2023-2024学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.扬州某天的最高气温为4℃，最低气温为﹣10℃，则该日的气温极差为（▲）
A．4℃ B．6℃ C．10℃ D．14℃
2.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是（▲）
A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定
3.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋12=0的一个根是-2，则另外一个根为（▲）
A．x=8B．x=6C．x=-6D．x=-8
4.下列说法正确的是（▲）
A．有一种游戏的中奖概率是 eq \f( 1 , 20 )，则做20次这样的游戏一定会有一次中奖
B．数据6，8，7，0，﹣2的中位数是7
C．抛掷一枚硬币10次，其中有7次正面朝上，则硬币正面朝上的概率为 eq \f( 7 , 10 )
D．若甲乙两组数据的平均数相等，方差分别为Seq \(\s\up 5(2),\s\d 2(甲))=1，Seq \(\s\up 5(2),\s\d 2(乙))=1.5，则甲的成绩比乙的稳定
5.如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，连接AD与⊙O于点C，连接OC．若∠D＝50º ，则∠BOC的度数为（▲）
A．80ºB．85ºC．40ºD．70º
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.如图，∠1＝∠2，则下列各式中，不能说明△ABC∽△ADE的是（▲）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． eq \f(AD, AB )= eq \f(AE, AC ) D． eq \f(AD, AB )= eq \f(DE, BC )
7.如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx的交点A的横坐标是2，则关于的不等式ax2＋bx＞0的解集是（▲）
A．-2＜x＜0 B．0＜x＜2C．x＞2D．x＜-2
8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是直径，AO⊥BD，AC=3，则四边形ABCD的面积为（ ▲ ）
A．4 B．4.5C．3 eq \r(2)D．3 eq \r(5)
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9.若2x-5y＝0，则 eq \f(y-x, x+y )= ▲ ．
10.如图，AB∥CD∥EF．若 eq \f(AC, CE )= eq \f( 1 , 2 )，BD＝3，则DF的长为 ▲ ．
11.用一个圆心角为150°，半径为12的扇形制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ▲ ．
12.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ▲ ．

第10题图 第12题图 第13题图 第16题图
13.如图，乐器上的一根弦AB长100cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，则AC的长为 ▲ cm．( eq \r(5) ≈2.236，精确到0.1cm)
14.若关于x的一元二次方程x2-6x＋m=0有实数根，则m的最大值为 ▲ ．
15.若抛物线y＝(x-m)2＋m-3的对称轴是直线x=2，则它的顶点坐标是 ▲ ．
16.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 ▲ 个．
17.将关于的一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）变形为ax2=-bx-c，就可以将关于x的二次多项式表示为x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如ax3=ax2·x=（-bx-c）·x=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知2x2-x-2=0，则2x4-3x3+3x2的值为 ▲ ．
18.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴是直线x＝t，点P（1，m）、Q（3，n）在这个二次函数的图象上，若n＜c＜m，则t的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（本题满分8分）用适当的方法解下列方程：
（1） x2-5x＋3=0 （2）x(x-2)=-3x＋6
20.（本题满分8分）为丰富学校的文化娱乐活动，某学校开展了插画、书法、剪纸等丰富多彩的社团活动，该校为了解参加社团活动的学生的年龄情况，随机调查了名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下两幅不完整的统计图①和图②．
① ②
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空：a的值为 ▲ ，图①中m的值为 ▲ ，并补全条形统计图；
(2)求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．
21.（本题满分8分）今年春节档多部贺岁片上映．小亮和小丽准备分别从《志愿军2》、《射雕英雄传：侠之大者》、《热辣滚烫》、《传说》四部电影中随机选择一部观看．
(1)小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中《志愿军2》的概率为 ▲ ；
(2)请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．
22.（本题满分8分）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划，活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．
（1）求小路的宽度；
（2）某公司希望用200万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以128万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
第22题图
23.（本题满分10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且∠BCE+∠BDE＝180°．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）连接BE、CD，求证：△AEB∽△ADC．
第23题图
24.（本题满分10分）电商小王为拓展销售渠道在抖音平台上对一款成本价为15元的商品进行直播销售，如果按每件20元销售，每天可卖出100件．通过市场调查，该商品售价每提高1元，日销售量减少4件．
（1）当售价为何值时，每天销售盈利取值最大，最大值是多少？
（2）小王热心公益事业，从每天的销售利润中捐出100元给希望工程，为了保证捐款
后每天剩余利润不低于700元，试确定该商品销售单价的范围.
25.（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作 CE⊥DF，垂足为点E．
（1）试判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径和AD的长．
第25题图
26.（本题满分10分）小明同学在学习过《对称图形---圆》、《图形的相似》两章内容后，结合所学的知识，想尝试解决以下尺规作图问题，聪明的你请帮助他完成．
问题背景：已知点P是四边形ABCD中AB边上一点，请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点P.
问题1.如图1，∠A＝∠B＝90°，△APD∽△BPC；
问题2.如图2，∠A＝∠B＝90°，△ADP∽△BPC；
问题3.如图3，∠A＝∠B＝45°，△ADP∽△BPC．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
图1 图2 图3

