，
用数字表示以D为顶点的角为：∠1，
故答案为：∠ADB或∠1或∠D．
（2）解：解：由图可得：
用三个字母表示以B为顶点的角为：∠CBD，
用一个字母表示以B为顶点的角为：∠B，
用数字表示以B为顶点的角为：∠2，
以B为顶点边是BD，BC，
故答案为：角为∠CBD（或∠B或∠2），边是BD，BC．
（3）解：如图，DA′是射线DA的反向延长线，

则∠ADA′成平角，∠ADA′的边是DA，DA′．
【点睛】本题考查角的概念，熟练掌握角的概念与表示方法是解题的关键．
【题型2 角的单位换算】
【例2】关于度、分、秒的换算．
（1）56°18′用度表示；
（2）12°32′24″用度表示；
（3）12.31°用度、分、秒表示．
【答案】（1）56.3°．（2）12.54°．（3）12°18′36″．
【分析】（1）将18′转化为18×(160)°=0.3°即可得到答案；
（2）将24″转化为24×(160)′=0.4′，32.4′转化为32.4×(160)°=0.54°即可得到答案；
（3）将0.31°转化为0.31×60′=18.6′，将0.6′转化为0.6×60″=36″即可得到答案．
【详解】（1）56°18′=56°+18′=56°+18×(160)°=56.3°；
（2）12°32′24″
=12°+32′+24″
=12°+32′+24×(160)′
=12°+32.4′
=12°+32.4×(160)°
=12.54°；
（3）12.31°=12°+0.31°
=12°+0.31×60′
=12°+18.6′
=12°+18′+0.6′
=12°+18′+0.6×60″
=12°+18′+36″
=12°18′36″．
【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
【变式2-1】比较大小：60°25′ 60.25°（填“>”，“
【分析】先把单位化统一，再比较大小即可到答案．
【详解】解：∵60.25°=60°+0.25°=60°15'，
∴60°25′>60.25°，
故答案为：>
【点睛】本题考查了角的大小比较，注意单位要化统一，掌握1°=60′是解题关键．
【变式2-2】计算
（1）34°41′25″×5；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4．
【答案】（1）173°27′5″；（2）110°29′30″．
【分析】（1）根据角度与整数的乘法法则计算即可；
（2）根据角度的四则混合运算法则计算即可．
【详解】（1）34°41′25″×5
＝（34°＋41′＋25″）×5
＝34°×5＋41′×5＋25″×5
＝170°＋205′＋125″
＝173°27′5″；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4
＝36°17′30″＋72°132′
＝110°29′30″．
【点睛】本题主要考查了角度的运算，正确理解角度的60进制是解答本题的关键．
【变式2-3】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠C＞∠B＞∠A
C．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
【答案】D
【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再进行比较，即可得到答案．
【详解】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25°
0.25°＝0.25×60′＝15′，
∴∠C＝30°15′，
∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，
∴∠A＞∠B＞∠C
故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，解题的关键是正确进行度分秒之间的换算，从而完成求解．
【知识点2 钟表上有关夹角问题】
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【题型3 钟表上有关角的计算】
【例3】某同学走进教室发现黑板前的钟表为8：30，他想知道再过多长时间分针能和时针第一次重合．假设钟表走时准确，请问再过 分钟．
【答案】15011
【分析】由钟表旋转可得每过一分钟时针转过的角度为0.5度，分针每分钟走6度，设再过x分钟，分针与时针第一次重合，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：钟表上一周是360度，有12个大格，
∴每个大格的度数为：360÷12=30度，
一个大格有5个小格，
∴每个小格的度数为：30÷5=6度，
一小时是60分钟，每过一分钟时针转过的角度为：30÷60=0.5度，分针每分钟走6度，
设再过x分钟，分针与时针第一次重合，
根据题意得：0.5x+60+0.5×30=6x，
解得：x=15011，
故答案为：15011．
【点睛】题目主要考查钟面角度的计算及一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
【变式3-1】实验中学上午10:10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
【答案】C
【分析】时钟上每一大格是30°，此时时针与分针所夹的角是30°×4减去时针转动的度数．
【详解】解：时钟上每一大格是30°，
∵10:10时时针与分针之间有四个大格，且此时时针转动30°×10÷60=5°，
∴此时时针与分针所夹的角是30°×4−5°=115°，
故选：C．
【点睛】本题考查时间的推算和角度的计算，明确时钟上每一大格是30°和时针转动的度数是解题的关键．
【变式3-2】小明下午4点多外出购物，当时钟面上的时针与分针的夹角恰好为88∘，下午不到5点回家时，时针与分针的夹角又是88∘，则小明外出的时间是 分钟．
【答案】32
【分析】根据题意，设小明外出到回家时针走了x°，则分针走了2×88°+x°，可得到时针的度数，又因为时针每小时走30°，故小明外出用的时间可求．
【详解】解：设时针从小明外出到回家走了x°，则分针走了2×88°+x°，由题意，得2×88°+x°360°=x°30°，
解得x=16°，
∵时针每小时走30°，
∴16°30°=3260小时，
即小明外出用了32分钟时间．
故答案为：32
【点睛】本题考查应用类问题，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动112°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立方程求解．
【变式3-3】钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻： ．（结果形如6点2311分）
【答案】6点16011分或6点56011
【分析】设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，根据时针与分针的角度差为100°，分时针与分针重合前以及重合后分别列出方程即可求解．
【详解】解：设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，时针每分钟转30°60=0.5°，分针每分钟转6°，六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°，依题意得
分时针与分针重合前，0.5m+180−6m=100，
解得：m=16011
分时针与分针重合后，6m−0.5m+180=100，
解得：m=56011
故答案为：6点16011分或6点56011．
【点睛】本题考查了钟面角的计算，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
【知识点3 方向角】
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
【题型4 与方向角有关的计算】
【例4】根据描述标出每个同学家的位置
(1)小红家在学校东偏北30°方向150米处．
(2)学校在小平家北偏西45°方向200米处．
(3)小华家在学校南偏西60°方向100米处．
(4)小刚家在学校西偏北30°方向150米处．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）利用方向角的定义即可解答；
（2）利用方向角的定义即可解答；
（3）利用方向角的定义即可解答；
（4）利用方向角的定义即可解答．
【详解】（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）如图所示，
（4）如图所示，
【点睛】本题考查了用坐标表示地理位置，正确掌握方向角的定义是解题的关键．
【变式4-1】从海岛A 点观察海上两艘轮船 B、C．轮船B在点A的北偏东 60°25′方向；轮船C在点A的南偏东15°37′方向，则∠BAC= ．
【答案】103°58′
【分析】首先根据题意画出草图，然后由方向角的定义，确定AB、AC与正北方向、正南方向的夹角；然后根据角的关系计算，即可求出∠BAC的度数．
【详解】解：如图，
∵轮船B在点A的北偏东60°25′方向；轮船C在点A的南偏西15°37′方向，
∴∠ABC=180°−60°25′−15°37′=103°58′．
故答案为：103°58′．
【点睛】本题主要考查了与方向角有关的计算，解决本题的关键是掌握方向角的定义．
【变式4-2】如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（ ）

A．85°B．105°C．125°D．160°
【答案】C
【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
【变式4-3】如图，货轮甲从港口O出发，沿东偏南60°的方向航行20海里后到达A处．（已知四个圆圈的半径（由小到大）分别是5海里，10海里，15海里，20海里．）
（1）写出在港口O观测灯塔B，C的方向及它们与港口的距离；
（2）已知灯塔D在港口O的南偏西30°方向上，且与灯塔B相距35海里，在图中标出灯塔D的位置．
（3）货轮乙从港口O出发，沿正东方向航行15海里到达P处后，需把航行方向调整到与货轮甲的航行方向一致，此时货轮乙应向左（或右）转多少度？并画出货轮乙航行线路示意图．
【答案】（1）灯塔B的方向是东偏北60°，灯塔C的方向是正北方向，灯塔B与港口O相距离20海里，灯塔C与港口O相距离10海里；（2）详见解析；（3）货轮乙应向右转60°，画图见解析
【分析】（1）根据方位角的定义以及题意可求出港口O观测灯塔B，C的方向及它们与港口的距离；（2）根据方位角的定义即可找出灯塔D的位置；（3）根据甲的方向航行以及乙的航行方向可求出货轮乙应向左（或右）转的角度，以及航行线路示意图.