27.（本题满分12分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，动点M从顶点D出发沿DA方向向点A运动，动点N从顶点C出发沿射线BC方向运动，动点M的速度是动点N速度的两倍，当点M运动到终点A时，两点同时停止运动，连接MN交边CD于点E．
（1）如图1，点M、N在运动的过程中，请判断点E的位置是否发生变化，并说明理由；
（2）如图2，连接BM，当△BNM是等腰三角形时，求CN的长；
（3）如图3，过点B作MN的垂线，垂足为点H，直接写出点H在运动过程中所经过
的路径长.
图1 图2 图3
（本题满分12分）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，自变量与函数值的部分对应取值如下表：
（1）请选择你喜欢的方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c表达式；
（2）如图1，点D为线段AC的中点，点 E为线段OA上任意一点，将线段DE绕点D顺时针旋转90º得到线段DF，连接OF、EF.
①求△OEF面积的最大值；
②直接写出 eq \r(2)AE+ eq \r(5)EF的最小值.
.
图1 备用图
第28题图x
……
-8
-6
-4
-3
-2
2
……
y
……
0
-4
-6
- eq \f( 25 , 4 )
-6
0
……
2023—2024学年度第一学期期末考试
九年级数学答案
试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9． ；10． 6 ；11． 5 ；12． ；13． 61.8 ；
14． 9 ；15． ；16． 10 ；17． 4 ；18． 0.5＜t＜1.5 .
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分8分）计算或化简
（1）
解： Δ=-52-4×1×3=13 …………………………2分
x1=5+132 , x2=5-132 …………………………4分
（2）x(x-2)=-3x＋6
解： xx-2=-3x-2
x+3x-2=0…………………………2分
x1=-3,x2=2 …………………………4分
（根据学生选择的方法酌情给分）
20．（本题满分8分）
解： (1) a的值为 50 ， （1分）
图①中m的值为 30 ， （1分）
补全条形统计图：12岁有15人，图略； （1分）
(2) x=12×15+13×10+14×20+15×550=13.3 岁 （2分）
众数： 14岁 （1分）
中位数：13.5岁 （2分）
21．（本题满分8分）
（1） 14 ； …………………2分
（2）记《志愿军2》、《射雕英雄传：侠之大者》、《热辣滚烫》、《传说》分别为A、B、C、D.
∴P（恰好选择观看同一部电影）=14 …………………8分
22．（本题满分8分）
解：（1）设小路的宽度为x m，根据题意得：
（20+2x）（16+2x）＝480， …………………2分
整理得：x2+18x﹣40＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣20（舍去）， …………………4分
答：小路的宽度为2m；
（2）设每次降价的百分率为y，
根据题意，得：200（1﹣y）2＝128， …………………6分
解得：y1＝0.2，y2＝1.8（不合题意，舍去），
0.2＝20%， …………………8分
答：每次降价的百分率为20%．
23．（本题满分10分）
证明：（1）∵∠BCE+∠BDE＝180°，
又∵∠ADE+∠BDE＝180°，
∴∠BCE＝∠ADE， …………………2分
∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB； …………………5分
（2）∵△ADE∽△ACB，
∴AD：AC＝AE：AB，
∴AD：AE＝AC：AB， …………………7分
又∵∠EAB＝∠DAC，
∴△AEB∽△ADC． …………………10分
24．（本题满分10分）
（1）解：设售价为x元，每天销售盈利为w元，根据题意得：
w=x-15100-4x-20
=-4x2+240x-2700 （w=-4x-302+900）…………………3分
当 x=30 时， wmax=900 元 …………………5分

（2）由题可知；w-100≥700
即：w≥800
解一元二次方程： -4x-302+900=800
解得 ：x1=25,x2=35 …………………8分
由二次函数图像可得商品销售单价的范围为25≤x≤35 …………………10分

25．（本题满分10分）
（1）CE是⊙O的切线． …………………1分
证明：连接CO，
∵CE⊥DF，
∴∠CEF＝90°
∵OA＝OC．
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠OCA＝∠CAE，
∴OC∥FD，
∴∠CEF＝∠OCE=90°
∴半径OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线； …………………4分
（3）⊙O的半径为2.5， …………………7分
AD的长为3． …………………10分
26．（本题满分10分）
第一问 …………………3分
第二问 …………………3分
第三问…………………4分
27．（本题满分12分）
（1）在矩形ABCD中，AD∥BC,
则△MDE∽△NCE；
DE：CE＝MD：CN=2：1
∴E的位置不会发生变化. ……………3分
（2）①当MN=MB时，
作MF⊥BN, 垂足为点F,则NF=BF,
设CN=x，易知DM=CF=2x，AM=BF=2-2x.
∴NF=CF+CN=3x,
3x=2-2x
解得：x=25，即CN=25； ……………5分
② NM≠NB （舍）
理由：NM=NE+EM＞CN+DE=CN+CB=NB……………7分
(或 NM2=NF2+MF2=9+9x2,
NB2=x+22=x2+4x+4
9+9x2=x2+4x+4,
Δ=-144,方程无解）
③ 当BN=BM时，此时即CN=1；……………9分
（3） 连接BE，取BE的中点O，连接OH，OC．
∵在矩形ABCD中，易知∠BCD=900；BH⊥MN，
∴△BHE和△BCE都是直角三角形．
∴OH，OC分别为Rt△BHE和Rt△BCE斜边上的中线，
∴OH＝OE＝OB＝OC．
∴B、C、H、E四点在以O点为圆心，12BE为半径的圆上．
∴点H在BE为直径的⊙O上运动，
易求圆的半径BE为 52
当点M与A重合时，点H的运动轨迹是弧HC．
此时AB＝NB＝3，
∵∠ABN＝90°，BH⊥AN，
∴BH平分∠ABN，
∴∠HBN＝45°，
∴∠HOC＝2∠HBN＝90°，
∴点H的运动轨迹的长＝54π．
故答案为：54π．……………12分
28．（本题满分12分）
图①
（1） y=14x2+32x-4 （或y=14x+32-254） ……………3分
（2）
第1问：
作FH⊥x轴，过点D作DN⊥x轴, MF⊥DN，设OE=x,
易证△END≌△DMF，得EN=DM，DN=MF=2;
当 0