【详解】（1）灯塔B的方向是东偏北60°，
灯塔C的方向是正北方向，
灯塔B与港口O相距离20海里，
灯塔C与港口O相距离10海里；
（2）灯塔D的位置如图所示；
（3）∵甲沿东偏南60°航行，乙沿正东方向航行
要使乙与甲的航行方向一致
∴货轮乙应向右转60°即顺时针转60°，
航行线路如图所示．
【点睛】本题主要考查了方向角含义，理解方向角的定义是解决本题的关键．
【题型5 角的计数问题】
【例5】解答下列各题
（1）如图，在∠AOB中，以O为顶点引射线，填表：
（2）若∠AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
（3）若∠AOB内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？
【答案】（1）3，6，10，15；（2）12(n+1)(n+2)；（3）2043231
【分析】（1）若∠AOB内射线的条数是n，可构成12(n+1)(n+2)个角，依据规律回答即可；
（2）若∠AOB内射线的条数是n，可构成12(n+1)(n+2)个角，依据规律回答即可；
（3）把2020代入12(n+1)(n+2)求解即可．
【详解】解：（1）填表如下：
（2）当n=1时，角总个数为：1+2=3，
当n=2时，角总个数为：1+2+3=6，
当n=3时，角总个数为：1+2+3+4=10，
当n=4时，角总个数为：1+2+3+4+5=15，
...
当n=n时，角总个数为：
1+2+3+4+5+⋯+(n+1)=12(n+1)(n+2)，
即∠AOB内射线的条线是n时，
角总个数为：12(n+1)(n+2)
（3）当∠AOB内有射线条数是2020时，
角总个数为：12×2021×2022=2043231（个）．
【点睛】本题主要考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成12n（n-1）个角．
【变式5-1】如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，如图所示，若从点O出发的n条射线，可以组成角的个数是nn−12
【详解】解：组成角的个数是nn−12=5×5−12=10
故选C．
【点睛】此题主要考查了角的概念以及应用，要熟练掌握．利用公式：从点O出发的n条射线，组成角的个数为nn−12，是解决问题的关键．
【变式5-2】如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角；
（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有 个角；
（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成 个角；（用含n的式子表示）
（3）实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为 场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是 场．
【答案】 15 nn−12 28 n(n－1)
【分析】（1）观察图形可知， 2条射线组成1个角，3条射线就可以组成2+1=3个角，4条射线可以组成3+2+1=6个角，依此可得6条射线组成角的个数是1+2+3+4+5然后计算即可；
（2）根据（1）的规律可知：n条射线组成角的个数是1+2+3+…+（n-1），然后计算即可；
（3）将每只球队当作一条射线，每场单循环赛当作一个角，然后利用（2）的规律解答即可；
【详解】解：（1）观察图形可知，2条射线组成1个角，3条射线就可以组成2+1=3个角，4条射线可以组成3+2+1=6个角，依此可得6条射线组成角的个数是1+2+3+4+5=15；
（2）根据（1）的规律可知：n条射线组成角的个数是1+2+3+…+（n-1）=nn−12；
（3）将每只球队当作一条射线，每场单循环赛当作一个角，所以8支篮球队进行单循环比赛相当于8条射线可以组成的角，即比赛场数88−12=28；
如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是nn−12×2= n(n－1).
故答案为（1）15，（2）nn−12，（3）28, n(n－1).
【点睛】考查了数角的个数、归纳总结规律以及迁移应用规律的能力，根据题意总结规律和迁移应用规律是解答本题的关键．
【变式5-3】在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA､OB可组成的角的个数是（ ）
A．595B．406C．35D．666
【答案】B
【分析】设锐角∠AOB=α，第1种中间由9条射线，每个小角为α10，第2种中间由11条射线，每个小角为α12，第3种中间由14条射线，每个小角为α15，利用∠AOB内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为mα10，第二种n倍小角nα12，与第三种p倍小角pα15相同，则m10=n12=p15，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在∠AOB中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．
【详解】设锐角∠AOB=α
第1种是将∠AOB分成10等份；中间由9条射线，每个小角为α10，
第2种是将∠AOB分成12等份；中间由11条射线，每个小角为α12，
第3种是将∠AOB分成15等份，中间由14条射线，每个小角为α15，
设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，
第一种第m倍小角为mα10，第二种n倍小角nα12，与第三种p倍小角pα15相同
则m10=n12=p15，
先看三种分法中同时重合情况m:n:p=10:12:15除OA，OB外没有重合的，
再看每两种分法重合情况
第1种, 第2种, m:n=5:6，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，
第1种,第3种，m:p=2:3，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，
第2种,第3种, n:p=4:5,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，
在∠AOB中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，
29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=12×28×28+1=406个角．
故选择：B．
【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键．
【知识点4 角的比较与运算】
角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【题型6 角的比较】
【例6】如图所示，∠AOB=∠DOE，∠BOC